常微分方程數(shù)值解及實(shí)驗(yàn)

1、上機(jī)實(shí)驗(yàn)4-5：習(xí)題6：5，8常微分方程的數(shù)值解及實(shí)驗(yàn)常微分方程的數(shù)值解及實(shí)驗(yàn)（一）常微分方程數(shù)值解的定義（一）常微分方程數(shù)值解的定義 1.解析解與數(shù)值解2.數(shù)值解的意義數(shù)值解的意義。的相應(yīng)近似值求出準(zhǔn)確值，值處，即對(duì)的若干離散的開(kāi)始其數(shù)值解是指由初始點(diǎn)，：對(duì)常微分方程nnnyyxyxyxxxxxy,y )(,),(),y(x x )y(xy)f(x,y 2121210000（二）建立數(shù)值解法的一些途徑（二）建立數(shù)值解法的一些途徑001i)y(xy)f(x,y , 1, 2 , 1 , 0 , xynihxi解微分方程：可用以下離散化方法求設(shè)1。用差商代替導(dǎo)數(shù)。用差商代替導(dǎo)數(shù) 若步長(zhǎng)h較小，則

2、有hxyhxyxy)()()( 故有公式：1-n,0,1,2,i )(),(001xyyyxhfyyiiii此即歐拉法（歐拉法（向前歐拉法向前歐拉法）。2。使用數(shù)值積分。使用數(shù)值積分對(duì)方程y=f(x,y), 兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有：)(,()(,(2)(,()()(11111iiiiiixxiixyxfxyxfxxdttytfxyxyii實(shí)際應(yīng)用時(shí)，與歐拉公式結(jié)合使用：, 2 , 1 , 0 ),(),(2),()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyykiiiiikiiiii的計(jì)算。然后繼續(xù)下一步，取時(shí)，當(dāng)滿足，對(duì)于已給的精確度）（ y y 2i111i)

3、(1)1(1kikikiyyy此即改進(jìn)的歐拉法改進(jìn)的歐拉法。故有公式：)(),(),(200111xyyyxfyxfhyyiiiiii3。使用泰勒公式。使用泰勒公式 以此方法為基礎(chǔ)，有龍格龍格-庫(kù)塔法庫(kù)塔法、線性多步法線性多步法等方法。4。數(shù)值公式的精度。數(shù)值公式的精度 當(dāng)一個(gè)數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表示為O（hk+1）時(shí)（k為正整數(shù)，h為步長(zhǎng)），稱它是一個(gè)k階公式階公式。k越大，則數(shù)值公式的精度越高。歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式。龍格-庫(kù)塔法有二階公式和四階公式。線性多步法有四階阿達(dá)姆斯外插公式和內(nèi)插公式。（三）用（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解軟件求常微分方程的數(shù)值解t

4、，x=solver（f,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=t0，tf，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：3 級(jí) 2 階龍格-庫(kù)塔-芬爾格算法ode45：5 級(jí) 4 階龍格-庫(kù)塔-芬爾格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時(shí)設(shè)定相對(duì)誤差10-3, 絕對(duì)誤差10-6),命令為：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分別為設(shè)定的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差. 1、在解n個(gè)未知函數(shù)的方程組時(shí)，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成.

5、2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時(shí)，高階微分方程必須等價(jià)地變換成一階微分方程組.注意注意:解解: 令 y1=x，y2=y11、建立m-文件vdp.m如下： function dy=vdp(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 222(1)0(0)2; (0)0d xdxxxdtdtxx例例則微分方程變?yōu)橐浑A微分方程組： 122212112(1)(0)2,(0)0yyyyyyyy2、取t0=0，tf=20，輸入命令： T,Y=ode45(vdp,0 20,2 0); plot(T,Y(:,1),b-) % 圖1：狀態(tài)變量x hold on plot