近似計算的精度優(yōu)秀課件

1、初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究第二講 近似計算的精度一、近似數(shù)的概念 在現(xiàn)代社會的生產(chǎn)、生活實(shí)踐，科學(xué)研究與經(jīng)濟(jì)交往中，人們不可避免地要和各種各樣的數(shù)據(jù)打交道，由于各種各樣的原因，這些數(shù)據(jù)有時并不是所描述對象的準(zhǔn)確值，只能近似地刻畫所描述的對象，這種數(shù)叫做近似數(shù)或近似值。處理近似數(shù)的技能是現(xiàn)代社會公民必備的素質(zhì)。1、近似數(shù)的三種截取方法、近似數(shù)的三種截取方法近似數(shù)的截取方法通常有去尾法、進(jìn)一法和四舍五入法。把一個數(shù)截取到事先指定的數(shù)位，而把該數(shù)位右邊的數(shù)字全部舍去的方法叫去尾法。去尾法。（1）去尾法）去尾法初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究得到的近似數(shù)為3.1415。 例如：用去尾法把圓周率

2、1415926. 3 截取到萬分位，用去尾法將 7320508. 13 截取到萬分位， 得到的近似數(shù)為 7320. 1 一個正數(shù)正數(shù)用去尾法得到的近似數(shù)是不足近似數(shù)不足近似數(shù)，（2）進(jìn)一法）進(jìn)一法而一個負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)用去尾法得到的近似數(shù)卻是是過剩近似數(shù)過剩近似數(shù)。把一個數(shù)截取到事先指定的數(shù)位，并且把這個數(shù)位上的數(shù)字再加1，而把該數(shù)位右邊的數(shù)字全部舍去的方法叫進(jìn)一法進(jìn)一法。（3）四舍五入法）四舍五入法用四舍五入的方法截取近似數(shù)的方法要分三種情況：初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究 第一種：將一個數(shù)截取到事先指定的數(shù)位之后，如果該數(shù)位的下一位數(shù)字小于5，則按去尾法處理；如果該數(shù)位的下一位數(shù)字大于5，則按進(jìn)

3、一法處理；例如：把5.15436372截取到千分位，得5.154；把4.1367352截取千分位，得4.137 第二種：將一個數(shù)截取到事先指定的數(shù)位之后，如果該數(shù)位的下一位數(shù)字等于5，并且并且5的后面還有非零數(shù)字的后面還有非零數(shù)字，則按進(jìn)一法處理；例如：把4.1315726截取到千分位,得4.132 第三種：將一個數(shù)截取到事先指定的數(shù)位之后，如果該數(shù)位的下一位數(shù)字等于5，并且5的后面沒有非零數(shù)字，當(dāng)指定數(shù)位的數(shù)字為偶數(shù)偶數(shù)時，用去尾法去尾法處理；當(dāng)指定數(shù)位的數(shù)字為奇數(shù)奇數(shù)時，用進(jìn)一法進(jìn)一法處理。初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究 例如：把4.1325和4.132500截取到千分位，得到的都是4.

4、132；把4.1335和4.1335000截取到千分位，得到的都是4.134。2、絕對誤差與相對誤差、絕對誤差與相對誤差定義定義1：設(shè)某個量的真值為A，它的近似值為a（1）絕對誤差與絕對誤差界）絕對誤差與絕對誤差界那么|aA (1)叫做近似值的絕對誤差。絕對誤差。一般說來，絕對誤差a是一個變量，因此，它就有一個可能的變化范圍，這個范圍通常叫做誤差界：叫做近似數(shù)a的絕對誤差界，絕對誤差界， 定義定義2：近似值a的絕對誤差 |aA 的最小上界即或 |aA aAa(2)絕對誤差界通常還表示為絕對誤差界通常還表示為 )( a的形式。的形式。 初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究（2）三種近似數(shù)的絕對誤差界

5、）三種近似數(shù)的絕對誤差界第一：用去尾法和進(jìn)一法所得到的近似數(shù)的絕對誤差界第一：用去尾法和進(jìn)一法所得到的近似數(shù)的絕對誤差界是所截留的最后一個數(shù)位的一個單位。是所截留的最后一個數(shù)位的一個單位。例如：用去尾法將521923近似到千位數(shù)字得521000，它的絕對誤差界是1000；用進(jìn)一法把4.1315726截取到千分位得4.132，它的絕對誤差界是0.001.第二：用四舍五入法所得到的近似數(shù)的絕對誤差界是第二：用四舍五入法所得到的近似數(shù)的絕對誤差界是所截留的最后一個數(shù)位的半個單位。所截留的最后一個數(shù)位的半個單位。 精確到0.0001所得的例如：將圓周率 1415926. 3 近似數(shù) 為3.1416，它

6、與真值的絕對誤差界是0.00005。初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究 對同一個量測量得到的幾個近似值，可以用它們的絕對誤差或絕對誤差界來比較精確度的高低。但是，對不同的量，有時絕對誤差或絕對誤差界不能說明問題。例如，稱一頭大象，所得結(jié)果的絕對誤差界是20公斤；而稱一只狐貍，所得結(jié)果的絕對誤差界是50克。就其絕對誤差界來說，50克遠(yuǎn)比20公斤要小得多，但是否說明狐貍的重量要準(zhǔn)確得多呢？這恐怕不好說，因為狐貍本身的重量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)地小于大象的重量。為了能夠比較這種不同量之間的精確度，我們引入相對誤差和相對誤差界的概念。（3）相對誤差與相對誤差界）相對誤差與相對誤差界定義定義3：近似值a的絕對誤差 |aA

7、 與近似值a的絕對值之比叫做近似值a的相對誤差， aaAa 記做即初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究與近似值a的絕對值之比，定義定義4：近似值a的絕對誤差界 叫做近似值a的相對誤差界， 記做 即|a 。 相對誤差界一般是一個不名數(shù)，通常用百分比表示。一個近似值的相對誤差界越小，它的準(zhǔn)確度就越高。 如果稱得大象的體重是5120公斤，狐貍的體重為4160克，回到前面的大象與狐貍的例子上。則大象體重的相對誤差界為 %39. 00039. 05120201 狐貍體重的相對誤差界為 %2 . 1012. 04160502 因此大象的體重5120（20）公斤 要比狐貍的體重4160（50）克準(zhǔn)確得多。初等數(shù)

8、學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究 3、有效數(shù)字與可靠數(shù)字、有效數(shù)字與可靠數(shù)字（1）有效數(shù)字與可靠數(shù)字的概念有效數(shù)字與可靠數(shù)字的概念除了絕對誤差界和相對誤差界這兩個數(shù)量指標(biāo)外，在近似數(shù)計算中還常常用有效數(shù)字和可靠數(shù)字來衡量近似數(shù)的準(zhǔn)確程度。定義定義5：如果近似數(shù)a的絕對誤差界是某個數(shù)位的半個單位，那么從左邊第一個非零數(shù)字起直到這個數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫做近似數(shù)a的有效數(shù)字有效數(shù)字。由于四舍五入所得到的近似數(shù)的絕對誤差界是所截留的最后一個數(shù)位的半個單位。所以，用四舍五入法得到的近似數(shù)從左邊第一個非零數(shù)字起的所有數(shù)字都是有效數(shù)字。大多數(shù)數(shù)學(xué)用表上所開列的數(shù)據(jù)，若無特別說明，都是用四舍五入法得到，所以它們都

9、是有效數(shù)字。初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究例如：42.009、0.00530、4.800、4.8這幾個近似數(shù)都是用四舍五入法產(chǎn)生,它們的有效數(shù)字的個數(shù)分別是5個、3個、4個、2個。定義定義6：如果近似數(shù)a的絕對誤差界是某個數(shù)位的一個單位，那么從左邊第一個非零數(shù)字起直到這個數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫做近似數(shù)a的可靠數(shù)字可靠數(shù)字。由于去尾法和進(jìn)一法所產(chǎn)生的近似數(shù)的絕對誤差界通常是所截留的最后一個數(shù)位的一個單位。所以用進(jìn)一法和去尾法得到的近似數(shù)通常從左邊第一個非零數(shù)字起的所有數(shù)字都是可靠數(shù)字。近似數(shù)a的有效數(shù)字一定是可靠數(shù)字；而可靠數(shù)字不一定是有效數(shù)字。初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究（2）整數(shù)形式的

10、可靠數(shù)字和有效數(shù)字的表示）整數(shù)形式的可靠數(shù)字和有效數(shù)字的表示將25000.4152用四舍五入法截取到個位、十位、百位，得到的近似數(shù)都是25000，它們的有效數(shù)字應(yīng)該分別是5個、4個、3個，這時如何區(qū)別？通常情況下，對近似數(shù)我們用科學(xué)記數(shù)法來區(qū)分這種情形：4105000. 2 410500. 2 41050. 2 將25000.4152用四舍五入法截取到個位、十位、百位，得到的近似數(shù)分別記為具有n個有效（可靠）數(shù)字的近似數(shù)，其相對誤差界不受小數(shù)點(diǎn)所在位置的影響。（3）有效（可靠）數(shù)字與相對誤差界的關(guān)系）有效（可靠）數(shù)字與相對誤差界的關(guān)系初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究二、近似數(shù)的計算二、近似數(shù)的

11、計算1、近似數(shù)運(yùn)算的經(jīng)驗法則、近似數(shù)運(yùn)算的經(jīng)驗法則（1）加減法法則：）加減法法則：若干個近似數(shù)相加減，計算結(jié)果所保留的小數(shù)位數(shù)小數(shù)位數(shù)，應(yīng)該和已知數(shù)椐中精確度最低的相同精確度最低的相同。如果其它已知數(shù)的小數(shù)位數(shù)過多，可以先四舍五入到比結(jié)果應(yīng)保留的多一位，再進(jìn)行計算。7 .9071.9063.346 .5347. 2 解：原式6342.346 .53478. 2 例1：計算（2）乘除法法則：）乘除法法則：若干個近似數(shù)相乘除，計算結(jié)果所保留的有效數(shù)位個數(shù)有效數(shù)位個數(shù)，應(yīng)該和已知數(shù)中有效數(shù)位最少的一個有效數(shù)位最少的一個相同相同。其它已知數(shù)中過多的有效數(shù)字，可先四舍五入到比結(jié)果應(yīng)保留的多一個，再進(jìn)行計

12、算。初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究例2：計算 27952. 4)1058. 2(3 解：原式 231003. 68 .602280. 4)1058. 2( （3）乘方、開方法則：）乘方、開方法則：近似數(shù)乘方或開方，計算結(jié)果所保留的有效數(shù)位個數(shù)保留的有效數(shù)位個數(shù)，應(yīng)和底數(shù)或被開方數(shù)的有效數(shù)位有效數(shù)位的個數(shù)相同的個數(shù)相同。（4）混合運(yùn)算法則：）混合運(yùn)算法則：近似數(shù)的混合運(yùn)算，仍然按通常的運(yùn)算順序進(jìn)行，計算過程中得出的中間結(jié)果，一般要比最后結(jié)果應(yīng)保留的數(shù)位多一位。例3：計算 2 .376483. 12 .4361547. 8 解：由于 2 .37的計算結(jié)果只能有三個有效數(shù)字， 是其它各項有效數(shù)位最

13、少的一個，因此，最終計算結(jié)果應(yīng)該只保留三個有效數(shù)字：8 6243 2 1 64837 28 6271 196 09973 71173 7. 原原式式初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究2、預(yù)定精確度的計算方法、預(yù)定精確度的計算方法（1）結(jié)果的預(yù)定精確度用有效）結(jié)果的預(yù)定精確度用有效(可靠可靠)數(shù)字的個數(shù)表出的問數(shù)字的個數(shù)表出的問題題(要求結(jié)果保留若干個有效要求結(jié)果保留若干個有效(可靠可靠)數(shù)字?jǐn)?shù)字)加法法則加法法則1：在要求結(jié)果保留：在要求結(jié)果保留n個有效（可靠）數(shù)字的近似數(shù)個有效（可靠）數(shù)字的近似數(shù)加法運(yùn)算中，值最大的加數(shù)必須取加法運(yùn)算中，值最大的加數(shù)必須取n+1個有效個有效(可靠可靠)數(shù)字，數(shù)

14、字，其余的近似數(shù)截取到與最大加數(shù)的末位有效其余的近似數(shù)截取到與最大加數(shù)的末位有效(可靠可靠)數(shù)字的相數(shù)字的相同數(shù)位上。同數(shù)位上。2 .5518.5541. 114. 363.5022563 22563 例3：計算結(jié)果要求保留3個有效數(shù)字。因此，其余兩個數(shù)必須截取到百分位：2536是最大加數(shù)，它必須取4個有效數(shù)字，解：由于63.502563 而初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究減法法則減法法則2：在要求結(jié)果保留：在要求結(jié)果保留n個有效（可靠）數(shù)字的近似個有效（可靠）數(shù)字的近似數(shù)減法運(yùn)算中，被減數(shù)至少截取數(shù)減法運(yùn)算中，被減數(shù)至少截取n個有效（可靠）數(shù)字，個有效（可靠）數(shù)字，減數(shù)截取到與被減數(shù)的末位有

15、效減數(shù)截取到與被減數(shù)的末位有效(可靠可靠)數(shù)字的相同數(shù)位上。數(shù)字的相同數(shù)位上。 245例4：計算要求結(jié)果保留4個有效數(shù)字。51.1214. 365.15245 解：乘除混合運(yùn)算法則乘除混合運(yùn)算法則3：在要求結(jié)果保留：在要求結(jié)果保留n個有效（可靠）個有效（可靠）數(shù)字的近似數(shù)乘除法運(yùn)算中，各個近似值因數(shù)（或除數(shù)）數(shù)字的近似數(shù)乘除法運(yùn)算中，各個近似值因數(shù)（或除數(shù)）都必須截取都必須截取n+1個有效（可靠）數(shù)字。個有效（可靠）數(shù)字。例5：一個梯形場地的上底a約50m，下底b約為80m，高h(yuǎn)約為60m，如果要求面積S應(yīng)具有3位有效數(shù)字，重新測量時，各個數(shù)據(jù)應(yīng)達(dá)到怎樣的精確度？初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研

16、究例5：一個梯形場地的上底a約50m，下底b約為80m，高h(yuǎn)約為60m，如果要求面積S應(yīng)具有3位有效數(shù)字，重新測量時，各個數(shù)據(jù)應(yīng)達(dá)到怎樣的精確度？解：梯形面積計算公式為 hbaS2 于是 ba 與h都必須具有4個有效數(shù)字， 而 ba 大約為130m(已經(jīng)具有3位數(shù)) 要使 ba 具有4個有效數(shù)字， 則測量時必須精確到0.1m； 而h卻大約有60m(只是2位數(shù))， 要得到四個有效數(shù)字 測量時必須要達(dá)到0.01m的精確度。初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究測量規(guī)則：在某個量的計算公式中，如果它有若干個測量規(guī)則：在某個量的計算公式中，如果它有若干個參數(shù)因子，則值越小的參數(shù)要求的精確度就越高。參數(shù)因子，

17、則值越小的參數(shù)要求的精確度就越高。如右圖：如右圖： ba 如果測量時，它們具有相同的誤差如果測量時，它們具有相同的誤差t，那么面積的誤差分別為那么面積的誤差分別為0)()()( tabtatbtaabtbatbabbta如果如果 ba,兩個參數(shù)相差很大兩個參數(shù)相差很大 ()ba 那么那么a產(chǎn)生的面積誤差產(chǎn)生的面積誤差 tb 就要比就要比b產(chǎn)生的面積誤差產(chǎn)生的面積誤差 ta 要大得多。要大得多。 初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究（2）結(jié)果的預(yù)定精確度用絕對誤差界給出的問題）結(jié)果的預(yù)定精確度用絕對誤差界給出的問題加減混合運(yùn)算法則加減混合運(yùn)算法則4：在預(yù)定精確度的近似數(shù)的加、減：在預(yù)定精確度的近似數(shù)

18、的加、減運(yùn)算中，如果要求結(jié)果精確到運(yùn)算中，如果要求結(jié)果精確到n位小數(shù)，那么，原始數(shù)位小數(shù)，那么，原始數(shù)據(jù)應(yīng)截取到據(jù)應(yīng)截取到n+1位小數(shù)。位小數(shù)。例6：求和91817161514131 S要求精確到0.001解：結(jié)果要求精確到0.001，相當(dāng)于絕對誤差界為0.0005。 其余的只能取近似值，且要精確到4位小數(shù)：除 125. 081, 2 . 051,025. 041 是準(zhǔn)確值外，246. 02456. 05417. 07873. 0)125. 01667. 025. 0()1111. 01429. 02 . 03333. 0()816141()91715131( S初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研

19、究對于含有乘、除運(yùn)算的問題，先依據(jù)原始數(shù)據(jù)的粗略值,估計結(jié)果的大?。蝗缓笥山Y(jié)果的絕對誤差，確定結(jié)果應(yīng)該具有的有效(可靠)數(shù)字的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為第1類問題應(yīng)用法則3解決問題。例8：一塊長方體金屬的長約為15cm，寬約為8cm，高約為6cm。要使算出的體積結(jié)果的絕對誤差不超過5cm3，問測量時應(yīng)達(dá)到怎樣的精確度？解：體積V約為 )(72068153cm 因為誤差不能超過5cm3，它是10cm3的半個單位，所以體積的精確度應(yīng)該是十位（單位cm3），即V應(yīng)該有兩個有效數(shù)字。從而測量時，長、寬、高都要有3個有效數(shù)字。因此，長的測量精確度應(yīng)達(dá)到0.05cm(0.1cm的半個單位)；寬和高要達(dá)到0.005cm(

20、0.01cm的半個單位)。初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究（3）結(jié)果的預(yù)定精確度用相對誤差界給出的問題）結(jié)果的預(yù)定精確度用相對誤差界給出的問題這類問題可先估計結(jié)果的大小，再根據(jù)公式絕對誤差界=相對誤差界結(jié)果的估計值算出結(jié)果的絕對誤差，轉(zhuǎn)化成第2類問題。例9：一個直圓柱的底面半徑約為10cm，高約為20cm。問要使它的體積的相對誤差不超過1%，底面半徑和高應(yīng)該用怎樣的精確度的量具來量？解：先估計體積V的大小：3.1410220=6280(cm3)V的相對誤差界為1%，因此絕對誤差界約為63cm3。這樣，V的百位和千位數(shù)字是可靠數(shù)字，即V有兩個可靠數(shù)字，所以，底面半徑和高都必須有3個有效數(shù)字，從而測量精確度應(yīng)該達(dá)到0.1cm的半個單位，即要用測量精度達(dá)到0.05cm的量