專題圓與橢圓中的最值與取值范圍

1、專題2:圓與橢圓中的最值與取值范圍銅山縣棠張中學(xué) 單麗虹2009年4月29日 1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程.這是平面解析幾何初步的重要內(nèi)容，體現(xiàn)了二元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系. 2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)。這是圓錐曲線的重要內(nèi)容，在高考試卷中多為一道小題或一道與其他知識相結(jié)合的綜合性解答題.143,1)3146,2（基本不等式，二次函數(shù)）（數(shù)形結(jié)合 ，幾何意義）（數(shù)形結(jié)合，不等式）（橢圓性質(zhì)，二次函數(shù)）PQQxyOB(-1,0)A(1,0)DPQ22(1)4xy223314xy規(guī)律方法：規(guī)律方法： 1、平面向量具有幾何形式和代數(shù)形式雙重身份，利、平面向量具有幾何形式和代數(shù)形式雙重身份，利用向量把

2、用向量把2BD=DE轉(zhuǎn)化為數(shù)的關(guān)系。轉(zhuǎn)化為數(shù)的關(guān)系。 2、P，Q均為動點，可先把其中一點看作定點，使其均為動點，可先把其中一點看作定點，使其一定一動，把問題轉(zhuǎn)移到熟悉的情境中來。一定一動，把問題轉(zhuǎn)移到熟悉的情境中來。 3、借助圖形，利用圓的性質(zhì)、橢圓定義、三角形中、借助圖形，利用圓的性質(zhì)、橢圓定義、三角形中兩邊之差小于第三邊，逐個擊破難點。兩邊之差小于第三邊，逐個擊破難點。 4、平面上點到圓上最大最小值過圓心。、平面上點到圓上最大最小值過圓心。 5、橢圓上點到焦點與一定點距離之和（差）的最值、橢圓上點到焦點與一定點距離之和（差）的最值問題往往可用定義轉(zhuǎn)化到另一焦點距離之差（和）進而求問題往往可

3、用定義轉(zhuǎn)化到另一焦點距離之差（和）進而求解。解。 6、本題利用了三角形三邊關(guān)系，求最值的方法。、本題利用了三角形三邊關(guān)系，求最值的方法。： 圓與橢圓中的最值問題，往往可利用圖形解決，通過圓與橢圓中的最值問題，往往可利用圖形解決，通過研究圖形，在運動變化中尋求特殊情況。常用的方法有：研究圖形，在運動變化中尋求特殊情況。常用的方法有： 1、利用數(shù)形結(jié)合，尤其是以圓與橢圓的性質(zhì)求最值。、利用數(shù)形結(jié)合，尤其是以圓與橢圓的性質(zhì)求最值。 2、借助圖形，利用幾何意義，尤其是斜率、距離求、借助圖形，利用幾何意義，尤其是斜率、距離求最值。最值。 1、條件不變求、條件不變求PQ+PD的最的最小小值；值； 2233

4、14xyxyOBAD(P)Q22(1)4xyxyOBAD223314xy22(1)4xy 2、條件不變求、條件不變求 的最小值；的最小值； 2 33PDPBxyoPB(-1,0)A(1,0)D1D223314xy 3、條件不變求、條件不變求 的取值范圍；的取值范圍； PB PA yoPBA(-1,0)(1,0)(x,y)223314xy 4、若已知、若已知 取值范圍為取值范圍為 ，求橢圓，求橢圓 的方程；的方程； 2 1,3 3PB PA xyoPBA22221(0)xyababxyoM(0,3)N(x,y)222212xybb規(guī)律方法：規(guī)律方法： 1、本題設(shè)、本題設(shè)M點坐標(biāo)，引入變量，利用兩

5、點間距離公式，點坐標(biāo)，引入變量，利用兩點間距離公式， 建立不等式。建立不等式。 2、本題利用求恒成立問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)含參最值的問、本題利用求恒成立問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)含參最值的問題，求短軸長的范圍。題，求短軸長的范圍。 3、最值與取值范圍問題所依據(jù)的數(shù)學(xué)思想主要是函數(shù)思、最值與取值范圍問題所依據(jù)的數(shù)學(xué)思想主要是函數(shù)思想，解決這類問題必須構(gòu)建一個函數(shù)關(guān)系式，通過函數(shù)去想，解決這類問題必須構(gòu)建一個函數(shù)關(guān)系式，通過函數(shù)去研究最值，也就是在運動變化中尋求特殊情況，是高考考研究最值，也就是在運動變化中尋求特殊情況，是高考考查函數(shù)的思想問題，歷年的高考試題中這類問題占有相當(dāng)查函數(shù)的思想問題，歷年的高考試題

6、中這類問題占有相當(dāng)大的比例。大的比例。變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練: 1、去掉條件、去掉條件“點點M在橢圓內(nèi)部在橢圓內(nèi)部” 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練: 2、設(shè)點、設(shè)點M(0,3)在橢圓內(nèi)部，若在橢圓內(nèi)部，若橢圓橢圓C上上存在到點存在到點M的距離為的距離為 的的點點，求橢圓，求橢圓C的短軸長的取值范圍。的短軸長的取值范圍。25變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練: 3、 在在(2)的條件下，過橢圓的條件下，過橢圓C上的任意一點上的任意一點N作圓作圓O的的切線切線NA，NB切點為切點為A，B求求 的最小值的最小值.2213618xyOA OB yoANB2218xyx五、課堂小結(jié)五、課堂小結(jié)： 解析幾何中的最值與取值范圍問題涉及的知識面較廣，但主要運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)兩大數(shù)學(xué)思想，具體方法有以下幾種： 1、利用數(shù)形結(jié)合，尤其是以圓與橢圓的性質(zhì)求最值與取值范圍。 2、利用幾何意義，尤其是斜率、距離