靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

1、第二部分第二部分 靜定結(jié)構(gòu)的位移計算靜定結(jié)構(gòu)的位移計算 第七章第七章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計算靜定結(jié)構(gòu)的位移計算 虛功原理是結(jié)構(gòu)力學的一個重要原理，應(yīng)用廣泛。1、計算結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)時的內(nèi)力和反力；2、計算結(jié)構(gòu)在變形狀態(tài)下的位移。什么叫位什么叫位移移? ?第一節(jié)概述第一節(jié)概述 結(jié)構(gòu)在外因作用下變形或位移后，結(jié)構(gòu)在外因作用下變形或位移后，某一橫截面產(chǎn)生的相對其初始狀態(tài)某一橫截面產(chǎn)生的相對其初始狀態(tài)的位置改變的位置改變 。位移是矢量，可分解為三個位位移是矢量，可分解為三個位移分量，即兩個線位移（一般移分量，即兩個線位移（一般?？紤]水平位移和豎向位移），?？紤]水平位移和豎向位移），一個轉(zhuǎn)角位移（簡稱角位移

2、）。一個轉(zhuǎn)角位移（簡稱角位移）。 位移按位置變化的參考狀態(tài)位移按位置變化的參考狀態(tài)（參照物）可分為：（參照物）可分為： （1 1）絕對位移）絕對位移（2 2）相對位移）相對位移 指結(jié)構(gòu)上的一個指定截面，位指結(jié)構(gòu)上的一個指定截面，位移后的新位置相對其位移前舊移后的新位置相對其位移前舊位置的改變。位置的改變。 絕對絕對位移位移ucCCBvccC指結(jié)構(gòu)上的兩個指定截面，位移后指結(jié)構(gòu)上的兩個指定截面，位移后新的位置關(guān)系相對其位移前舊位置新的位置關(guān)系相對其位移前舊位置關(guān)系的改變。關(guān)系的改變。 相對相對位移位移(a) (b) 研究結(jié)構(gòu)位移計算的目的研究結(jié)構(gòu)位移計算的目的 (1)(1)驗算結(jié)構(gòu)的剛度，使結(jié)構(gòu)

3、的變驗算結(jié)構(gòu)的剛度，使結(jié)構(gòu)的變形（一般由結(jié)構(gòu)上的最大位移控制）形（一般由結(jié)構(gòu)上的最大位移控制）限制在允許的范圍內(nèi)。限制在允許的范圍內(nèi)。 (2)(2)為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打基為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打基礎(chǔ)。即位移條件的建立和使用。礎(chǔ)。即位移條件的建立和使用。 結(jié)構(gòu)位移計算的假定結(jié)構(gòu)位移計算的假定(1)(1)應(yīng)力應(yīng)變符合線性關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變符合線性關(guān)系(2)(2)結(jié)構(gòu)的變形很小，不影響荷載結(jié)構(gòu)的變形很小，不影響荷載的作用位置和方向的作用位置和方向(3)(3)忽略桿端軸力由于桿彎曲引起忽略桿端軸力由于桿彎曲引起的彎矩的彎矩(4)(4)理想鉸接理想鉸接滿足以上條件的稱為線性變形體系滿足以上條件的稱為線性變

4、形體系第二節(jié)第二節(jié) 剛體的虛功原理及應(yīng)用剛體的虛功原理及應(yīng)用 1.1.虛功的概念虛功的概念 功功力與其在力方向上的位移的力與其在力方向上的位移的乘積。乘積。 實功實功力與位移之間存在直接因力與位移之間存在直接因果關(guān)系。果關(guān)系。12PWF虛功虛功力和位移之間沒有因果關(guān)力和位移之間沒有因果關(guān)系，即虛功的力和位移不相關(guān)。力系，即虛功的力和位移不相關(guān)。力與位移分別屬于同一體系的兩種彼與位移分別屬于同一體系的兩種彼此無關(guān)的狀態(tài)：力狀態(tài)和位移狀態(tài)此無關(guān)的狀態(tài)：力狀態(tài)和位移狀態(tài)（見下頁圖）。（見下頁圖）。這是虛功區(qū)別于實功的這是虛功區(qū)別于實功的重要特點重要特點。 PWF力狀態(tài)力狀態(tài) 位移狀態(tài)位移狀態(tài) Lba

5、BCBCC2.2.剛體的虛功原理及應(yīng)用剛體的虛功原理及應(yīng)用 體系的力狀態(tài)和位移狀態(tài)應(yīng)滿體系的力狀態(tài)和位移狀態(tài)應(yīng)滿足的條件足的條件力狀態(tài)力狀態(tài)靜力平衡條件靜力平衡條件位移狀態(tài)位移狀態(tài)變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件兩種表現(xiàn)形式：兩種表現(xiàn)形式：虛位移方程虛位移方程求內(nèi)力、反力；求內(nèi)力、反力；虛力方程虛力方程求位移。求位移。 W虛外=0=0剛體的虛功原理剛體的虛功原理 W虛外功= = V虛變形功虛功原理虛功原理 虛位移方程及應(yīng)用虛位移方程及應(yīng)用 實際的力狀態(tài)和虛位移狀態(tài)之間實際的力狀態(tài)和虛位移狀態(tài)之間的虛功原理稱為虛位移原理（虛的虛功原理稱為虛位移原理（虛位移方程）位移方程）虛位移方程用于求真實的未知力虛位

6、移方程用于求真實的未知力（內(nèi)力、約束力、支座反力）。（內(nèi)力、約束力、支座反力）。 (a) (b) 0AAPBWFF 實際力狀態(tài)實際力狀態(tài)虛位移狀態(tài)虛位移狀態(tài)應(yīng)用虛功原理，可得：應(yīng)用虛功原理，可得：由于，由于，/ABa c可得：可得：APcFFa一般令一般令1AA可得：可得：/BBc a單位位移法單位位移法例例7-2-1：求支座B的反力 LbaBC(a) 靜定結(jié)構(gòu)可利用剛體的虛功原理（虛位移方程）求力 分析：分析：(1)去掉B支座鏈桿 (2)按擬求支座反力讓機構(gòu)發(fā)生單位虛位移見圖(b) (3)寫出虛位移方程01PPByFF(4)求解虛位移方程 解解BCBPCBB(=1)(b) 虛力方程及應(yīng)用虛力

7、方程及應(yīng)用 在體系上虛設(shè)的平衡力系，此在體系上虛設(shè)的平衡力系，此力系在體系真實的剛體位移上力系在體系真實的剛體位移上所作的總虛功等于零所作的總虛功等于零 虛力虛力方程方程虛力方程用以求真實的位移虛力方程用以求真實的位移 LcdBkkBk(a) (b) 虛力狀態(tài)虛力狀態(tài)真實位移狀態(tài)真實位移狀態(tài)0ByBPkyWFF 應(yīng)用虛功原理，可得：應(yīng)用虛功原理，可得：一般令一般令1PPFF單位荷載法單位荷載法kyBcL由靜力平衡條件，可得：由靜力平衡條件，可得：ByPcFFL/ByByFFc L在支座移動時的位移計算公式在支座移動時的位移計算公式 EGCDEGCD3RF1RF2RF(a) (b) 虛力方程虛力

8、方程 01332211cFcFcFRRR則所求位移為： 31iRicF例例7-2-2: 求鉸C的豎向位移和相對轉(zhuǎn)角 。6m6m4m10cm20cmCCF=3/4BxF=1/2By(1) 解解：（2 2）按位移計算公式計算位移 21)(5 .17)1043()2021(cmcFiRiCV（3 3）計算頂鉸兩側(cè)截面的相對 轉(zhuǎn)角位移 F=0ByCF=1/4Bx() 215 . 2)1041(radcFiRi相對轉(zhuǎn)相對轉(zhuǎn)角位移角位移 結(jié)構(gòu)（變形體）的位移計算一般公結(jié)構(gòu)（變形體）的位移計算一般公式推導(dǎo)如下式推導(dǎo)如下 BAB(a) 第三節(jié)第三節(jié) 結(jié)構(gòu)位移計算公式結(jié)構(gòu)位移計算公式 BAB(b) 微段變形對結(jié)

9、構(gòu)位移的影響微段變形對結(jié)構(gòu)位移的影響 BBFQMBFN(c) (d) dMdFdFdQN微段微段ACAC變形引起的變形引起的B B點的位移：點的位移：結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式 LLLQNdMdFdF)(1LLLQNndMdFdFiRiLLLQNcFdMdFdF)(單根構(gòu)件：單根構(gòu)件：整個體系：整個體系：考慮荷載引起的變形和剛體位移：考慮荷載引起的變形和剛體位移：線彈性變形體位移計算公式線彈性變形體位移計算公式 BABNFddsEA0QFdkdsGAMddsEI對于線彈性體：對于線彈性體：其中，其中，EAEA、GAGA和和EIEI分別為桿件的拉伸剛度、剪切剛度和彎分別為桿件的

10、拉伸剛度、剪切剛度和彎曲剛度，曲剛度，K K0 0為剪應(yīng)力的分布不均勻系數(shù)，對于矩形截面為剪應(yīng)力的分布不均勻系數(shù)，對于矩形截面K K0 01.21.2iRiQQNNcFdsEIMMdsGAFkFdsEAFF0dsEIMMdsGAFFkdsEAFFPQPQNPN0在荷載單獨作用下，結(jié)構(gòu)的位移在荷載單獨作用下，結(jié)構(gòu)的位移計算公式計算公式 (1)(1)梁和剛架，主要考慮彎梁和剛架，主要考慮彎曲變形的影響，位移公式：曲變形的影響，位移公式： dsEIMMP(2)桁架，只考慮軸向變形的桁架，只考慮軸向變形的影響，位移公式：影響，位移公式：dsEAFFNPN(3)組合結(jié)構(gòu)一般將梁式桿和桁組合結(jié)構(gòu)一般將梁式

11、桿和桁架桿分別按各自的主要變形考慮，架桿分別按各自的主要變形考慮，位移計算公式可寫成：位移計算公式可寫成： dsEAFFdsEIMMNPNP 第四節(jié)第四節(jié) 在荷載作用下靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下靜定結(jié)構(gòu) 的位移計算的位移計算 例例7-4-1 4mC3m4mDBA(a) (1)D結(jié)點的豎向位移結(jié)點的豎向位移 (2)CD桿的轉(zhuǎn)角位移桿的轉(zhuǎn)角位移 已知各桿已知各桿EA相等，并為常數(shù)相等，并為常數(shù) 。求：求：解解（1 1）求求D結(jié)點的豎向位移結(jié)點的豎向位移 DV 1 1）計算）計算 NPFCDBA(b) 圖圖（kN） NPF2 2）計算）計算 NFCDBA(c) 圖圖（kN） NF3 3）計算）計算 DV

12、)(6 .53)55 .1283. 055 .1283. 030141067. 02(1mEAEADV51LEAFFNPNDV（2 2）求）求CDCD桿的轉(zhuǎn)角位移桿的轉(zhuǎn)角位移 1/3mCDBA1/3mradEAEA25.26)55 .1221. 0241017. 041017. 0(1() NF(d) 圖圖（1/m） 例例7-4-2 求求B結(jié)點的水平位移結(jié)點的水平位移 (a) 解解qLqL/2qL/2xx1xx11(b) (c) （1 1）（2 2）兩種狀態(tài)下任意兩種狀態(tài)下任意截面的彎矩函數(shù)截面的彎矩函數(shù) AB桿：桿： 2)(2qxqLxxMxxM)(BC桿：桿： xqLxM2)(xxM)(（

13、3 3）)(832)2(4210022EIqLdxxqLxdxqxqLxdxEIMMLLPBH總結(jié)：廣義位移對應(yīng)的廣義力總結(jié)：廣義位移對應(yīng)的廣義力 1 1）求結(jié)構(gòu)上的某點在指定方向上的線位移，可在該點上）求結(jié)構(gòu)上的某點在指定方向上的線位移，可在該點上施加指定方向的單位力；施加指定方向的單位力；2 2）求結(jié)構(gòu)某截面的轉(zhuǎn)角，可在該截面上施加單位力偶，由）求結(jié)構(gòu)某截面的轉(zhuǎn)角，可在該截面上施加單位力偶，由于桁架桿只能有結(jié)點力，因此可在桁架桿的兩端施加一對于桁架桿只能有結(jié)點力，因此可在桁架桿的兩端施加一對大小相等，方向相反且垂直桿軸的集中力，大小為大小相等，方向相反且垂直桿軸的集中力，大小為1/d1/d

14、，其，其中中d d為桿的長度；為桿的長度；3 3）求結(jié)構(gòu)）求結(jié)構(gòu)ABAB兩點的相對線位移，可在兩點的相對線位移，可在ABAB的連線上施加方向的連線上施加方向相反的單位力；相反的單位力；4 4）求結(jié)構(gòu)在切口處的相對線位移，可在切口處施加兩個）求結(jié)構(gòu)在切口處的相對線位移，可在切口處施加兩個方向相反的單位力；方向相反的單位力；5 5）求結(jié)構(gòu)兩個截面的相對角位移，可在結(jié)構(gòu)的截面）求結(jié)構(gòu)兩個截面的相對角位移，可在結(jié)構(gòu)的截面處施加一對方向相反的單位力偶，如果待求的是兩根處施加一對方向相反的單位力偶，如果待求的是兩根桁架桿的相對角位移，則可在桁架桿施加一對方向相桁架桿的相對角位移，則可在桁架桿施加一對方向相

15、反的單位力偶，即在每根桿的兩端施加一對大小相等，反的單位力偶，即在每根桿的兩端施加一對大小相等，方向相反且垂直桿軸的集中力，大小為方向相反且垂直桿軸的集中力，大小為1/d1/d，其中，其中d d為為該桿的長度。該桿的長度。第五節(jié)第五節(jié) 圖乘法圖乘法 圖乘公式代替積分公式圖乘公式代替積分公式 MPyyxxyooAEIEIAyC(a) 圖乘公式的應(yīng)用條件圖乘公式的應(yīng)用條件 (1)結(jié)構(gòu)上各桿均為等截面直桿，結(jié)構(gòu)上各桿均為等截面直桿，即，各桿即，各桿EI分別或分段為常數(shù)；分別或分段為常數(shù)； (2)(2)豎標必須取自直線彎矩圖形豎標必須取自直線彎矩圖形; ;(3)(3)另一彎矩圖的面積另一彎矩圖的面積A

16、和面積形和面積形心易求得。心易求得。 標準二次拋物線(b) 例例7-5-1 L/2L/2qABC(a) 返 回求：簡支梁求：簡支梁B端截面的角位移和端截面的角位移和梁中點梁中點C處的豎向位移處的豎向位移 。已知梁的已知梁的EI值為常數(shù)。值為常數(shù)。 解解1)求梁求梁B端的角位移端的角位移 (1)作荷載作用下作荷載作用下梁的彎矩圖梁的彎矩圖(3)由圖乘公式由圖乘公式計算位移計算位移 (2)作虛單位力偶作虛單位力偶作用下的彎矩圖作用下的彎矩圖BCA5(L/2)/882qLL/2L/212CAy1M=1B23121()38224BqLqLLEIEI （）2)2)求梁中點求梁中點C的豎向位移的豎向位移C

17、V F =1Py2BCA(1)作荷載作用下作荷載作用下梁的彎矩圖梁的彎矩圖BCA5(L/2)/882qLL/2L/212(2)作虛單位力作虛單位力作用下的彎矩圖作用下的彎矩圖(3)由圖乘公式由圖乘公式計算位移計算位移CV 2412552()( )32884384CVLqLLqLEIEI例例7-5-2：求：求B點的豎向位移點的豎向位移 L/2L/2FPBCA(a) 解解圖見圖圖見圖(a)、(b)。 作作PMM(a) (b) 311()22233911512()( )2252621023240PBVPPPF LLLEIF LF LF LLLLLEIEIF =1PL/2B2ALC31(c) (d)

18、或者：或者：3112()2223229111()( )2223022215240PBVPPPF LLLEIF LF LF LLLLLEIEI例例7-5-3 求所示剛架求所示剛架B點的水平位移點的水平位移BH q=5kN/mCBDA(a) 10kNmCBDAq=5kN/m8kNm8kNmPM圖圖(c) 10kNmCcDA21.5kNm8kNm8kNm2Bb14322.5kNmPM圖圖(b) CBDA(d) 圖圖M11418(10 68 6232321874022.5 6 28 4)()3233BHEIEI 例例7-5-42m2mq=5kN/mDBCA,B兩端點的相對豎向位移兩端點的相對豎向位移A

19、B (a) 求求: :12kNmDBC2kNm10kNmPM圖圖(b) DBCM圖圖(c) 211421(125(5 2 )5 12338134 5321052 4 4)()329ABVEIEIEI 2211421(125(5 2 )5 123381421105(5 2 )5 123384 5322 4 4)()9ABVEIEIEI 或或溫度改變時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算溫度改變時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算 第六節(jié)第六節(jié)BAB靜定結(jié)構(gòu)受到溫度改變的影響時，靜定結(jié)構(gòu)受到溫度改變的影響時，發(fā)生滿足約束允許的變形和位移，發(fā)生滿足約束允許的變形和位移，但為零內(nèi)力狀態(tài)。但為零內(nèi)力狀態(tài)。 設(shè)溫度沿截面高度設(shè)溫度沿截面高

20、度h h以直線傳遞，以直線傳遞，見圖（見圖（a），則截面上材料的應(yīng)變），則截面上材料的應(yīng)變沿高度也呈線性變化。因此，桿沿高度也呈線性變化。因此，桿件由于溫度改變變形后平截面假件由于溫度改變變形后平截面假定仍然適用。定仍然適用。h2h1ht ds0dt ds2t ds1ds0dt ds12()tttddsdshh由于兩個截面之間沒有相對豎向由于兩個截面之間沒有相對豎向位移，因此剪切應(yīng)變?yōu)榱悖灰?，因此剪切?yīng)變?yōu)榱悖S向應(yīng)變：軸向應(yīng)變：轉(zhuǎn)角應(yīng)變：轉(zhuǎn)角應(yīng)變：0d代入虛功原理：代入虛功原理：iRiLLLQNcFdMdFdF)(0( )( )NLLtFt dsMdsh 可得：可得：假設(shè)，溫度沿桿件全長不

21、變，且截假設(shè)，溫度沿桿件全長不變，且截面高度相同，則有：面高度相同，則有：0( )( )NLLttF dsMdsh 0( )( )NFMtt SSh 注意正負號的選取：注意正負號的選?。寒斕摿Φ淖冃魏蜏囟纫鸬淖冃萎斕摿Φ淖冃魏蜏囟纫鸬淖冃瓮驎r，取正號；反之，取負號。同向時，取正號；反之，取負號。與荷載引起梁的變形不同，溫度與荷載引起梁的變形不同，溫度引起的變形不能忽略軸向變形的引起的變形不能忽略軸向變形的影響。影響。例例7-6-1 圖示靜定剛架，各桿截面圖示靜定剛架，各桿截面相同，截面為矩形，截面相同，截面為矩形，截面高度高度h=60cm。設(shè)材料在溫設(shè)材料在溫度作用下的線膨脹系數(shù)為度作用

22、下的線膨脹系數(shù)為a=0.00001。白天施工時，白天施工時，室內(nèi)外溫度均在室內(nèi)外溫度均在10C，夜夜間室外溫度降至間室外溫度降至-10C，室室內(nèi)溫度不變。求晚間懸臂內(nèi)溫度不變。求晚間懸臂端端G點相對于初時狀態(tài)點相對于初時狀態(tài)（內(nèi)外均為（內(nèi)外均為0 0C）的水平位）的水平位移移 GH。各桿桿長均為：各桿桿長均為：L=6m 。 CGDt2BAt2t1t2t2CGDBA解解： (b) 2010.00001 10 1 62 0.000016 60.620.0114 ()m 第七節(jié)第七節(jié) 線性變形體的互等定理線性變形體的互等定理 1.1.功的互等定理（基本定理）功的互等定理（基本定理） 狀態(tài)狀態(tài)1 11

23、21212pLLFM dQd2212121pLLFM dQ dFp1的虛功 Fp2的虛功 由于， 2222,MkQddx ddxEIGA1111,MkQddx ddxEIGA可得， 12121212LLLLM MkQQM dQddxdxEIGA21212121LLLLM MkQ QM dQ ddxdxEIGA最終有， 112221ppFF功的功的互等定理互等定理功的互等功的互等定定 理理線彈性體上一組外力在由另一組線彈性體上一組外力在由另一組外力引起的相應(yīng)位移上所作的總外力引起的相應(yīng)位移上所作的總虛外力功，等于另一組外力在由虛外力功，等于另一組外力在由此外力引起的相應(yīng)位移上所作的此外力引起的相

24、應(yīng)位移上所作的總虛外力功?？偺撏饬Α? 2、位移互等定理、位移互等定理 21212pF12121pF稱為位移影響系數(shù)稱為位移影響系數(shù)每單位力引起的位移值每單位力引起的位移值 。12211221表示由于表示由于 單位力時單位力時， 2PF1PF（ ） （ ） 狀態(tài)狀態(tài)1 (a) 引起的相應(yīng)于引起的相應(yīng)于 2PF1PF（ ） 的位移值的位移值 。為為2112位移互等定理敘述為：位移互等定理敘述為： ，等于由，等于由1PF212PF12在任一線彈性變形體上，由力在任一線彈性變形體上，由力引起的沿另一力引起的沿另一力方向上的位移方向上的位移影響系數(shù)影響系數(shù)方向上的位移影響系數(shù)方向上的位移影響系數(shù)引起的沿引起的沿2PF1PF。位移互等位移互等定理定理在任一線彈性變形體上，由單位力在任一線彈性變形體上，由單位力 11PF引起的沿單位力引起的沿單位力 12PF方向上的位移方向上的位移 21等于由等于由 12PF引起的沿引起的沿 11PF方向上的位移方向上的位移 12或者：狀態(tài)狀態(tài)2 (b) 3 3、反力互等定理、反力互等