微分及其應(yīng)用

1、返回到目錄1 返回到目錄2 y x M T N y x M0 x0 x0 x 0 在許多實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)物體運(yùn)動(dòng)的速度、在許多實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)物體運(yùn)動(dòng)的速度、人口的增長(zhǎng)率、勞動(dòng)生產(chǎn)效率和利潤(rùn)的變化率等類(lèi)似的人口的增長(zhǎng)率、勞動(dòng)生產(chǎn)效率和利潤(rùn)的變化率等類(lèi)似的問(wèn)題，而這些問(wèn)題反映在數(shù)學(xué)上就是變量變化的快慢程問(wèn)題，而這些問(wèn)題反映在數(shù)學(xué)上就是變量變化的快慢程度，即變化率，亦即導(dǎo)數(shù)。度，即變化率，亦即導(dǎo)數(shù)。引例引例 曲線切線的斜率曲線切線的斜率如圖如圖2-1所示，設(shè)點(diǎn)所示，設(shè)點(diǎn)M0(x0, y0)是曲線是曲線y f (x)上的一點(diǎn)，在曲線上另取一點(diǎn)上的一點(diǎn)，在曲線上另取一點(diǎn)M(x0 x

2、, y0 y)，M為一動(dòng)點(diǎn)。作割線為一動(dòng)點(diǎn)。作割線M0M，當(dāng)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)M沿曲線移動(dòng)而趨于沿曲線移動(dòng)而趨于M0時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)x0時(shí)，割線時(shí)，割線M0M的極限位置的極限位置M0T就定義為曲就定義為曲線線y f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)M0處的切線。處的切線。設(shè)割線設(shè)割線M0M的傾斜角為的傾斜角為 ，則弦，則弦M0M的斜的斜率為率為tan 0MNM Nyx 00()( )f xxf xx 返回到目錄3顯然，當(dāng)x0時(shí)，傾斜角無(wú)限趨于切線M0T的傾斜角，因此，切線M0T的斜率為tan tan 0limx 0limx yx 0limx 00()()f xxf xx 返回到目錄4 1函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)

3、數(shù) 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0及其左右近旁有定義，及其左右近旁有定義，當(dāng)自變量當(dāng)自變量x在在x0處有改變量時(shí)，函數(shù)有相應(yīng)的處有改變量時(shí)，函數(shù)有相應(yīng)的改變量改變量y f (x0 x) f (x0），如果極限），如果極限 存在，存在， 則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)y f (x)在在x0處可導(dǎo)，并稱(chēng)此極限值為處可導(dǎo)，并稱(chēng)此極限值為函數(shù)函數(shù)y f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為處的導(dǎo)數(shù)，記為 (x0)，或，或y | ，或，或 | ，或，或 | 即即 (x0) 如果這個(gè)極限不存在，則稱(chēng)函數(shù)如果這個(gè)極限不存在，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處處不可導(dǎo)。不可導(dǎo)。0limx yx 0limx 00(

4、)()f xxf xx f 0 x x d yd x0 xx dfdx0 xx f 0limx yx 0limx 00()()f xxf xx 返回到目錄5 顯然，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的變化率，因此一切顯然，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的變化率，因此一切可表示為函數(shù)變化率的實(shí)際問(wèn)題，都可可表示為函數(shù)變化率的實(shí)際問(wèn)題，都可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究。以用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究。 例例2-1 求函數(shù)求函數(shù)y x2在點(diǎn)在點(diǎn)x 1處的導(dǎo)數(shù)。處的導(dǎo)數(shù)。 解解 設(shè)設(shè)x從從1改變到改變到1 x，則，則 y f (1 x) f (1) (1 x) 2 1 2x (x) 2 由導(dǎo)數(shù)定義，有由導(dǎo)數(shù)定義，有 (1) f 0limx yx 0limx 202()lim

5、(2)2xxxxx 返回到目錄6 2導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù) 如果函數(shù)如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間在區(qū)間(a, b)內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)x處都可處都可導(dǎo)，就說(shuō)函數(shù)導(dǎo)，就說(shuō)函數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)，內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)，對(duì)于對(duì)于(a, b)內(nèi)的每一個(gè)內(nèi)的每一個(gè)x值，都有唯一確定的導(dǎo)值，都有唯一確定的導(dǎo)數(shù)值數(shù)值 與之對(duì)應(yīng)。這樣，自變量與之對(duì)應(yīng)。這樣，自變量x與與 構(gòu)成了一個(gè)新函數(shù)，把這個(gè)函數(shù)構(gòu)成了一個(gè)新函數(shù)，把這個(gè)函數(shù) 叫做叫做函數(shù)函數(shù)y f (x)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)數(shù)，記為的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)數(shù)，記為 ，或，或y ，或，或 ，或，或 顯然，顯然，f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 等于導(dǎo)數(shù)等

6、于導(dǎo)數(shù) 在在x0點(diǎn)的函數(shù)值。點(diǎn)的函數(shù)值。()fx ()fx ()fx 0()fx ()fx d yd x()dfxdx返回到目錄7 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y f (x)的導(dǎo)數(shù)可概括的導(dǎo)數(shù)可概括為以下三個(gè)步驟：為以下三個(gè)步驟： （1）求函數(shù)的改變量）求函數(shù)的改變量y f (x x) f ( x)； （2）算比值）算比值 ； （3）取極限）取極限y 。 yx 00()()f xxf xx 0limx yx 0limx 00()()f xxf xx 返回到目錄8由本節(jié)的第一個(gè)引例及導(dǎo)數(shù)定義可知，函數(shù)由本節(jié)的第一個(gè)引例及導(dǎo)數(shù)定義可知，函數(shù)y f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意

7、義，就是曲線處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)M0(x0，y0)處的切線處的切線M0T的斜率。即的斜率。即 k tan 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的點(diǎn)斜式方程，可得到由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的點(diǎn)斜式方程，可得到曲線曲線y f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切線方程為處的切線方程為曲線曲線y f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) 處的法線方程為處的法線方程為 0()fx 000(,)Mxy000(,)Mxy000()()yyfxxx 0001()()yyxxfx 返回到目錄9 yx1101yx定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)y f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則函數(shù)處可導(dǎo)，則函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處一定連續(xù)。處一定連

8、續(xù)。由定理知，函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)必連續(xù)。但反過(guò)來(lái)，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，在由定理知，函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)必連續(xù)。但反過(guò)來(lái)，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，在該點(diǎn)不一定可導(dǎo)。該點(diǎn)不一定可導(dǎo)。 例如，函數(shù)例如，函數(shù)y | x |，如圖所示，函數(shù)在，如圖所示，函數(shù)在x 0處處 連續(xù)，但不可導(dǎo)。連續(xù)，但不可導(dǎo)。 因?yàn)橐驗(yàn)榧醇?不存在，故函數(shù)在不存在，故函數(shù)在x 0處不可導(dǎo)。處不可導(dǎo)。又如，函數(shù)又如，函數(shù)f (x) x2在在x 1處連續(xù)，且處連續(xù)，且 (1) 2，即即f (x) x2在在x 1處可導(dǎo)。處可導(dǎo)。綜上所述，函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。綜上所述，函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。f 0limx yx 1limlimli

9、m000 xxxxxyxxx1limlimlim000 xxxxxyxxx返回到目錄10 上一節(jié)由導(dǎo)數(shù)定義已推出了常數(shù)和冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，由導(dǎo)數(shù)定上一節(jié)由導(dǎo)數(shù)定義已推出了常數(shù)和冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)方法還可推導(dǎo)出如下導(dǎo)數(shù)公式，它們是求導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，必義求導(dǎo)方法還可推導(dǎo)出如下導(dǎo)數(shù)公式，它們是求導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，必須熟記，為便于查閱，現(xiàn)將導(dǎo)數(shù)公式列表如下表所示。須熟記，為便于查閱，現(xiàn)將導(dǎo)數(shù)公式列表如下表所示。返回到目錄11 1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 法則法則1 如果函數(shù)如果函數(shù)u u (x)和和v v(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處均可處均可導(dǎo)，則函數(shù)導(dǎo)，則函數(shù)y uv在點(diǎn)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，處也可

10、導(dǎo)， 且且 (u v) u v 這個(gè)法則可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和與差，這個(gè)法則可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和與差，即即 (u1u2un ) u1 u2 un 例例2-2 求函數(shù)求函數(shù)y x3 x2 6的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。 解解 y (x3 x2 6) ( x3) (x2) 6 3x2 2x返回到目錄12 法則法則2 如果函數(shù)如果函數(shù)u u(x)和和v v(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處均可處均可導(dǎo)，則函數(shù)導(dǎo)，則函數(shù)y uv在點(diǎn)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且處也可導(dǎo)，且 ( u v ) u v u v 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)u c（c為常數(shù)）時(shí)，則為常數(shù)）時(shí)，則 (c v) c v 即乘積中的常數(shù)因子可以提到導(dǎo)數(shù)符號(hào)外面。即

11、乘積中的常數(shù)因子可以提到導(dǎo)數(shù)符號(hào)外面。 法則法則2可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積，即可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積，即 (u1u2un ) u1 u2un u1u2 un u1 u2 un 返回到目錄13 法則法則3 如果函數(shù)如果函數(shù)u u(x)和和v v(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處均可導(dǎo)，則函數(shù)處均可導(dǎo)，則函數(shù)y ( v0)在點(diǎn)在點(diǎn)x處處也可導(dǎo)，且也可導(dǎo)，且 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則也是求導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則也是求導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，必須熟記，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)求法靈活應(yīng)用這必須熟記，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)求法靈活應(yīng)用這些公式。為便于查閱，現(xiàn)將導(dǎo)數(shù)公式列些公式。為便于查閱，現(xiàn)將導(dǎo)數(shù)公式列表如下表如下 2()uu vuvvv

12、uv（1）(uv) u v （2）(u v) u v u v （3）(c u) c u （4）2( )uuvuvvv 返回到目錄14 2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 定理定理 若函數(shù)若函數(shù)u 在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)處可導(dǎo)，函數(shù)y f (u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且處也可導(dǎo)，且 由定理可知，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合由定理可知，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。自變量的導(dǎo)數(shù)。( )x ( )yfx dxdududydxdy)()(xufyxxuxuyy或或返回到目錄15 復(fù)合函

13、數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的情形。例如：構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的情形。例如： y f(u), u (v)，v g(x)，則復(fù)合函數(shù)，則復(fù)合函數(shù) y f g(x)對(duì)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)導(dǎo)數(shù)計(jì)算極為重要，其關(guān)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)導(dǎo)數(shù)計(jì)算極為重要，其關(guān)鍵是分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，然后按復(fù)合次鍵是分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，然后按復(fù)合次序由最外層向內(nèi)一層一層地對(duì)中間變量求導(dǎo)，序由最外層向內(nèi)一層一層地對(duì)中間變量求導(dǎo)，直至對(duì)自變量求導(dǎo)為止。直至對(duì)自變量求導(dǎo)為止。 dxdvdvdududydxdy)()()(xgvufyxxvuxvuyy

14、或或或或 返回到目錄16 3隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法 前面所討論的函數(shù)前面所討論的函數(shù)f (x)，因變量，因變量y大都是大都是直接用關(guān)于直接用關(guān)于x的數(shù)學(xué)解析式表示，如的數(shù)學(xué)解析式表示，如 ，y lnsinx等，通常把這種等，通常把這種函數(shù)表達(dá)式叫顯函數(shù)。但有時(shí)還會(huì)遇到函數(shù)表達(dá)式叫顯函數(shù)。但有時(shí)還會(huì)遇到用另一種形式表示的函數(shù)，就是用另一種形式表示的函數(shù)，就是y與與x的的函數(shù)關(guān)系隱含在方程函數(shù)關(guān)系隱含在方程F(x，y) 0之中。之中。如如 ， ， x 0等。等。 像這樣由方程像這樣由方程F(x，y) 0所確定的函數(shù)叫所確定的函數(shù)叫做隱函數(shù)。做隱函數(shù)。323yx 231 0 xy 222xyR y

15、xye 返回到目錄17 顯函數(shù)和隱函數(shù)是函數(shù)的不同表示形式，顯函數(shù)和隱函數(shù)是函數(shù)的不同表示形式，有些隱函數(shù)可以化成顯函數(shù)，如有些隱函數(shù)可以化成顯函數(shù)，如 3 x2 y x 0可以化成可以化成y 3x2 x。但有些隱。但有些隱函數(shù)不容易，甚至不能化成顯函數(shù)，如函數(shù)不容易，甚至不能化成顯函數(shù)，如 不能化成顯函數(shù)，因此還不能化成顯函數(shù)，因此還需要研究隱函數(shù)的求導(dǎo)方法。需要研究隱函數(shù)的求導(dǎo)方法。 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先利用復(fù)合函數(shù)求求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，將方程兩邊對(duì)導(dǎo)法，將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并注意遇到求導(dǎo)，并注意遇到y(tǒng)應(yīng)視為應(yīng)視為x的復(fù)合函數(shù)，再?gòu)乃玫年P(guān)系的復(fù)合函數(shù)，再?gòu)乃玫年P(guān)系中

16、解出中解出y 。20yxyey 返回到目錄18 4取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則 對(duì)于某些函數(shù)，可對(duì)其兩邊取對(duì)數(shù)，使對(duì)于某些函數(shù)，可對(duì)其兩邊取對(duì)數(shù)，使之成為隱函數(shù)，然后按隱函數(shù)求導(dǎo)法求之成為隱函數(shù)，然后按隱函數(shù)求導(dǎo)法求其導(dǎo)數(shù)，這種方法稱(chēng)為取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。其導(dǎo)數(shù)，這種方法稱(chēng)為取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。一般地，對(duì)冪指函數(shù)或多個(gè)因式的連乘、一般地，對(duì)冪指函數(shù)或多個(gè)因式的連乘、除的導(dǎo)數(shù)可用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。除的導(dǎo)數(shù)可用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。 取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適合兩類(lèi)函數(shù)的求導(dǎo)：取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適合兩類(lèi)函數(shù)的求導(dǎo)： 冪指函數(shù)；冪指函數(shù)； 函數(shù)是由幾個(gè)初等函數(shù)經(jīng)函數(shù)是由幾個(gè)初等函數(shù)經(jīng)過(guò)乘、除、乘方、開(kāi)方構(gòu)成的。過(guò)乘、除、乘方、開(kāi)方構(gòu)成的。返

17、回到目錄19 定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù)y f (x) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)y f (x)在在x點(diǎn)可導(dǎo)，則稱(chēng)點(diǎn)可導(dǎo)，則稱(chēng)f (x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)f (x) 為函數(shù)為函數(shù)y f(x)的二階導(dǎo)數(shù)。記為的二階導(dǎo)數(shù)。記為 y，或，或f (x) ，或，或 相應(yīng)地，把相應(yīng)地，把y f (x) 叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，通常對(duì)一階導(dǎo)數(shù)不指明它的階數(shù)。通常對(duì)一階導(dǎo)數(shù)不指明它的階數(shù)。 d22dyx返回到目錄20 類(lèi)似地，函數(shù)類(lèi)似地，函數(shù)y f (x)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)叫做函數(shù)y f (x)的三階導(dǎo)數(shù)，記為的三階導(dǎo)數(shù)，記為 一般地，函數(shù)一般地，函數(shù)y f (x)的的n 1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)階導(dǎo)數(shù)

18、的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)數(shù)叫做函數(shù)y f (x)的的n階導(dǎo)數(shù)，記為階導(dǎo)數(shù)，記為 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的高二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。階導(dǎo)數(shù)。3,()yyfxx 3 3d d或或, ,或或d d()(),()nnnnyyfxxd d或或, ,或或d d返回到目錄21 1微分的概念微分的概念在許多科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，不僅需要在許多科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，不僅需要研究函數(shù)變化的快慢程度，有時(shí)還需要研究函數(shù)變化的快慢程度，有時(shí)還需要計(jì)算當(dāng)自變量有一個(gè)微小的改變時(shí)，函計(jì)算當(dāng)自變量有一個(gè)微小的改變時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的改變量。數(shù)相應(yīng)的改變量。 引例引例 有一邊長(zhǎng)為有一邊長(zhǎng)為x0的正方形金屬薄片，的正

19、方形金屬薄片，加熱后邊長(zhǎng)增加了加熱后邊長(zhǎng)增加了 x，如下圖所示，求，如下圖所示，求金屬薄片面積增加的近似值。金屬薄片面積增加的近似值。 返回到目錄22解解 由題意，金屬片的面積增加了由題意，金屬片的面積增加了 y ( x0 x)2 x02 2 x0 x ( x) 2 可見(jiàn)，可見(jiàn)， y由兩部分組成：一部分是由兩部分組成：一部分是 y的主要部分的主要部分 （圖中單線陰影部分的面（圖中單線陰影部分的面積），它起著主要決定作用；另一部分為積），它起著主要決定作用；另一部分為( x) 2（圖（圖2-3中雙線陰影部分的面積），顯然，當(dāng)中雙線陰影部分的面積），顯然，當(dāng) 很小時(shí)，很小時(shí)，( x) 2更小。如果

20、略去第二項(xiàng)，就更小。如果略去第二項(xiàng)，就得到得到 y的近似表達(dá)式：的近似表達(dá)式： y2 x0 x 02xx x 返回到目錄23 而而2 x0正好是面積函數(shù)正好是面積函數(shù)y x2在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)處的導(dǎo)數(shù)，所以上式也可以寫(xiě)成數(shù)，所以上式也可以寫(xiě)成 y f (x0) x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則處可導(dǎo)，則 可得可得 （其中（其中 是當(dāng)是當(dāng) x0時(shí)極限為零的量）時(shí)極限為零的量） 所以所以 y f (x) x x )(lim0 xfxyx)(xfxy返回到目錄24 上式表明，上式表明， y也是由兩個(gè)部分組成：一也是由兩個(gè)部分組成：一部分是部分是 y的主要部分的主要部分f (x0)

21、x ，它是，它是 x的線性函數(shù)，通常把它叫做的線性函數(shù)，通常把它叫做 y的線性主的線性主部；另一部分部；另一部分 x，當(dāng)，當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， x更小，在計(jì)算時(shí)可以忽略不計(jì)。更小，在計(jì)算時(shí)可以忽略不計(jì)。即即 y f (x0) x 這就是說(shuō)，函數(shù)這就是說(shuō)，函數(shù)f (x)的改變量的改變量 y可以近可以近似地表示成函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量改變量似地表示成函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量改變量的乘積。的乘積。 返回到目錄25 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則把處可導(dǎo)，則把 y的線性主部的線性主部f (x0) x稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)y f (x)在在點(diǎn)點(diǎn)x處的微分，記為處的微分，記為 d y f (x) x

22、因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)y x時(shí)，有時(shí)，有d x d y=x x x，即自變量的微分就是自變量的改變量，即自變量的微分就是自變量的改變量，所以函數(shù)所以函數(shù)y f (x)的微分通常記為的微分通常記為 （2-3）d( )dyfxx 返回到目錄26 2微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 由式（由式（2-3）得）得 該式說(shuō)明，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的微分該式說(shuō)明，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的微分d y與自變與自變量的微分量的微分d x的商，故導(dǎo)數(shù)又稱(chēng)為微商。的商，故導(dǎo)數(shù)又稱(chēng)為微商。 由微分的定義可知，可導(dǎo)一定存在微分由微分的定義可知，可導(dǎo)一定存在微分（稱(chēng)為可微），可微也一定可導(dǎo)。（稱(chēng)為可微），可微也一定可導(dǎo)。( )dyfxdx 返回到目錄27

23、 3微分的幾何意義微分的幾何意義 如圖所示，過(guò)曲線如圖所示，過(guò)曲線y f (x) 上一點(diǎn)上一點(diǎn)M(x，y)的切線為的切線為MT， 其傾斜角為其傾斜角為 ，則切線的，則切線的 斜率為斜率為 ，當(dāng)自，當(dāng)自 變量變量x有一微小的改變量有一微小的改變量 x ，函數(shù)函數(shù)y也有相應(yīng)的改變量也有相應(yīng)的改變量 y ，這在曲線上得，這在曲線上得到另一點(diǎn)到另一點(diǎn) ,同時(shí)，同時(shí)，切線上的縱坐標(biāo)也得到相應(yīng)的改變量切線上的縱坐標(biāo)也得到相應(yīng)的改變量NT，且且 y f(x) y M N T M1 x x o x x ( )tanfx NMyyyxxM11),(dyxxfMNNT)(tan返回到目錄28 因此，函數(shù)因此，函數(shù)

24、y f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處的微分處的微分d y的幾何意的幾何意義，就是曲線義，就是曲線y f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)M(x,y)處的切線處的切線MT的的縱坐標(biāo)的改變量縱坐標(biāo)的改變量NT，而線段，而線段M1T是是y與與d y的的差。差。 4微分的基本公式和運(yùn)算法則微分的基本公式和運(yùn)算法則 由微分的定義由微分的定義d y f (x) d x可知，求微分就是可知，求微分就是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分d x 。因。因此，由導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則可直接得到此，由導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則可直接得到微分的基本公式（見(jiàn)書(shū)上微分的基本公式（見(jiàn)書(shū)上43頁(yè)表頁(yè)表2-3）和運(yùn)算）和運(yùn)算法

25、則（見(jiàn)書(shū)上法則（見(jiàn)書(shū)上43頁(yè)表頁(yè)表2-4）。）。返回到目錄29 5微分形式的不變性微分形式的不變性 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y f(u), u (x)均可導(dǎo)。均可導(dǎo)。 當(dāng)當(dāng)u是自變量時(shí)，函數(shù)是自變量時(shí)，函數(shù)y f(u)的微分為的微分為 d y f (u) du 當(dāng)當(dāng)u是中間變量時(shí)，則是中間變量時(shí)，則y是是x的復(fù)合函數(shù)。由復(fù)的復(fù)合函數(shù)。由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有 即即 由此可見(jiàn)，對(duì)于函數(shù)由此可見(jiàn)，對(duì)于函數(shù) y f (u)，不論是中間變量，還是自變量，其，不論是中間變量，還是自變量，其微分形式都可寫(xiě)成微分形式都可寫(xiě)成 ，微分的這一，微分的這一性質(zhì)稱(chēng)為微分形式的不變性。性質(zhì)稱(chēng)為微分形式的不變性

26、。dddd( ) ( )( )y y xf ux xf u u dd( )yf u u dd( )yf u u 返回到目錄30 前面已經(jīng)討論過(guò)，當(dāng)函數(shù)前面已經(jīng)討論過(guò)，當(dāng)函數(shù)y f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x有有微小改變時(shí)，有微小改變時(shí)，有 y f (x0 x) f(x0)f (x0)x 因此因此 f(x) f (x0 x)f(x0) f (x0)x 利用此近似公式可以求出當(dāng)利用此近似公式可以求出當(dāng)x在點(diǎn)在點(diǎn)x0近旁近旁時(shí)的函數(shù)值的近似值。在應(yīng)用此公式時(shí)，時(shí)的函數(shù)值的近似值。在應(yīng)用此公式時(shí)，除了要適當(dāng)確定函數(shù)除了要適當(dāng)確定函數(shù)f (x)、x0和和x以外，以外，還必須注意還必須注意f (x0)和和f (x0

27、)要容易求出，且要容易求出，且 要相對(duì)較小。要相對(duì)較小。x 返回到目錄31返回到目錄32 定義定義 函數(shù)的單調(diào)性，是指若對(duì)任意函數(shù)的單調(diào)性，是指若對(duì)任意 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 ，則稱(chēng)函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)y f (x)是區(qū)間是區(qū)間(a,b)上的單調(diào)增加函數(shù)；當(dāng)上的單調(diào)增加函數(shù)；當(dāng) 時(shí)，時(shí)，有有 則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)y f (x)是區(qū)間上的單調(diào)是區(qū)間上的單調(diào)減少函數(shù)，單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)減少函數(shù)，單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y f (x)是區(qū)間是區(qū)間(a,b)上的單上的單調(diào)函數(shù)，則稱(chēng)區(qū)間調(diào)函數(shù)，則稱(chēng)區(qū)間(a,b)為單調(diào)區(qū)間。為單調(diào)區(qū)間。 單調(diào)增加的函數(shù)的圖像表現(xiàn)

28、為自左至右是單調(diào)單調(diào)增加的函數(shù)的圖像表現(xiàn)為自左至右是單調(diào)上升的曲線；單調(diào)減少的函數(shù)的圖像表現(xiàn)為自上升的曲線；單調(diào)減少的函數(shù)的圖像表現(xiàn)為自左至右是單調(diào)下降的曲線。左至右是單調(diào)下降的曲線。12,( , )x xab12xx 12()()f xf x 12xx 12()()f xf x 返回到目錄33 用上述定義的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于函數(shù)關(guān)用上述定義的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于函數(shù)關(guān)系較復(fù)雜的函數(shù)是比較麻煩或者是很難判斷的，現(xiàn)系較復(fù)雜的函數(shù)是比較麻煩或者是很難判斷的，現(xiàn)在介紹利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的方法。在介紹利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的方法。 函數(shù)的增減性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有關(guān)，可利用導(dǎo)數(shù)

29、的正函數(shù)的增減性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有關(guān)，可利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)來(lái)判別函數(shù)的單調(diào)性。一般地，有如下判別定負(fù)號(hào)來(lái)判別函數(shù)的單調(diào)性。一般地，有如下判別定理理: 定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y f (x)在區(qū)間在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)。內(nèi)可導(dǎo)。 （1）如果）如果x(a, b)時(shí)，恒有時(shí)，恒有f (x)0，則函數(shù)，則函數(shù)f (x)在在(a, b)內(nèi)單調(diào)增加；內(nèi)單調(diào)增加； （2）如果）如果x(a, b)時(shí)，恒有時(shí)，恒有f (x)0，則函數(shù)，則函數(shù)f (x)在在(a, b)內(nèi)單調(diào)減少；內(nèi)單調(diào)減少； （3）如果）如果x(a, b)時(shí)，恒有時(shí)，恒有f (x) 0，則函數(shù)，則函數(shù)f (x)在在(a, b)內(nèi)是常數(shù)。內(nèi)是常數(shù)。返回

30、到目錄34 1函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的定義 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0連續(xù)，對(duì)于連續(xù)，對(duì)于x0左右左右近旁的任意一點(diǎn)近旁的任意一點(diǎn)x(x x0)。 （1）若恒有）若恒有f (x)f (x0)，則稱(chēng)，則稱(chēng)f (x0)為函數(shù)為函數(shù)f (x)的極小值，點(diǎn)的極小值，點(diǎn)x0叫做叫做f (x)的極小值點(diǎn)。的極小值點(diǎn)。 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值。函函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值。函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值點(diǎn)。數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值點(diǎn)。返回到目錄35 注意：注意： （1）極值與極值點(diǎn)不同，極值是指函數(shù)值，）極值與極值點(diǎn)不同，極值是指函數(shù)值，

31、而極值點(diǎn)是指自變量的值；而極值點(diǎn)是指自變量的值； （2）極值是局部性的概念，如果）極值是局部性的概念，如果f (x0)是極是極大（或極小）值，那僅僅是指與極值點(diǎn)大（或極?。┲担莾H僅是指與極值點(diǎn)x0附附近的所有點(diǎn)的函數(shù)值比較時(shí)，近的所有點(diǎn)的函數(shù)值比較時(shí)，f (x0)是一個(gè)是一個(gè)最大值（或最小值），并不意味著它在整最大值（或最小值），并不意味著它在整個(gè)定義區(qū)間上是最大（或最小）；個(gè)定義區(qū)間上是最大（或最?。?； （3）函數(shù)的極值只能在區(qū)間內(nèi)部取得，在）函數(shù)的極值只能在區(qū)間內(nèi)部取得，在區(qū)間端點(diǎn)處不能取得極值；而函數(shù)的最大區(qū)間端點(diǎn)處不能取得極值；而函數(shù)的最大值和最小值可能在區(qū)間內(nèi)部取得，也可能值和最小

32、值可能在區(qū)間內(nèi)部取得，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得。在區(qū)間的端點(diǎn)處取得。返回到目錄36 2函數(shù)極值的判定及其求法函數(shù)極值的判定及其求法 定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0處取得極值，則必有處取得極值，則必有f (x0) 0（證明從略）（證明從略） 使導(dǎo)數(shù)使導(dǎo)數(shù)f (x) 0的點(diǎn)的點(diǎn)x叫做函數(shù)叫做函數(shù)f (x)的駐點(diǎn)。的駐點(diǎn)。 因此，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐因此，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)。但反過(guò)來(lái)，函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。但反過(guò)來(lái)，函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。點(diǎn)。 返回到目錄37 那么，如何判定駐點(diǎn)是否為函數(shù)那么，如何判定駐點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)

33、呢？如果在駐點(diǎn)兩側(cè)函的極值點(diǎn)呢？如果在駐點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)的增減性發(fā)生變化，即駐點(diǎn)兩數(shù)的增減性發(fā)生變化，即駐點(diǎn)兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)側(cè)一階導(dǎo)數(shù)f (x)變號(hào)，那么該變號(hào)，那么該駐點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，于是駐點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，于是有如下的判定方法：有如下的判定方法：返回到目錄38 定理（極值第一判別法）定理（極值第一判別法） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0連續(xù)，連續(xù)，在在x0的左右近旁可導(dǎo)，且的左右近旁可導(dǎo)，且f (x0) 0（或（或f (x0)不存不存在），那么，對(duì)于在），那么，對(duì)于x0近旁的任意點(diǎn)近旁的任意點(diǎn)x （1）如果當(dāng)）如果當(dāng)x0，而當(dāng)，而當(dāng)x x0時(shí)，時(shí)， f (x)0，則函數(shù)，則函數(shù)f (x

34、)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處取得極大值處取得極大值f (x0)； （2）如果當(dāng)）如果當(dāng)x x0時(shí)，時(shí)，f (x) x0時(shí)，時(shí)， f (x)0，則函數(shù)，則函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處取得極小值處取得極小值f (x0)； （3）如果在）如果在x0點(diǎn)的左右近旁，點(diǎn)的左右近旁，f (x)不變號(hào)，則不變號(hào)，則 f (x)在在x0處無(wú)極值。處無(wú)極值。返回到目錄39 求函數(shù)求函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)和極值的步驟如下：的極值點(diǎn)和極值的步驟如下： （1）確定函數(shù)）確定函數(shù)f (x)的定義域；的定義域； （2）求出函數(shù)）求出函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)f (x)； （3）令）令f (x) 0，求出，求出f (x)的所有駐的所有駐

35、 點(diǎn)，點(diǎn)，并求出使并求出使f (x)不存在的點(diǎn)；不存在的點(diǎn)； （4）判斷駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)是否為函數(shù)的）判斷駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)；極值點(diǎn)； （5）求出函數(shù)的極值。）求出函數(shù)的極值。返回到目錄40 當(dāng)函數(shù)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，有如下判當(dāng)函數(shù)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，有如下判定方法：定方法： 定理定理 （極值第二判別法）（極值第二判別法） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處有二階導(dǎo)數(shù)，且處有二階導(dǎo)數(shù)，且f (x0) 0，那么，那么 （1）如果）如果f(x0)0，則函數(shù)，則函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處取得處取得極小值極小值f (x0)； （3）當(dāng)）當(dāng)f(x0) 0時(shí)，不能應(yīng)用此判別

36、法判定函時(shí)，不能應(yīng)用此判別法判定函數(shù)的極值，要用極值第一判別法。數(shù)的極值，要用極值第一判別法。 返回到目錄41 3函數(shù)的最大值和最小值函數(shù)的最大值和最小值 在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)分析中，常常要考慮在一定條件下，在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)分析中，常常要考慮在一定條件下，用料最省、成本最低、產(chǎn)出最多、利潤(rùn)最大以用料最省、成本最低、產(chǎn)出最多、利潤(rùn)最大以及時(shí)間最短等問(wèn)題，這些問(wèn)題在數(shù)學(xué)上歸結(jié)為及時(shí)間最短等問(wèn)題，這些問(wèn)題在數(shù)學(xué)上歸結(jié)為求函數(shù)的最大值和最小值的問(wèn)題。求函數(shù)的最大值和最小值的問(wèn)題。 函數(shù)的最大值和最小值與函數(shù)的極值一般有所函數(shù)的最大值和最小值與函數(shù)的極值一般有所不同，最大值與最小值是函數(shù)在整個(gè)定義區(qū)間不同，最大值與最小

37、值是函數(shù)在整個(gè)定義區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值和最小值，是整體性上所有函數(shù)值中的最大值和最小值，是整體性的概念，而極值是局部性的概念。的概念，而極值是局部性的概念。 返回到目錄42 根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可以知根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可以知道，如果函數(shù)道，如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，上連續(xù)，則則f (x)在在a , b上必有最大值和最小值。上必有最大值和最小值。閉區(qū)間閉區(qū)間a , b上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)函數(shù)f (x)的最大值和的最大值和最小值，可能在區(qū)間最小值，可能在區(qū)間(a , b)內(nèi)部取得，也內(nèi)部取得，也可能在區(qū)間可能在區(qū)間a , b的端點(diǎn)上取得。如果在的端點(diǎn)上取得

38、。如果在區(qū)間的內(nèi)部取得，那么，最大值和最小區(qū)間的內(nèi)部取得，那么，最大值和最小值同時(shí)也是極大值和極小值，并且是所值同時(shí)也是極大值和極小值，并且是所有極大值、極小值中的最大者和最小者。有極大值、極小值中的最大者和最小者。 返回到目錄43 因此，求閉區(qū)間因此，求閉區(qū)間a，b上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)函數(shù)f (x)的的最大值和最小值的一般步驟為：最大值和最小值的一般步驟為： （1）求函數(shù)）求函數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間(a, b)內(nèi)的駐點(diǎn)及內(nèi)的駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)； （2）求出駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)及區(qū)間端）求出駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值；點(diǎn)的函數(shù)值； （3）比較上述函數(shù)值，其中最大（最?。┍容^

39、上述函數(shù)值，其中最大（最小）者就是函數(shù)者就是函數(shù)f (x)在上的最大（最?。┲怠Ｔ谏系淖畲螅ㄗ钚。┲?。 返回到目錄44 對(duì)于開(kāi)區(qū)間對(duì)于開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果函內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果函數(shù)數(shù)f (x)在在(a, b)內(nèi)有且僅有一個(gè)極大值，內(nèi)有且僅有一個(gè)極大值，而沒(méi)有極小值，則此極大值就是函數(shù)而沒(méi)有極小值，則此極大值就是函數(shù)f (x)在內(nèi)的最大值；同樣，如果函數(shù)在內(nèi)的最大值；同樣，如果函數(shù)f (x)在在(a, b)內(nèi)有且僅有一個(gè)極小值，則此極小值內(nèi)有且僅有一個(gè)極小值，則此極小值就是函數(shù)就是函數(shù)f (x)在在(a, b)內(nèi)的最小值。內(nèi)的最小值。 一般的實(shí)際問(wèn)題，往往極值點(diǎn)是唯一的，一般的實(shí)際

40、問(wèn)題，往往極值點(diǎn)是唯一的，這個(gè)唯一的極值點(diǎn)也就是函數(shù)的最大這個(gè)唯一的極值點(diǎn)也就是函數(shù)的最大（最?。┲迭c(diǎn)。（最?。┲迭c(diǎn)。返回到目錄45 1函數(shù)的變化率函數(shù)的變化率邊際函數(shù)邊際函數(shù) 由導(dǎo)數(shù)概念可知，函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就由導(dǎo)數(shù)概念可知，函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)分是函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)分析中，如果函數(shù)析中，如果函數(shù)y f (x)可導(dǎo)，則稱(chēng)導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)，則稱(chēng)導(dǎo)數(shù) f (x)為邊際函數(shù)，它表示為邊際函數(shù)，它表示f (x)在在x點(diǎn)的變點(diǎn)的變化速度?；俣?。 例如：函數(shù)例如：函數(shù)y x2 4x 3的邊際函數(shù)為的邊際函數(shù)為 y 2x 4，它在，它在x 10處的邊際函數(shù)值為處的邊際函

41、數(shù)值為 16。這說(shuō)明，當(dāng)。這說(shuō)明，當(dāng)x 10時(shí)，時(shí)，x改變一個(gè)單改變一個(gè)單位，位，y（近似）改變（近似）改變16個(gè)單位。個(gè)單位。 返回到目錄46 （1）邊際成本。）邊際成本。 設(shè)總成本函數(shù)設(shè)總成本函數(shù)C(x) C0 C1(x)，其中，其中x為為產(chǎn)量，產(chǎn)量，C0為固定成本，為固定成本，C1(x)為可變成本。為可變成本。則則 稱(chēng)為平均成本，它稱(chēng)為平均成本，它 表示每單位產(chǎn)品的成本。表示每單位產(chǎn)品的成本。 總成本函數(shù)總成本函數(shù)C(x)對(duì)產(chǎn)量對(duì)產(chǎn)量x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)C (x)稱(chēng)為稱(chēng)為邊際成本函數(shù)，記做邊際成本函數(shù)，記做MC C (x) ，它是，它是總成本的變化率。其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)總成本的變化率。其經(jīng)濟(jì)意

42、義是：當(dāng)產(chǎn)量為量為x個(gè)單位時(shí)，若再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，個(gè)單位時(shí)，若再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，總成本就增加總成本就增加MC個(gè)單位。個(gè)單位。( )( )C xC xx 返回到目錄47 （2）邊際收入。）邊際收入。 設(shè)總收入函數(shù)為設(shè)總收入函數(shù)為R(x) px，其中，其中x為銷(xiāo)售為銷(xiāo)售量，量，p為單價(jià)，則為單價(jià)，則 稱(chēng)為平均收入，它表示出售每單位商品稱(chēng)為平均收入，它表示出售每單位商品所得到的收入，即單位商品的售價(jià)。所得到的收入，即單位商品的售價(jià)。 總收入函數(shù)總收入函數(shù)R(x)對(duì)銷(xiāo)售量對(duì)銷(xiāo)售量x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)R (x)稱(chēng)稱(chēng)為邊際收入，記做為邊際收入，記做MR R (x)，它表示在，它表示在已銷(xiāo)售已銷(xiāo)售x個(gè)單位商品

43、的基礎(chǔ)上，再銷(xiāo)售一個(gè)單位商品的基礎(chǔ)上，再銷(xiāo)售一個(gè)單位商品所增加的總收入。個(gè)單位商品所增加的總收入。( )( )R xR xx 返回到目錄48 （3）邊際利潤(rùn)。）邊際利潤(rùn)。 設(shè)總成本函數(shù)為設(shè)總成本函數(shù)為C(x)，總收入函數(shù)為，總收入函數(shù)為R(x)，則，則總利潤(rùn)函數(shù)為總利潤(rùn)函數(shù)為 L(x) R(x) C(x) 其中，其中，x為銷(xiāo)售量。為銷(xiāo)售量。 稱(chēng)為平均利潤(rùn)。稱(chēng)為平均利潤(rùn)。 L (x) R (x) C (x) MR MC稱(chēng)為邊際利潤(rùn)。稱(chēng)為邊際利潤(rùn)。它表示在已銷(xiāo)售它表示在已銷(xiāo)售x個(gè)單位商品的基礎(chǔ)上，再銷(xiāo)個(gè)單位商品的基礎(chǔ)上，再銷(xiāo)售一個(gè)單位商品所增加的總利潤(rùn)。售一個(gè)單位商品所增加的總利潤(rùn)。()()()L

44、 xR xC x 返回到目錄49 2平均成本最小化平均成本最小化 若當(dāng)產(chǎn)量為若當(dāng)產(chǎn)量為x時(shí)，平均成本最小，這恰恰是邊時(shí)，平均成本最小，這恰恰是邊際成本等于平均成本時(shí)際成本等于平均成本時(shí)x的值。的值。 事實(shí)上，由于事實(shí)上，由于 即，如果平均成本取得最小值，產(chǎn)量應(yīng)滿足即，如果平均成本取得最小值，產(chǎn)量應(yīng)滿足 邊際成本邊際成本 平均成本平均成本2()(),()()()()0,()()CxCxxxCxCxCxxCxCxCx 所所 以以令令返回到目錄50 3收入與利潤(rùn)的最大化收入與利潤(rùn)的最大化 設(shè)總收入函數(shù)設(shè)總收入函數(shù)R(x)，總成本函數(shù)，總成本函數(shù)C(x)，則利潤(rùn)，則利潤(rùn)函數(shù)函數(shù)L(x) R(x) C(x) (x為銷(xiāo)售量為銷(xiāo)售量)，則取得最，則取得最大利潤(rùn)的必要條件是大利潤(rùn)的必要條件是 L (x) 0，即，即 R (x) C (x) (或或MR MC ) 即邊際收入等于邊際成本是取得最大利潤(rùn)的必即邊際收入等于邊際成本是取得最大利潤(rùn)的必要條件。要條件。 4經(jīng)濟(jì)批量問(wèn)題經(jīng)濟(jì)批量問(wèn)題 定義定義 經(jīng)濟(jì)批量，是指使生產(chǎn)過(guò)程中的進(jìn)貨費(fèi)經(jīng)濟(jì)批量，是指使生產(chǎn)過(guò)程中的進(jìn)