chapter參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)

1、第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)量的的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量的的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)無偏性無偏性有效性有效性一致性一致性第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn) 我們注意到，在上一節(jié)中對(duì)于同一個(gè)未知參我們注意到，在上一節(jié)中對(duì)于同一個(gè)未知參數(shù)，用不同方法可以得到不同的估計(jì)量。究竟采數(shù)，用不同方法可以得到不同的估計(jì)量。究竟采用哪個(gè)為好呢？這就涉及到用什么標(biāo)準(zhǔn)來評(píng)價(jià)估用哪個(gè)為好呢？這就涉及到用什么標(biāo)準(zhǔn)來評(píng)價(jià)估計(jì)量的問題。我們介紹三個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)：計(jì)量的問題。我們介紹三個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)： 1）無偏性；）無偏性； 2）有效性；）有效性； 3）一致性。）一致性。第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn),),(1 EXXn且且的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望存存

2、在在，若若的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量。是是則則稱稱 一、無偏性一、無偏性例例1的的樣樣本本，是是總總體體),(,21 NXXXn.,2均均未未知知 .的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量是是所所以以 X .)(1121222的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量是是所所以以 niiXXnS, XE因因?yàn)闉?22 ES而而 niiXXnB1221考考察察由于由于 niiXXnEBE1221 niiXXnnnE12111 21SEnn 21 nn 的的有有偏偏估估計(jì)計(jì)是是總總體體方方差差因因此此，21221 niiXXnB第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)階階矩矩，并并設(shè)設(shè)存存在在設(shè)設(shè)總總體體mX,階原

3、點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩是樣本的是樣本的 k，kkEX nikikXnA11由由于于的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)階階原原點(diǎn)點(diǎn)矩矩是是總總體體的的因因此此knikikkXnA 11 mk，21 mk，21 nikikXnEAE11 nikiXEn11 nikn11 k mk，21 例例2的的樣樣本本，又又設(shè)設(shè)是是總總體體 XXXn,1第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn) 一一個(gè)個(gè)樣樣本本是是從從該該總總體體中中抽抽取取的的為為未未知知參參數(shù)數(shù)，中中上上的的均均勻勻分分布布，其其，服服從從區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)總總體體nXXX,001 由于由于計(jì)計(jì)，并并驗(yàn)驗(yàn)證證的的矩矩估估計(jì)計(jì)和和極極大大似似然然估估求求 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)是是未未

4、知知參參數(shù)數(shù)因因此此 X2 XEE2 XE2 .2X 的的矩矩估估計(jì)計(jì)量量為為得得 XE2 22 , 例例3解：解：,2 EX,2 X令令.是是否否是是無無偏偏估估計(jì)計(jì),maxiiLX 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量為為在上一節(jié)我們知道在上一節(jié)我們知道第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為iiLXmax ., 1,0 , 0, 0)( xxxxxFndxxnxEnL 101 111nnnnnn 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量。不不是是 L第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn) 個(gè)個(gè)樣樣本本是是從從該該總總體體中中抽抽取取的的一一為為未未知知參參數(shù)數(shù)，已已知知，而而，其其中中，設(shè)設(shè)總總體體nXX

5、NX,0122 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)為為知知，未未知知參參數(shù)數(shù)例例則則由由2317 niiXn1221 例例4 niiXnEE1221 niiXEn121 221 nn 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)是是總總體體方方差差這這表表明明，21221 niiXn第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)計(jì)計(jì)一一定定有有無無窮窮多多個(gè)個(gè)無無偏偏估估則則，與與有有兩兩個(gè)個(gè)不不同同的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)如如果果未未知知參參數(shù)數(shù) 21，數(shù)數(shù)這這是是因因?yàn)闉椋瑢?duì)對(duì)任任意意的的實(shí)實(shí) 211 的無偏估計(jì)的無偏估計(jì)一定是未知參數(shù)一定是未知參數(shù) 說明：說明：第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn),),(),(122111的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量

6、都都是是，若若 nnXXXX .21有效有效較較則稱則稱 ),()(21 DD 且且二、有效性二、有效性 未未知知，其其中中，設(shè)設(shè)總總體體 2 NX個(gè)個(gè)樣樣本本是是從從該該總總體體中中抽抽取取的的一一321,XXX試試驗(yàn)驗(yàn)證證：;21103513211XXX ;12541313212XXX 3213216131XXX 計(jì)計(jì)中中，哪哪一一個(gè)個(gè)最最有有效效？的的估估這這三三個(gè)個(gè)的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)，并并指指出出在在都都是是未未知知參參數(shù)數(shù) 例例5212111)-()E-()( EED .1的的偏偏離離程程度度與與表表示示 解：解： 32112110351XXXEE 32121254131XXXEE

7、 3213216131XXXEE 3212110351XEXEXE 由由于于 2110351 3211254131XEXEXE 1254131 321216131XEXEXE 216131第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的無偏估計(jì)的無偏估計(jì)都是未知參數(shù)都是未知參數(shù)，這表明，這表明， 321 32112110351XXXDD 32121254131XXXDD 3213216131XXXDD 321411009251XDXDXD 22221800684411009251 3211442516191XDXDXD 222218006251442516191 3214136191XDXDXD 2222180

8、07004136191 第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)由于由于 ,312 DDD 最有效最有效，這三個(gè)估計(jì)量中這三個(gè)估計(jì)量中、所以在所以在2321 存存在在二二階階矩矩，并并設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)總總體體 X， EX，2 DX, 0 ia, 2 , 1ni .11 niia且且方方差差最最小小的的估估計(jì)計(jì)中中，的的所所有有形形如如上上述述的的在在XXaniii 1)2( 第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)例例6的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本，又又設(shè)設(shè)是是總總體體 XXXn,1試試證證：的無偏估計(jì)；的無偏估計(jì)；是是 niiiXa1)1()2(.1的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)是是所所以以， niiiXa第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn):證明

9、證明 niiiXaE1）由由于于（1 niia1 niiiXEa1 niiiXaD1 niiiDXa12 niia122 211211221 niiniiaa ),(121 naaag第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)例例6（續(xù)）（續(xù)）1, 1, 0),(121 nkaaaagkn211211221 niiniiaa ),(121 naaag1, 1, 01221122 nkaaniik 1, 1, nkaanknknak, 1,1 的的方方差差最最小小即即XXaniii 1.,),(1 PnnnnXX時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)于于任任意意如如果果的的估估計(jì)計(jì)量量為為參參數(shù)數(shù)若若的的一一致致估估計(jì)計(jì)。是是則則稱

10、稱 第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)三、一致性三、一致性例例7.,1kknEXEXXXX 的的樣樣本本，是是總總體體若若，有，有對(duì)于任意給定的對(duì)于任意給定的0 01lim1 niinXnP的的一一致致估估計(jì)計(jì)量量是是總總體體期期望望因因此此，樣樣本本均均值值 X由由辛辛欽欽大大數(shù)數(shù)定定律律，知知第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)例例7（續(xù)）（續(xù)）01lim1 knikinXnP還還有有的一致估計(jì)量的一致估計(jì)量階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩體體是總是總階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩因此，樣本的因此，樣本的kknikikEXkXnAk 11第七章 參數(shù)估計(jì)2 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)例例8 個(gè)個(gè)樣樣本本是是從從該該總總體體中中抽抽取取的的一一為為未未知知參參數(shù)數(shù)，已已知知，而而，其其中中，設(shè)設(shè)總總體體nXXNX,0122 niiXn1221 的的極