二元一次方程組知識(shí)點(diǎn)整理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 第五章 二元一次方程組 知識(shí)點(diǎn)整理知識(shí)點(diǎn)1：二元一次方程（組）的定義 1、二元一次方程的概念含有兩個(gè)未知數(shù)，且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程注意：1、(1)方程中的元指的是未知數(shù)，即二元一次方程有且只有兩個(gè)未知數(shù). (2)含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1. (3)二元一次方程的左右兩邊都必須是等式. （三個(gè)條件完全滿足的就是二元一次方程）2. 含有未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)不等于零，且兩未知數(shù)的次數(shù)為1。 即若axm+byn=c是二元一次方程，則a0，b0且m=1,n=1例1：已知（a2）xby|a|15是關(guān)于x、y 的二元一次方程，則a_，b_例2：下列方程為二

2、元一次方程的有_，【鞏固練習(xí)】下列方程中是二元一次方程的是（ ） A3x-y2=0 B+=1 C-y=6 D4xy=32、二元一次方程組的概念由兩個(gè)二元一次方程所組成的方程組叫二元一次方程組注意：方程組中有且只有兩個(gè)未知數(shù)。方程組中含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1。方程組中每個(gè)方程均為整式方程。例：下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）A、【鞏固練習(xí)】1，已知下列方程組：（1），（2），（3），（4），其中屬于二元一次方程組的個(gè)數(shù)為（ ）A1 B. 2 C 3 D 41、 若是關(guān)于x、y二元一次方程，則m=_，n=_。知識(shí)點(diǎn)2：二元一次方程組的解定義一般地，使二元一次方程組中兩個(gè)方程左右兩邊的值都相

3、等的兩個(gè)未知數(shù)的值叫做二元一次方程組的解。類(lèi)型題1 根據(jù)定義判斷 例：方程組的解是（ ）ABCD【鞏固練習(xí)】1，當(dāng)，滿足方程，則_.2、下面幾個(gè)數(shù)組中，哪個(gè)是方程7x+2y=19的一個(gè)解（ ）。 A、 B、 C、 D、 類(lèi)型題2 已知方程組的解，而求待定系數(shù)。此類(lèi)題型只需將解代入到方程中，求出相應(yīng)系數(shù)的值，從而求代數(shù)式的值例1：已知是方程組的解，則m2n2的值為_(kāi)例2： 若滿足方程組的x、y的值相等，則k_ 【鞏固練習(xí)】1、若方程組的解互為相反數(shù)，則k 的值為 。2、若方程組與有相同的解，則a= ，b= 。 ,類(lèi)型3 列方程組求待定字母系數(shù)是常用的解題方法例： 若，都是關(guān)于x、y的方程axby

4、6的解，則ab的值為 例： 關(guān)于x，y 的二元一次方程axby 的兩個(gè)解是，則這個(gè)二元一次方程是 【鞏固練習(xí)】 如果是方程組的解，那么，下列各式中成立的是 （ ）A、 a4c2 B、4ac2 C、a4c20 D、4ac20知識(shí)點(diǎn)3：二元一次方程組的解法方法一：代入消元法【典型例題】例 我們通過(guò)代入消去一個(gè)未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一次方程來(lái)解，這種解法叫做代入消元法。用代入消元法解二元一次方程組的步驟：（1）從方程組中選取一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，把其中的某一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái).（2）把（1）中所得的方程代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù).（3）解所得到的一元一次方程，求得一

5、個(gè)未知數(shù)的值.（4）把所求得的一個(gè)未知數(shù)的值代入（1）中求得的方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，從而確定方程組的解.【鞏固練習(xí)】1，方程用含y的代數(shù)式表示，x是（ ）A B C D2、把方程寫(xiě)成用含x的代數(shù)式表示y的形式，得（ ）Ax=3、用代入法解方程組較為簡(jiǎn)便的方法是（ ） A先把變形 B先把變形C可先把變形，也可先把變形 D把、同時(shí)變形方法二：加減消元法例：對(duì)于方程組:分析：這個(gè)方程組的兩個(gè)方程中，y的系數(shù)有什么關(guān)系？利用這種關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)新的消元方法嗎？解：得， 即,把代入得。 所以 定義：兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一

6、個(gè)一元一次方程這種方法叫做加減消元法 ，簡(jiǎn)稱(chēng)加減法。例1、方程組中，n的系數(shù)的特點(diǎn)是 ，所以我們只要將兩式 ，就可以消去未知數(shù)，化成一個(gè)一元一次方程，達(dá)到消元的目的例2、用加減法解時(shí)，將方程兩邊乘以 ，把方程兩邊乘以 ，可以比較簡(jiǎn)便地消去未知數(shù) 【方法掌握要訣】用加減法解二元一次方程組時(shí)，兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)必須相同或互為相反數(shù)，即它們的絕對(duì)值相等當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)的符號(hào)相同時(shí)，用兩式相減；當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)的符號(hào)相反時(shí)，用兩式相加。方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不互為相反數(shù)，又不相等，就用適當(dāng)?shù)恼麛?shù)乘方程兩邊，使一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，

7、消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；解這個(gè)一元一次方程；將求出的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，從而得到方程組的解【鞏固練習(xí)】1、 用加減法解方程組時(shí)，要使方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，必須適當(dāng)變形，以下四種變形正確的是（ ） A（1）（2） B（2）（3） C（3）（4） D（4）（1）對(duì)于方程組而言，你能設(shè)法讓兩個(gè)方程中x的系數(shù)相等嗎？你的方法是 ；若讓2、 兩個(gè)方程中y的系數(shù)互為相反數(shù)，你的方法是 3、 用加減消元法解方程組正確的方法是（ ） A B C D以下教科書(shū)中沒(méi)有的幾種解法 （可以作為培優(yōu)學(xué)生的拓展）(一)加減-代入混合使用的方法.

8、 例1, 13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得 x=1 所以:x=1, y=2 特點(diǎn):兩方程相加減,單個(gè)x或單個(gè)y,這樣就適用接下來(lái)的代入消元. (二)換元法 例2， (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可寫(xiě)為 m+n=8 m-n=4 解得m=6,n=2 所以x+5=6, y-4=2 所以x=1, y=6 特點(diǎn)：兩方程中都含有相同的代數(shù)式，如題

9、中的x+5,y-4之類(lèi)，換元后可簡(jiǎn)化方程也是主要原因。 （三）另類(lèi)換元 例3， x:y=1:4 5x+6y=29 令x=t, y=4t 方程2可寫(xiě)為：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4 知識(shí)點(diǎn)4：實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步，即：（1）審：通過(guò)審題，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個(gè)未知數(shù)；（2）找：找出能夠表示題意兩個(gè)相等關(guān)系；（3）列：根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；（4）解：解這個(gè)方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；（5）答：在對(duì)求出的方程的解做出是否

10、合理判斷的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出答案.列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系1.行程問(wèn)題：(1)追擊問(wèn)題：追擊問(wèn)題是行程問(wèn)題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類(lèi)問(wèn)題比較直觀，畫(huà)線段,用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差開(kāi)始時(shí)兩者相距的路程； (2)相遇問(wèn)題:相遇問(wèn)題也是行程問(wèn)題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是相向而行。這類(lèi)問(wèn)題也比較直觀，因而也畫(huà)線段圖幫助理解與分析。這類(lèi)問(wèn)題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和總路程。(3)航行問(wèn)題：船在靜水中的速度水速船的順?biāo)俣龋?船在靜水中的速度水速船的逆水速度； 順?biāo)俣饶嫠俣?×水速。注意：飛機(jī)航行問(wèn)題同樣會(huì)出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船

11、順?biāo)叫?、逆水航行?wèn)題類(lèi)似。2工程問(wèn)題：工作效率×工作時(shí)間=工作量.3商品銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題：(1)利潤(rùn)售價(jià)成本(進(jìn)價(jià))；(2)；(3)利潤(rùn)成本（進(jìn)價(jià)）×利潤(rùn)率；標(biāo)價(jià)成本(進(jìn)價(jià))×(1利潤(rùn)率)；(5)實(shí)際售價(jià)標(biāo)價(jià)×打折率；打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷(xiāo)售。（例如八折就是按標(biāo)價(jià)的十分之八即五分之四或者百分之八十）4儲(chǔ)蓄問(wèn)題： 利息本金×利率×期數(shù) 本息和本金利息本金本金×利率×期數(shù)本金× (1利率×期數(shù)) 利息稅利息×利息稅率本金×利率×期數(shù)×利息稅率。

12、 稅后利息利息× (1利息稅率) 。5配套問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。6增長(zhǎng)率問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系式是：原量×(1增長(zhǎng)率)增長(zhǎng)后的量；原量×(1減少率)減少后的量.7和差倍分問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：較大量較小量多余量，總量倍數(shù)×倍量.8數(shù)字問(wèn)題：解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1)，偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字9優(yōu)化方案問(wèn)題：在解決問(wèn)題時(shí)，常常需合

13、理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購(gòu)票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。經(jīng)典例題透析類(lèi)型一：列二元一次方程組解決行程問(wèn)題例：甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車(chē)和一輛拖拉機(jī)同時(shí)由甲、乙兩地相向而行，1小時(shí)20分相遇. 相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車(chē)在相遇處停留1小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車(chē)頭原速返回，在汽車(chē)再次出發(fā)半小時(shí)后追上了拖拉機(jī). 這時(shí)，汽車(chē)、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？ 舉一反三：【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)2.5小時(shí)后相遇；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)3小時(shí)后相遇，甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米？類(lèi)型二：列

14、二元一次方程組解決工程問(wèn)題例：一家商店要進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元，問(wèn)：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)已知甲組單獨(dú)做需12天完成，乙組單獨(dú)做需24天完成，單獨(dú)請(qǐng)哪組，商店所付費(fèi)用最少？ 舉一反三：【變式3】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作6周完成需工錢(qián)5.2萬(wàn)元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來(lái)做，還需9周完成，需工錢(qián)4.8萬(wàn)元.若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開(kāi)支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請(qǐng)你說(shuō)明理由. 類(lèi)型三

15、：列二元一次方程組解決商品銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題例：有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤(rùn)率為5%,乙商品的利潤(rùn)率為4%,共可獲利46元。價(jià)格調(diào)整后，甲商品的利潤(rùn)率為4%，乙商品的利潤(rùn)率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元？ 舉一反三：【變式4】某商場(chǎng)用36萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，銷(xiāo)售完后共獲利6萬(wàn)元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：AB進(jìn)價(jià)（元/件）12001000售價(jià)（元/件）13801200（注：獲利 = 售價(jià) 進(jìn)價(jià)）求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品各多少件；類(lèi)型四：列二元一次方程組解決銀行儲(chǔ)蓄問(wèn)題例：小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以?xún)煞N方式在銀行共存了2000元錢(qián)，一種是年利率為2.25的

16、教育儲(chǔ)蓄，另一種是年利率為2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢(qián)？（利息所得稅利息金額×20%，教育儲(chǔ)蓄沒(méi)有利息所得稅）舉一反三：李明以?xún)煞N形式分別儲(chǔ)蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲(chǔ)蓄年利率的和為3.24%，問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額×20%） 類(lèi)型五：列二元一次方程組解決生產(chǎn)中的配套問(wèn)題例：某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣袖5只. 現(xiàn)計(jì)劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分

17、別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 舉一反三：【變式7】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問(wèn)用多少?gòu)堣F皮制盒身，多少?gòu)堣F皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 類(lèi)型六：列二元一次方程組解決增長(zhǎng)率問(wèn)題例：某工廠去年的利潤(rùn)（總產(chǎn)值總支出）為200萬(wàn)元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤(rùn)為780萬(wàn)元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？ 【變式10】某城市現(xiàn)有人口42萬(wàn)，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。類(lèi)型七：列二元一次方程組解決

18、和差倍分問(wèn)題例：“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計(jì)劃每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷為此，全體職工加班加點(diǎn)，“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來(lái)的1.6倍、1.5倍，恰好按時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù)求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？ 舉一反三：【變式11】 (2011年北京門(mén)頭溝區(qū)中考一模試題) “地球一小時(shí)”是世界自然基金會(huì)在2007年提出的一項(xiàng)倡議號(hào)召個(gè)人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個(gè)星期六20時(shí)30分21時(shí)30分熄燈一小時(shí)，旨在通過(guò)一個(gè)人人可為的活動(dòng)，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變

19、化，倡導(dǎo)低碳生活中國(guó)內(nèi)地去年和今年共有119個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，且今年參加活動(dòng)的城市個(gè)數(shù)比去年的3倍少13個(gè)，問(wèn)中國(guó)內(nèi)地去年、今年分別有多少個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)類(lèi)型八：列二元一次方程組解決數(shù)字問(wèn)題例：一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個(gè)兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這個(gè)兩位數(shù)是多少？舉一反三：【變式12】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)的一半還少9，求這個(gè)兩位數(shù)？類(lèi)型九：列二元一次方程組解決濃度問(wèn)題例：現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是37，乙種酒精溶液的酒精與水的比是41，今要得到酒精與水的比為32的酒精溶液50kg，問(wèn)甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？ 舉一反三：【變式14】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？類(lèi)型十：列二元一次方程組解決幾何問(wèn)題例：用長(zhǎng)48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長(zhǎng)邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個(gè)正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？舉一反三：【變式16】一塊矩形草坪的長(zhǎng)比寬的2倍多10m，它的周長(zhǎng)是132m，則長(zhǎng)和寬分別為多少？類(lèi)型十一：列二元一次