常微分方程95ppt

1、第五節(jié) 高階常系數(shù)線性微分方程一、特征方程與特征根二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程四、 n 階常系數(shù)齊線性微分方程一一. 特征方程與特征根特征方程與特征根( (1 1) ) )()(1) 1(1)(均為常數(shù)knnnnpxfypypypy稱為n階常系數(shù)非齊線性微分方程。式成為則若 ) 1 ( , 0)( xf方程（2）稱為n階常系數(shù)齊線性微分方程。xrer函數(shù)為常數(shù)時因為,和它的導數(shù)只差常數(shù)因子,xrey 代入(2)得( r 為待定常數(shù) ),所以令(2)的解為 )( 201) 1(1)( ypypypynnnn稱(3)為微分方程(2)的特征方程特征方程, 其根稱為特征

2、根特征根.)( 30111 prprprnnnn0)(111xrnnnne prprpr)( 201) 1(1)(ypypypynnnn形如形如) 1 ( 0 yqypy )(常數(shù)。常數(shù)。實實為為的方程，稱為二階常系數(shù)線性齊微分方程，的方程，稱為二階常系數(shù)線性齊微分方程， qp、其中其中 得得的解，則代入方程后，的解，則代入方程后，假設(shè)方程有形如假設(shè)方程有形如xey 02，xxxeqepe即即 02。qp二、二階常系數(shù)線性微分方程二、二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性齊微分方程二階常系數(shù)線性齊微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。qp ) 121，則，則實根實根特

3、征方程有兩個不同的特征方程有兩個不同的xxeyey2 1 21 ，是方程是方程 (1) 的兩個線性無關(guān)的解，故方程的兩個線性無關(guān)的解，故方程 (1) 的通解為的通解為 2 1 212211。xxeCeCyCyCy二階常系數(shù)線性齊微分方程二階常系數(shù)線性齊微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。qp )221，則，則實重根實重根特征方程有特征方程有 ) 1 ( 1 1的一個解。是方程此時，xey 042， qp由求根公式由求根公式 22422, 1 ，pqpp021 p由劉維爾公式求另一個解：由劉維爾公式求另一個解：xeexeeeyxpxxxpxdd)()2(2d21 1

4、 1 1 021p d11 。xxexxe于是，當特征方程有重實根時，方程于是，當特征方程有重實根時，方程 ( 1 ) 的通解為的通解為 )(21211 1 1 。xCCeexCeCyxxx二階常系數(shù)線性齊微分方程二階常系數(shù)線性齊微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。qp3) 特征方程有一對共軛復根：特征方程有一對共軛復根： i i21，則，則， )i (2)i (12 1 xxxxeeyeey，是方程是方程 ( 1 ) 的兩個線性無關(guān)的解，其通解為的兩個線性無關(guān)的解，其通解為 )i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy 1i 。式中的虛數(shù)單位利用歐拉公式去掉

5、表達歐拉公式：歐拉公式： sinicosi。e )sini(cosi)i(1，xxeeeeyxxxx )sini(cosi)i(2。xxeeeeyxxxx由線性方程解的性質(zhì)：由線性方程解的性質(zhì)： cos)(21211，xeyyyx sin)(i21212xeyyyx均為方程均為方程 ( 1 ) 的解，且它們是線性無關(guān)的：的解，且它們是線性無關(guān)的：故當特征方程有一對共軛復根故當特征方程有一對共軛復根 i i2 1，時，原方程的通解可表示為時，原方程的通解可表示為 )sincos(21。xCxCeyx ) )Im( , )Re( (1 1 。二階常系數(shù)線性齊微分方程二階常系數(shù)線性齊微分方程 0 y

6、qypy特征方程特征方程 02。qp特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 2 1 不同的實根xxeCeCy2 1 21)( 2 1 實重根)(211 xCCeyx)( i2, 1 共軛復根)sincos(21xCxCeyx解解 032 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 032 2，特征方程特征方程 3 1 2 1 ，特征根 321。所求通解為xxeCeCy例解解 052 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 052 2，特征方程特征方程 i21 i21 2 1 ，特征根 )2sin2cos( 21。所求通解為所求通解為xCxCeyx例解解 0 d d2 dd 22滿足初始條件的解：滿

7、足初始條件的解：求方程求方程ststs 012 2，特征方程特征方程 1 2 1 ，特征根 ) ( 21。所求通解為tCCest 2 d d 4 0 0 。，tttss 2 4 2 d d 4 210 0 ，得得，由初始條件由初始條件CCtsstt故所求特解為故所求特解為 ) 24(。test例解解 的彈簧從靜止狀態(tài)的彈簧從靜止狀態(tài)用手將懸掛著的質(zhì)量為用手將懸掛著的質(zhì)量為 m此時彈簧僅受到彈性恢復力此時彈簧僅受到彈性恢復力 f 的作用。求反映此彈的作用。求反映此彈 O 0時，時，的位移為的位移為當點當點xx 突然放手，突然放手，開始拉長，開始拉長，簧運動的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為簧運動的規(guī)律（設(shè)其

8、彈性系數(shù)為 k ）。）。O例解解 的彈簧從靜止狀態(tài)的彈簧從靜止狀態(tài)用手將懸掛著的質(zhì)量為用手將懸掛著的質(zhì)量為 m此時彈簧僅受到彈性恢復力此時彈簧僅受到彈性恢復力 f 的作用。求反映此彈的作用。求反映此彈 O 0時，時，的位移為的位移為當點當點xx 突然放手，突然放手，開始拉長，開始拉長，簧運動的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為簧運動的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為 k ）。）。O0 xx取取 x 軸如如圖所示。軸如如圖所示。由力學的虎克定理，有由力學的虎克定理，有 。xkf（ 恢復力與運動方向相反恢復力與運動方向相反 ）由牛頓第二定律，得由牛頓第二定律，得 dd22。xktxm例 )0( 0 dd222。，axatx

9、它能正確描述我它能正確描述我們的問題嗎？們的問題嗎？ 0 ，則有初始條件：，則有初始條件：t記拉長后，突然放手的時刻為記拉長后，突然放手的時刻為 00 ，初始位移初始位移xxt 0 dd 0 。初始速度初始速度ttx 2，則有，則有移項，并記移項，并記mka 我們要找的規(guī)律是下列初值問題的解：我們要找的規(guī)律是下列初值問題的解： 0 dd222，xatx 00 ，xxt。 0 dd 0 ttx 0 22，特征方程特征方程a i 2, 1 ，特征根a sin cos 21。所求通解為taCtaCx 0100 ；，得，得由由xCxxt 0 0) cos sin( dd 220 210 。，得，得由由

10、CaCtaaCtaaCtxtt從而，所求運動規(guī)律為從而，所求運動規(guī)律為 ) ( cos0。，mkataxx) , 0 (。a形如形如)2( )( xfyqypy )(常數(shù)。常數(shù)。實實為為的方程，稱為二階常系數(shù)線性非齊微分方程，的方程，稱為二階常系數(shù)線性非齊微分方程， qp、其中其中它對應的齊方程為它對應的齊方程為) 1 ( 0 。 yqypy我們只討論函數(shù)我們只討論函數(shù) f ( x ) 的幾種簡單情形下，的幾種簡單情形下，(2) 的特解。的特解。三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程0 yqypy二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)齊線性方程)(xfyqypy 二階常系數(shù)非齊線

11、性方程二階常系數(shù)非齊線性方程特征方程特征方程02qp特征根特征根 , 21 2211yCyCy通解通解 * y特解特解 * yyy通解通解 二階常系數(shù)線性微分方程解的關(guān)系二階常系數(shù)線性微分方程解的關(guān)系)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy )()( . 1的情形的情形xPexfnx )( 1110。其中其中nnnnnaxaxaxaxP方程方程 (2) 對應的齊方程對應的齊方程 (1) 的特征方程及特征根為的特征方程及特征根為 0 2；特征方程特征方程qp 2 1 。，特征根單根單根二重根二重根一對共軛復根一對共軛復根 你認為方程應該你認為方程應該有什么樣子的特解？有什么樣

12、子的特解？假設(shè)方程假設(shè)方程)2( )(xPeyqypynx 有下列形式的特解：有下列形式的特解： )(，xueyx則則 ，ueueyxx 22，ueueueyxxx 代入方程代入方程 (2) ，得，得 )()()2(2，xPeuqpupuenxx 即即 )3( )()()2(2。xPuqpupun 方程方程 (3) 的系數(shù)與方程的系數(shù)與方程 (2) 的特征根有關(guān)。的特征根有關(guān)。qpqpp)2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun ) 1 (不是特征根，則不是特征根，則若若 02，qp由方程由方程 (3) 及多項式求導的特點可知，應有及多項式求導的特點可知，應

13、有 )()(1110，nnnnnbxbxbxbxQxu )2( )()( 的特征根時，的特征根時，不是方程不是方程中的中的故當故當xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQeynx )(xueyx )2(是單特征根，則是單特征根，則若若 02，qp由多項式求導的特點可知，應有由多項式求導的特點可知，應有 )()()(1110，nnnnnbxbxbxbxxQxxu )2( )()( 的單特征根時，的單特征根時，是方程是方程中的中的故當故當xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQexynx )3( 02 2 為為。此時，

14、方程。此時，方程，即，即而而pp )()2(。xPupun )2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun )(xueyx )3(是二重特征根，則是二重特征根，則若若 02，qp由多項式求導的特點可知，應有由多項式求導的特點可知，應有 )()()(111022，nnnnnbxbxbxbxxQxxu )2( )()( 的二重特征根時，的二重特征根時，是方程是方程中的中的故當故當xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*2。xQexynx )3( 0 2 2 為為。此時，方程。此時，方程，即，即且且pp )(。xPun )2( )(x

15、Peyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun )(xueyx當二階常系數(shù)線性非齊方程當二階常系數(shù)線性非齊方程)2( )( xfyqypy )()( 時，時，的右端為的右端為xPexfnx它有下列形式的特解：它有下列形式的特解： )(*，xQexynxk其中：其中： 0 ；不是特征根時，取不是特征根時，取當當k 1 ；是單特征根時，取是單特征根時，取當當k 2 。是二重特征根時，取是二重特征根時，取當當k :?？梢詾閺蛿?shù)可以為復數(shù)注意注意解解 2。的通解的通解求方程求方程xxyy ) )()( 2 0 )(2xPexfnxxxfnx。，對應的齊方程的特征方程為對應的齊方程的特

16、征方程為 012，特征根為特征根為 i2, 1 。對應的齊方程的通解為對應的齊方程的通解為 sincos21。xCxCy例 0 ，原方程有特解，原方程有特解不是特征根，故取不是特征根，故取由于由于k *2120，bxbxby將它代入原方程，得將它代入原方程，得 2221200，xxbxbxbb xxyy 2比較兩邊同類項的系數(shù)，得比較兩邊同類項的系數(shù)，得 10，b 11，b 0220，bb 10，b 11 ，b 2 2，b故原方程有一特解為故原方程有一特解為 2*2。xxy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 2sincos*221。xxxCxCyyy解解 32 。的通解的通解求方

17、程求方程xeyyy ) )()( 0 1 )(xPexfnexfnxx。，對應的齊方程的特征方程為對應的齊方程的特征方程為 0322，特征根為特征根為 1 32 1 。，對應的齊方程的通解為對應的齊方程的通解為 231。xxeCeCy 1 ，原方程有特解，原方程有特解是單特征根，故取是單特征根，故取由于由于k *0，bexyx將它代入原方程，得將它代入原方程，得 3)1 (2)2(000，xxeexbxbxb例上式即上式即 140， b 410，b故原方程有一特解為故原方程有一特解為 41*。xexy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 41*231。xxxexeCeCyyy將它代

18、入原方程，得將它代入原方程，得 3)1 (2)2(000，xxeexbxbxb解解 1332 。的通解的通解求方程求方程 xeyyyx 1332 xeyyyx 32xeyyy 1332 xyyy 41*1xexy31*2xy對應的齊方程的通解為對應的齊方程的通解為 231。xxeCeCy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 3141*231。xexeCeCyyyxxx例請看上例請看上例 . )( ),( , sin)( cos)()( . 2次多項式次和分別是是常數(shù)，這里nlxQxPxxQxxPexfnlnlxsin)(cos)(*xxBxxAexymmxk特解：其中k; , 0不

19、是特征根i. , 1是特征根i.,max )()(nlmmxBxAmm次待定多項式，是，y+4y=cos2xii2, 2, 0特征方程 r2+4=0, 得r1,2=2i)2sin2cos(* xBxAxy故設(shè)41 , 0 BA解得xxy2sin41* 例解解 xxQxxPexfnlxsin)(cos)()(y+y=exsinxii1 , 1 , 1特征方程 r2+1=0, 得r1,2=i)sincos(e* xBxAyx故設(shè)51 ,52 BA解得)cos52sin51(e* xxyx故例解解xyyyxsine2652 求解特征方程 r25r60得 r1=2, r2=3xxCCy3221ee (

20、2) 再求y*：xyyy2e265 .sin65xyyy .sine2)( 2xxfx有(1)(2)(1) 先求y：例解解 求方程(1)的 y1*: 設(shè)y1*=Axe2x代入方程(1)得 A2xxy21e2*xyyy2e265 (1)r1=2, r2=3r25r60, 求方程(2)的y2*:xBxAysincos* 2設(shè)代入方程(2)得101 BA)sin(cos101* 2xxy* 21yyy)sin(cos10122xxxex)sin(cos101e2ee*23221xxxCCyyyxxx.sin65xyyy (2)r25r60, r1=2, r2=3解解 cos 的一個特解。的一個特解。

21、求方程求方程xyy 01 2，特征方程特征方程 i 2, 1 ，特征根 1 0 i ，且有，且有，故取，故取是特征根，是特征根，由于由于kn ，)sincos(*xbxaxy代入上述方程，得代入上述方程，得原方程有一特解為原方程有一特解為 。xxsin21*y例解解 sincos 的一個特解。的一個特解。求方程求方程xxxyy )cossin(41sin21*221xxxxxxyyy cos41sin432。xxxx思思 考考形如形如) 1 ( 01)1(1)(ypypypynnnn )(常數(shù)。常數(shù)。實實為為的方程，稱為的方程，稱為 n 階常系數(shù)線性齊微分方程，階常系數(shù)線性齊微分方程， , 1

22、npp 其中其中四、四、n 階常系數(shù)齊線性微分方程階常系數(shù)齊線性微分方程n 階常系數(shù)線性齊微分方程的特征方程為階常系數(shù)線性齊微分方程的特征方程為 單實根單實根xCe 1 項項 實重根k)( 121kkxxCxCCek項項 一對共軛復根一對共軛復根)sincos( 221xCxCex項項 011 1 nnnnpppi 2, 1 重復根重復根一對共軛一對共軛 ki 2, 1 2 項項k cos)(121xxCxCCekkx sin)(121xxDxDDkk特特 征征 根根通通 解解 中中 的的 對對 應應 項項解解 0dd3dd3dd 2233的通解。求方程yxyxyxy 0133 23，特征方程

23、特征方程 1 321，特征根特征根 ) ( 2321。所求通解為所求通解為xCxCCeyx例解解在研究彈性地基梁時，遇到一個微分方程在研究彈性地基梁時，遇到一個微分方程 )0( 0dd444。，x試求此方程的通解。試求此方程的通解。 0 44，特征方程特征方程 i)1 (2 i)1 (2 43 2, 1 ，特征根， 所求通解為所求通解為 ) 2sin2cos(212xCxCeyx ) 2sin2cos(432。xCxCex 2)(2222244例第六節(jié) 歐拉方程形如形如 )(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn的方程，稱為的方程，稱為 n 階歐拉方程，其中階歐拉方程，其中 )

24、, 2 , 1 ( 為常數(shù)。為常數(shù)。nipi tex 令令關(guān)于變量關(guān)于變量 t 的常系數(shù)線性微分方程的常系數(shù)線性微分方程 。引入算子記號：引入算子記號： ddkkktyyDkkktD dd ) , 2 , 1 (。k ，則有，則有令令tex dd1dddddd，tyxxttyxyy dddd1dd22222， tytyxxyy dd2dd3dd1dd2233333， tytytyxxyyyDyxyDDyx) 1(2 yDDDyx)2)(1(3 由數(shù)學歸納法可以證明：由數(shù)學歸納法可以證明： ) 1()2)(1()(。ynDDDDyxnn 例解解 34 223的通解。的通解。求方程求方程xyxyx

25、yx 這是三階歐拉方程，這是三階歐拉方程， ，原方程化為，原方程化為令令tex 34) 1()2)(1( 2，teDyyDDyDDD作代數(shù)運算后，得作代數(shù)運算后，得 332 223，teDyyDyD即即 (1) 3dd3dd2dd 22233，tetytyty這是一個三階常系數(shù)線性非齊微分方程，且這是一個三階常系數(shù)線性非齊微分方程，且 032 23，特征方程特征方程 , 3 1 0 3 2 1 ，特征根方程方程 (1) 對應的齊方程的通解為對應的齊方程的通解為 33 21。tteCeCCy 2 0 2 3)( 2特征根，故特征根，故不是不是，且，且，由于由于netftteby 20*為方程為方

26、程 (1) 特解形式，代入方程特解形式，代入方程 (1) 中，得中，得 ，tteebbb220003)688(從而從而 21* 21 20。，teyb故原歐拉方程的通解為故原歐拉方程的通解為ttteeCeCCyyy 2 33 2121* 21123321。xxCxCC 0 k故取.22的通解求方程xxyxyy 將方程化為xyyxyx22 (歐拉方程) ,ddtD 記則方程化為,tex 令teyDDD2)1) 1(即teyDD2) 12(2特征根:, 121 rr設(shè)特解:,2 tetAy 代入 解得 A = 1,ttetetCCy221)(xxxxCC221ln)ln(所求通解為 例解解滿足設(shè)函數(shù))(xyy 1,ln5d)(321 xxttytyyxx,01xy且.