matlab2曲線擬合

1、MATLAB曲線擬合工具箱1曲線擬合定義 在實際工程應(yīng)用和科學(xué)實踐中，經(jīng)常需要尋求 兩個（或多個）變量間的關(guān)系，而實際去只能 通過觀測得到一些離散的數(shù)據(jù)點。針對這些分 散的數(shù)據(jù)點，運(yùn)用某種你和方法生成一條連續(xù) 的曲線，這個過程稱為曲線擬合。 曲線擬合可分為： （1）參數(shù)擬合 - 最小二乘法 （2）非參數(shù)擬合 - 插值法2一、數(shù)據(jù)預(yù)處理 在曲線擬合之前必須對數(shù)據(jù)進(jìn)行與處理，去 除界外值、不定值和重復(fù)值，以減少認(rèn)為誤 差，提高擬合的精度。 數(shù)據(jù)預(yù)處理包括： （1）數(shù)據(jù)輸入與查看 （2）數(shù)據(jù)的預(yù)處理 傳輸數(shù)據(jù)通過數(shù)據(jù)GUI來實現(xiàn)，查看數(shù)據(jù)點 通過曲線擬合工具的散點圖來實現(xiàn)。31.輸入和查看數(shù)據(jù)集 （

2、1）打開曲線擬合工具界面 通過cftool命令打開曲線擬合工具界面45個命令按鈕 Data按鈕：可輸出、查看和平滑數(shù)據(jù)； Fitting按鈕：可擬合數(shù)據(jù)、比較擬合曲線和數(shù)據(jù)集； Exclude按鈕：可以從擬合曲線中排除特殊的數(shù)據(jù)點； Ploting按鈕：在選定區(qū)間后，單擊按鈕，可以顯示擬合曲線和數(shù)據(jù)集； Analysis按鈕：可以做內(nèi)插法、外推法、微分或積分?jǐn)M合。5（2）輸入數(shù)據(jù)集 在輸入數(shù)據(jù)之前，數(shù)據(jù)變量必須存在于 matlab的工作區(qū)間?？梢酝ㄟ^load命令輸 入變量。單擊曲線擬合工具界面中的Data 按鈕，打開Data對話框，在對話框中進(jìn)行設(shè) 置，可以輸入數(shù)據(jù)。6Data對話框 包括兩個

3、選項卡：Data Sets 和 Smooth. Data Sets選項卡： .Import workspace vectors 把向量輸 入工作區(qū)，主要以變量必須具有相同的維數(shù) ，無窮大的值和不定值被忽略。 X data 用于選擇觀測數(shù)據(jù) Y data 用于選擇X的響應(yīng)數(shù)據(jù) Weight 用于選擇權(quán)重，與響應(yīng)數(shù)據(jù)相聯(lián)系的向量，如果沒選擇，默認(rèn)值為1.7 .Preview 對所選向量進(jìn)行圖形化預(yù)覽 .Data set name 設(shè)置數(shù)據(jù)集的名稱。工具箱可以隨即產(chǎn)生唯一的文件名，但用戶可以重命名。 .Data sets 選項以列表的形式顯示所有擬合的數(shù)據(jù)集。當(dāng)選擇一個數(shù)據(jù)集時，可以對它做如下操作：

4、 .View 查看數(shù)據(jù)集，以圖標(biāo)形式和列表形式，可以選擇方法排除異常值； .Rename 重命名 .Delete 刪去數(shù)據(jù)組8例：輸入數(shù)據(jù)，采用matlab自帶的文件census census 有兩個變量：cdate和pop。 cdate是一個年向量，包括1790-1990 年，間隔為10年； pop是對應(yīng)年份的美國人口。 whos -file census Name Size Bytes Class Attributes cdate 21x1 168 double pop 21x1 168 double load census cftool(cdate,pop)9散點圖10 單擊Data按鈕

5、11 在X data和Y data兩個下拉式列表框中選 擇變量名，將在Data對話框中顯示散點圖的 預(yù)覽效果：12 當(dāng)選擇Data sets列表框中的數(shù)據(jù)集時，單 擊View按鈕，打開View Data Set對話框工作表方式132.數(shù)據(jù)的預(yù)處理 在曲線擬合工具箱中，數(shù)據(jù)的預(yù)處理主要包 括平滑法、排除法和區(qū)間排除法等。 (1)平滑數(shù)據(jù) 打開擬合工具箱，單擊Data按鈕，打開 Data對話框，選擇Smooth選項卡1415Smooth選項卡各選項的功能： .Original data set 用于挑選需要擬合的數(shù)據(jù)集； .Smoothed data set平滑數(shù)據(jù)的名稱； .Method用于選擇

6、平滑數(shù)據(jù)的方法，每一個相應(yīng)數(shù)據(jù)用通過特殊的曲線平滑方法所計算的結(jié)果來取代。平滑數(shù)據(jù)的方法包括： （）Moving average 用移動平均值進(jìn)行替換； （）Lowess局部加權(quán)散點圖平滑數(shù)據(jù)，采用線性最小二乘法和一階多項式擬合得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行替換；16 （）Loess局部加權(quán)散點圖平滑數(shù)據(jù)，采用線性最小二乘法和二階多項式擬合得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行交換； （）Savitzky-Golay 采用未加權(quán)的線性最小二乘法過濾數(shù)據(jù)，利用指定階數(shù)的多項式得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行替換； （）Span用于進(jìn)行平滑計算的數(shù)據(jù)點的數(shù)目； （）Degree 用于Savitzky-Golay方法擬合多項式的階數(shù)。17 .Smoothe

7、d data sets 對于所有平滑數(shù)據(jù)集進(jìn)行列表。可以增加平滑數(shù)據(jù)集，通過單擊Create smoothed data set按鈕，可以創(chuàng)建經(jīng)過平滑的數(shù)據(jù)集。 .View按鈕 打開查看數(shù)據(jù)集的GUI，以散點圖方式和工作表方式查看數(shù)據(jù)，可以選擇排除異常值的方法。 .Rename用于重命名。 .Delete可刪去數(shù)據(jù)組。 .Save to workspace保存數(shù)據(jù)集。18（2）排除法和區(qū)間排除法 排除法是對數(shù)據(jù)中的異常值進(jìn)行排除。 區(qū)間排除法是采用一定的區(qū)間去排除那些用 于系統(tǒng)誤差導(dǎo)致偏離正常值的異常值。 在曲線擬合工具中單擊Exclude按鈕，可以 打開Exclude對話框1920 Excl

8、usion rule name指定分離規(guī)則的名稱 Existing exclusion rules列表產(chǎn)生的文件 名，當(dāng)你選擇一個文件名時，可以進(jìn)行如下操 作： Copy 復(fù)制分離規(guī)則的文件； Rename重命名；delete 刪去一個文件； View以圖形的形式展示分離規(guī)則的文件。 Select data set 挑選需要操作的數(shù)據(jù)集； Exclude graphically允許你以圖形的形式去除異常值，排除個別的點用“”標(biāo)記。21 Check to exclude point 挑選個別的點進(jìn)行排除，可以通過在數(shù)據(jù)表中打勾來選擇要排除的數(shù)據(jù)。 Exclude Sections 選定區(qū)域排除數(shù)

9、據(jù)： Exclude X選擇預(yù)測數(shù)據(jù)X要排除的數(shù)據(jù)范圍； Exclude Y選擇響應(yīng)數(shù)據(jù)Y要排除的數(shù)據(jù)范圍。22（3）其他數(shù)據(jù)預(yù)處理方法 其他的預(yù)處理方法不便通過曲線擬合工具箱 來完成，主要包括兩部分： 響應(yīng)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換和去除無窮大、缺失值和異 常值。 響應(yīng)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換一般包括對數(shù)轉(zhuǎn)換、指數(shù)轉(zhuǎn) 換，用這些轉(zhuǎn)換可以使非線性的模型線性 化，便于曲線擬合。變量的轉(zhuǎn)換一般在命令 行里實現(xiàn)，然后把轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)輸入曲線擬 合工具箱，進(jìn)行擬合。23 無窮大、不定值在曲線擬合中可以忽略，如 果想把他們從數(shù)據(jù)集中刪除，可以用isinf和 isnan置換無窮大值和缺失值。24二、曲線擬合 Matlab提供兩種曲線擬合

10、方法： （1）以函數(shù)的形式，使用命令對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。這種方法比較繁瑣，需要對擬合函數(shù)有比較好的了解。 （2）用圖形窗口進(jìn)行操作，具有簡便、快速，可操作性強(qiáng)的優(yōu)點。251.多項式擬合函數(shù)(1)Polyfit函數(shù)P=polyfit(x,y,n)用最小二乘法對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，返回n次多項式的系數(shù)，并用降序排列的向量表示，長度為n+1.1121)(nnnnpxpxpxpxp p,s=polyfit(x,y,n) 返回多項式系數(shù)向量p和矩陣s。s與 polyval函數(shù)一起用時，可以得到預(yù)測值的 誤差估計。如數(shù)據(jù)y的誤差服從方差為常數(shù)的 獨(dú)立正態(tài)分布，polyval函數(shù)將生成一個誤 差范圍，其中包含至少50

11、%的預(yù)測值.27p,s,mu=polyfit(x,y,n)返回多項式的系數(shù)，mu是一個二維向量u1,u2,u1=mean(x),u2=std(x),對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理 x=(x-u1)/u2(2)Polyval函數(shù) 利用該函數(shù)進(jìn)行多項式曲線擬合評價 y=polyval(p,x) 返回n階多項式在x處的值，x可以是一個矩 陣或者是一個向量，向量p是n+1個以降序 排列的多項式的系數(shù)。29 .y=polyval(p,x,mu) 用x=(x-u1)/u2代替x，其中mu是一個 二維向量u1,u2, u1=mean(x),u2=std(x),通過這 樣處理數(shù)據(jù)，使數(shù)據(jù)合理化。30 y,delta=pol

12、yval(p,x,s) y,delta=polyval(p,x,s,mu) 產(chǎn)生置信區(qū)間ydelta。如果誤差結(jié)果服從 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則實測數(shù)據(jù)落在ydelta區(qū) 間內(nèi)的概率至少為50%。31 例 x=0 0.0385 0.0963 0.1925 0.2888 0.385; y=0.042 0.104 0.186 0.338 0.479 0.612; p,s,mu=polyfit(x,y,5)32輸出結(jié)果為：p = Columns 1 through 5 0.0193 -0.0110 -0.0430 0.0073 0.2449 Column 6 0.2961說明擬合的多項式為：2961. 02

13、449. 00073. 0043. 00110. 00193. 02345 xxxxxs = R: 6x6 double df: 0 normr: 2.3684e-016mu = 0.1669 0.1499自由度為 0 標(biāo)準(zhǔn)偏差為 2.3684e-016例:根據(jù)表中數(shù)據(jù)進(jìn)行4階多項式擬合X1345678910F(x) 10 54211234 x=1 3 4 5 6 7 8 9 10; y=10 5 4 2 1 1 2 3 4; p,s=polyfit(x,y,4); y1=polyval(p,x); plot(x,y,go,x,y1,b-)1234567891012345678910 poly

14、2str(p,t)ans = -0.0049945 t4 + 0.11461 t3 - 0.61143 t2 - 1.1005 t + 11.549936例：電阻和溫度的關(guān)系數(shù)據(jù)如下 求60度時的電阻. 溫度 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 電阻 765 826 873 942 1032 T=20.5 32.7 51 73 95.7; R=765 826 873 942 1032; a=polyfit(T,R,1); y=poly2str(a,t) y = 3.3987 t + 702.096837 y=polyval(a,T) %計算多項式在某一點處的值 y = 1.0e+

15、003 * 0.7718 0.8132 0.8754 0.9502 1.0274 plot(T,R,k+,T,y,r*) hold on plot(T,y,b) polyval(a,60) ans = 906.02123820304050607080901007508008509009501000105039 例：已知年齡和運(yùn)動能力的一組數(shù)據(jù)，試確定二者的關(guān)系(根據(jù)圖形指定次數(shù)) x1=17:2:29; x=x1 x1; y=20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3; plot(x,

16、y,r+)年齡17192123252729第一人20.4825.1326.153026.120.319.35第二人24.3528.1126.331.426.9225.721.3401618202224262830182022242628303241 a=polyfit(x,y,2) a = -0.2003 8.9782 -72.2150 poly2str(a,x) ans = -0.20031 x2 + 8.9782 x - 72.215 x1=17:0.1:29; y1=-0.20031*x1.2+8.9782*x1-72.215; hold on;plot(x1,y1,b)42161820

17、2224262830182022242628303243數(shù)據(jù)擬合函數(shù)表cfit產(chǎn)生擬合的目標(biāo)產(chǎn)生擬合的目標(biāo)fit用庫模型、自定義模型、平滑樣條或用庫模型、自定義模型、平滑樣條或內(nèi)插方法來擬合數(shù)據(jù)內(nèi)插方法來擬合數(shù)據(jù)fitoptions產(chǎn)生或修改擬合選項產(chǎn)生或修改擬合選項fittype產(chǎn)生目標(biāo)的擬合形式產(chǎn)生目標(biāo)的擬合形式cflibhelp顯示一些信息，包括庫模型、三次樣顯示一些信息，包括庫模型、三次樣條和內(nèi)插方法等。條和內(nèi)插方法等。disp顯示曲線擬合工具的信息顯示曲線擬合工具的信息get返回擬合曲線的屬性返回擬合曲線的屬性set對于擬合曲線顯示屬性值對于擬合曲線顯示屬性值數(shù)據(jù)擬合函數(shù)表exclu

18、dedata指定不參與擬合的數(shù)據(jù)指定不參與擬合的數(shù)據(jù)smooth平滑響應(yīng)數(shù)據(jù)平滑響應(yīng)數(shù)據(jù)confint計算擬合系數(shù)估計值的置信區(qū)間邊界計算擬合系數(shù)估計值的置信區(qū)間邊界differentiate對于擬合結(jié)果求微分對于擬合結(jié)果求微分integrate對于擬合結(jié)果求積分對于擬合結(jié)果求積分predint對于新的觀察量計算預(yù)測區(qū)間的邊界對于新的觀察量計算預(yù)測區(qū)間的邊界datastates返回數(shù)據(jù)的描述統(tǒng)計量返回數(shù)據(jù)的描述統(tǒng)計量feval估計一個擬合結(jié)果結(jié)果或擬合類型估計一個擬合結(jié)果結(jié)果或擬合類型plot畫出數(shù)據(jù)點、擬合線、預(yù)測區(qū)間、異畫出數(shù)據(jù)點、擬合線、預(yù)測區(qū)間、異常值點和殘差常值點和殘差2.曲線的參數(shù)

19、擬合 第一步：在命令行鍵入Cftool打開 curve fitting tool對話框； 第二步： 在curve fitting tool對話框中 單擊Data按鈕打開data對話框指 定要分析的（預(yù)先存在工作區(qū)間） 數(shù)據(jù)； 第三步：在curve fitting tool對話框中 單擊fitting按鈕打開fitting對話 框，進(jìn)行設(shè)置，實現(xiàn)曲線擬合。4647Fitting對話框 包括兩個面板：“Fit Editor”面板和“Tabe of Fits”面板。 （1）Fit editor 選擇擬合的文件名、數(shù)據(jù)集，選擇排除數(shù)據(jù)的文件，比較數(shù)據(jù)擬合的各種方法，包括庫函數(shù)、自定義的擬合模型和擬合參

20、數(shù)的選擇。 （2）Table of Fits 同時列出所有的擬合結(jié)果。48兩個面板的詳細(xì)描述： New fit 和 Copy fit 按鈕：開始進(jìn)行曲線擬合是，單擊New fit按鈕，它采用默認(rèn)的線性多項式擬合數(shù)據(jù)。在原有的擬合形式上，選擇不同的曲線擬合方法，可以用Copy fit 按鈕。 Fit name 選項為當(dāng)前擬合曲線的名字。單擊New fit 按鈕時系統(tǒng)會產(chǎn)生默認(rèn)的文件名。 Data set 選項為當(dāng)前的數(shù)據(jù)集。 Exclusion rule 排除異常值的文件名，在數(shù)據(jù)與處理前建立的文件名。49 Center and scale X data 可對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行中心化和離散化處理。 T

21、ype of fit 擬合的類型，包括參數(shù)擬合和非參數(shù)擬合兩種。具體包括： （1）Custom Equations 自定義擬合的線性或非線性方程； （2）New equation 使用Custom Equations 按鈕錢，必須單擊New equation 按鈕選擇合適的方程；50（3）Exponential指數(shù)擬合包括兩種形式： y=a*exp(b*x) y=a*exp(b*x)+c*exp(d*x)（4）Fourier傅立葉擬合，正弦和余弦之和（共8個多項式） )*8sin()*8cos()*sin()*cos()*2sin()*2cos()*sin()*cos()*sin()*cos(

22、8811022110110wxbwxawxbwxaawxbwxawxbwxaawxbwxaa （5）Gaussian 高斯法，包括8個公式：)2)/ )(exp(*)2)/ )(exp(*)2)/ )(exp(*888111111cbxacbxacbxa （6）Interpolant 內(nèi)插法，包括線性內(nèi)插、最近鄰內(nèi)插、三次樣條內(nèi)插和shape-preserving內(nèi)插；（7）Polynomial多項式，從一次到九次； （8）Rational有理擬合，兩個多項式之比，分子與分母都是多項式； （9）Power指數(shù)擬合，包括兩種形式： y=a*xb y=a*xb+c （10）Smoothing sp

23、line 平滑樣條擬合，默認(rèn)的平滑參數(shù)由擬合的數(shù)據(jù)集來決定，參數(shù)是0產(chǎn)生一個分段的線性多項式擬合，參數(shù)是1產(chǎn)生一個分段三次多項式擬合；53 （11）Sum of Sin Functions 正弦函數(shù)的和，采用以下8個公式： a1*sin(b1*x+c1) a1*sin(b1*x+c1)+ a8*sin(b8*x+c8) （12）Weibull 兩個參數(shù)的Weibull分布，表達(dá)式如下： Y=a*b*x(b-1)*exp(-a*xb)54 （3）Degree of Freedom Adjusted R-Square 調(diào)整自由度以后的殘差的平方，數(shù)值越接近1，曲線的擬合效果越好 （4）Root M

24、ean Square Error 根的均方誤差 Table of fits 擬合曲線的列表，可以對每個列表做如下操作： Delete fit 刪除所選的擬合曲線； Save to workspace 儲存所有的擬合信息； Table options 選擇與擬合相聯(lián)系的信息。55 Fit options 包括一些擬合方法，如線性擬合、非線性擬合，以及其他選項； 單擊Apply按鈕：采用上述所選各種方法進(jìn)行擬合； 單擊Immediate apply按鈕，在選擇一個擬合形式后立即輸出結(jié)果并存儲； Results羅列進(jìn)行擬合的各種參數(shù)： （1）SSE-sum of squares due to err

25、or 誤差平方和，越接近0曲線的擬合效果越好 （2）R-square 越接近1，曲線的擬合效果越好56例：用三次和五次多項式擬合下列數(shù)據(jù) rand(state,0) x=1:0.1:3 9:0.1:10; c=2.5 -0.5 1.3 -0.1; y=c(1)+c(2)*x+c(3)*x.2+c(4)*x.3+(rand(size(x)-0.5); cftool(x,y); 建立一個M文件，并運(yùn)行上述文件，打開曲線擬合工具5758 點擊fitting按鈕new fitcubic polynomial-apply59resultsLinear model Poly3: f(x) = p1*x3

26、+ p2*x2 + p3*x + p4Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = -0.09837 (-0.1095, -0.08729) p2 = 1.275 (1.113, 1.437) p3 = -0.4351 (-1.092, 0.2222) p4 = 2.56 (1.787, 3.332)Goodness of fit: SSE: 2.587 R-square: 0.9993 Adjusted R-square: 0.9993 RMSE: 0.303960Results：Linear model Poly5: f(x) = p1*x

27、5 + p2*x4 + p3*x3 + p4*x2 + p5*x + p6Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 0.001389 (-0.003589, 0.006367) p2 = -0.03441 (-0.1601, 0.09125) p3 = 0.1934 (-0.9131, 1.3) p4 = 0.2733 (-3.856, 4.402) p5 = 1.013 (-5.785, 7.811) p6 = 1.835 (-2.167, 5.837)Goodness of fit: SSE: 2.552 R-square: 0.999

28、3 Adjusted R-square: 0.9992 RMSE: 0.313361擬合圖形：62例：用有理擬合方法擬合數(shù)據(jù)hahn1.m hahn1.m是matlab自帶，描述銅的熱膨脹與熱力學(xué)溫度的相關(guān)性，包括兩個向量temp與thermex。 load hahn1 cftool(temp,thermex) 6364分子分母均為2次65分子分母均為3次66分子三次、分母二次67 分子三次、分母二次的有理多項式擬合鮮果很好，擬合曲線充分體現(xiàn)了整個數(shù)據(jù)，殘差隨機(jī)分布在0附近。683.非參數(shù)擬合 有時我們對擬合參數(shù)的提取或解釋不感 興趣，只想得到一個平滑的通過各數(shù)據(jù)點的 曲線，這種擬合曲線的形式稱之為非參數(shù)擬 合。 非參數(shù)擬合的方法包括 （1）插值法Interpoants （2）平滑樣條內(nèi)插法Smoothing spline 69內(nèi)插法： 在已知數(shù)據(jù)點之間估計數(shù)值的過程，包括 Linear 線性內(nèi)差，在每一隊數(shù)據(jù)之間用不同的線性多項式擬合； Nearest neighbor 最近鄰內(nèi)插，內(nèi)差點在最相鄰的數(shù)據(jù)點之間； Cubic spline 三次樣條內(nèi)插，在每一隊數(shù)據(jù)之間用不同的三次多項式擬合； Shape-preserving