2021年高考數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)講義第3章32導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

1、§3.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性最新考綱考情考向分析了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次).考查函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍；強(qiáng)化分類討論思想；題型以解答題為主，一般難度較大.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)yf (x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f(x)>0f (x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增f(x)<0f (x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減f(x)0f (x)在(a，b)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)概念方法微思考“f (x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，那么f(x)>

2、0在(a，b)上恒成立，這種說法是否正確提示不正確，正確的說法是：可導(dǎo)函數(shù)f (x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任一非空子區(qū)間內(nèi)都不恒為零題組一思考辨析1判斷以下結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉盎颉?#215;)(1)如果函數(shù)f (x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，那么f (x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性()(2)如果函數(shù)f (x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，那么f (x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(×)(3)在(a，b)內(nèi)f(x)0且f(x)0的根有有限個，那么f

3、0;(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù)()題組二教材改編2.如圖是函數(shù)yf (x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象，那么以下判斷正確的選項(xiàng)是()A在區(qū)間(2,1)上f (x)是增函數(shù)B在區(qū)間(1,3)上f (x)是減函數(shù)C在區(qū)間(4,5)上f (x)是增函數(shù)D在區(qū)間(3,5)上f (x)是增函數(shù)答案C解析在(4,5)上f(x)>0恒成立，f (x)是增函數(shù)3函數(shù)f (x)cosxx在(0，)上的單調(diào)性是()A先增后減B先減后增C增函數(shù)D減函數(shù)答案D解析因?yàn)樵?0，)上恒有f(x)sinx1<0.所以f (x)在(0，

4、)上是減函數(shù)，應(yīng)選D.4函數(shù)f (x)exx的單調(diào)遞增區(qū)間是_，單調(diào)遞減區(qū)間是_答案(0，)(，0)解析由f(x)ex1>0，解得x>0，故其單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)；由f(x)<0，解得x<0，故其單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)題組三易錯自糾5假設(shè)函數(shù)f (x)x3x2ax4的單調(diào)減區(qū)間為1,4，那么實(shí)數(shù)a的值為_答案4解析f(x)x23xa，且f (x)的單調(diào)減區(qū)間為1,4，f(x)x23xa0的解集為1,4，1,4是方程f(x)0的兩根，那么a(1)×44.6函數(shù)f (x)x2(xa)(1)假設(shè)f (x)在(2,3

5、)上單調(diào)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_；(2)假設(shè)f (x)在(2,3)上不單調(diào)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(1)(，3(2)解析由f (x)x3ax2，得f(x)3x22ax3x.(1)令f(x)0，得x0或x，假設(shè)f (x)在(2,3)上單調(diào)遞減，那么有3，解得a；假設(shè)f (x)在(2,3)上單調(diào)遞增，那么有2，解得a3，所以假設(shè)f (x)在(2,3)上單調(diào)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，3.(2)假設(shè)f (x)在(2,3)上不單調(diào)，那么有可得3<a<.不含參函數(shù)的單調(diào)性1函數(shù)y4x2的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(0，) B.C(，1

6、) D.答案B解析由y4x2，得y8x(x0)，令y>0，即8x>0，解得x>，函數(shù)y4x2的單調(diào)遞增區(qū)間為.應(yīng)選B.2函數(shù)f (x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)答案D解析f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)>0，解得x>2，應(yīng)選D.3函數(shù)f (x)xlnx，那么f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_答案解析因?yàn)楹瘮?shù)f (x)xlnx的定義域?yàn)?0，)，所以f(x)lnx1(x>0)，當(dāng)f(x)<0時，解得0<x<，即函數(shù)f 

7、(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.4定義在區(qū)間(，)上的函數(shù)f (x)xsinxcosx，那么f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_答案和解析f(x)sinxxcosxsinxxcosx.令f(x)xcosx>0，那么其在區(qū)間(，)上的解集為，即f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.思維升華確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f (x)的定義域(2)求f(x)(3)解不等式f(x)>0，解集在定義域內(nèi)的局部為單調(diào)遞增區(qū)間(4)解不等式f(x)<0，解集在定義域內(nèi)的局部為單調(diào)遞減區(qū)間含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例1函數(shù)f (x)ax2(a1)xlnx，a>0

8、，試討論函數(shù)yf (x)的單調(diào)性解函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，f(x)ax(a1).當(dāng)0<a<1時，>1，x(0,1)和時，f(x)>0；x時，f(x)<0，函數(shù)f (x)在(0,1)和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a1時，1，f(x)0在(0，)上恒成立，函數(shù)f (x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時，0<<1，x和(1，)時，f(x)>0；x時，f(x)<0，函數(shù)f (x)在和(1，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上，當(dāng)0<a<1時，函數(shù)f (x)在(0,1)和上單調(diào)遞增，在上單

9、調(diào)遞減；當(dāng)a1時，函數(shù)f (x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時，函數(shù)f (x)在和(1，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減假設(shè)將本例中參數(shù)a的范圍改為aR，其他條件不變，試討論f (x)的單調(diào)性解a>0時，討論同上；當(dāng)a0時，ax1<0，x(0,1)時，f(x)>0；x(1，)時，f(x)<0，函數(shù)f (x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減綜上，當(dāng)a0時，函數(shù)f (x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)f (x)在(0,1)和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a

10、1時，函數(shù)f (x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時，函數(shù)f (x)在和(1，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減思維升華(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練1(2022·重慶一中模擬)函數(shù)f (x)x3ax2b(a，bR)，試討論f (x)的單調(diào)性解f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.當(dāng)a0時，因?yàn)閒(x)3x20，所以函數(shù)f (x)在(，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，x(0，)時，f(x)

11、>0，x時，f(x)<0，所以函數(shù)f (x)在，(0，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時，x(，0)時，f(x)>0，x時，f(x)<0，所以函數(shù)f (x)在(，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上，當(dāng)a0時，f (x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，f (x)在，(0，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時，f (x)在(，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點(diǎn)1比較大小或解不等式例2(1)函數(shù)f (x)xsinx，xR，那么f，f (1)，f的大小關(guān)系為()Af>

12、;f (1)>fBf (1)>f>fCf>f (1)>fDf>f>f (1)答案A解析因?yàn)閒 (x)xsin x，所以f (x)(x)·sin(x)xsin xf (x)，所以函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，所以ff.又當(dāng)x時，f(x)sin xxcos x>0，所以函數(shù)f (x)在上是增函數(shù)，所以f<f (1)<f，即f>f (1)>f，應(yīng)選A.(2)定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，當(dāng)

13、x<0時，xf(x)f (x)<0.假設(shè)a，b，c，那么a，b，c的大小關(guān)系是()Ab<a<cBa<c<bCa<b<cDc<a<b答案D解析設(shè)g(x)，那么g(x)，又當(dāng)x<0時，xf(x)f (x)<0，所以g(x)<0，即函數(shù)g(x)在區(qū)間(，0)內(nèi)單調(diào)遞減因?yàn)閒 (x)為R上的偶函數(shù)，所以g(x)為(，0)(0，)上的奇函數(shù)，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞減由0<ln2<e<3，可得g(3)<g(e)<g(ln2)，即c<a<b，應(yīng)

14、選D.命題點(diǎn)2根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)例3函數(shù)f (x)lnxax22x(a0)在1,4上單調(diào)遞減，求a的取值范圍解因?yàn)閒 (x)在1,4上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x1,4時，f(x)ax20恒成立，即a恒成立設(shè)G(x)，x1,4，所以aG(x)max，而G(x)21，因?yàn)閤1,4，所以，所以G(x)max(此時x4)，所以a，又因?yàn)閍0，所以a的取值范圍是(0，)本例中，假設(shè)f (x)在1,4上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍解因?yàn)閒 (x)在1,4上存在單調(diào)遞減區(qū)間，那么f(x)<0在1,4上有解，所以當(dāng)x1,4時，a>有解，又當(dāng)x1,4時，min1

15、(此時x1)，所以a>1，又因?yàn)閍0，所以a的取值范圍是(1,0)(0，)本例中，假設(shè)f (x)在1,4上單調(diào)遞增，求a的取值范圍解因?yàn)閒 (x)在1,4上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1,4時，f(x)0恒成立，所以當(dāng)x1,4時，a恒成立，又當(dāng)x1,4時，min1(此時x1)，所以a1，即a的取值范圍是(，1思維升華根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：yf (x)在(a，b)上單調(diào)，那么區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集(2)f (x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的x(a，b)都有f(x)0(f(x)0)且在(a，b)內(nèi)的任一非

16、空子區(qū)間上，f(x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否那么會漏解(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)f (x)x32xex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，假設(shè)f (a1)f (2a2)0，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案解析由f (x)x32xex，得f (x)x32xexf (x)，所以f (x)是R上的奇函數(shù)，又f(x)3x22ex3x2223x2，當(dāng)且僅當(dāng)x0時取等號，所以f(x)0，所以f (x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以不等式f (a1)f (2

17、a2)0f (a1)f (2a2)f (2a2)a12a2，解得1a，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)(2022·安徽毛坦廠中學(xué)模擬)函數(shù)f (x)x23x4lnx在(t，t1)上不單調(diào)，那么實(shí)數(shù)t的取值范圍是_答案(0,1)解析函數(shù)f (x)x23x4lnx(x>0)，f(x)x3，函數(shù)f (x)x23x4lnx在(t，t1)上不單調(diào)，f(x)x3在(t，t1)上有變號零點(diǎn)，0在(t，t1)上有解，x23x40在(t，t1)上有解，由x23x40得x1或x4(舍去)，1(t，t1)，t(0,1)，故實(shí)數(shù)t的取值范圍是(0

18、,1)1當(dāng)x>0時，f (x)x的單調(diào)遞減區(qū)間是()A(2，) B(0,2)C(，) D(0，)答案B解析由f(x)1<0，又x>0，x(0,2)應(yīng)選B.2函數(shù)yxcosxsinx在下面哪個區(qū)間上是增函數(shù)()A.B(，2)C.D(2，3)答案B解析yxsinx，經(jīng)驗(yàn)證，只有在(，2)內(nèi)y>0恒成立，yxcosxsinx在(，2)上是增函數(shù)3函數(shù)f (x)lnxax(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.B.C.D(，a)答案A解析由f(x)a>0，x>0，得0<x<.f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.4如果函數(shù)f 

19、;(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如下列圖，那么函數(shù)f (x)的圖象最有可能的是()答案A5.在R上可導(dǎo)的函數(shù)f (x)的圖象如下列圖，那么關(guān)于x的不等式xf(x)<0的解集為()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(2，1)(1,2)D(，2)(2，)答案A解析在(，1)和(1，)上，f (x)單調(diào)遞增，所以f(x)>0，使xf(x)<0的范圍為(，1)；在(1,1)上，f (x)單調(diào)遞減，所以f(x)<0，使xf(x)<0的范圍為(0,1)綜上，關(guān)于x的不等式xf(x)<0的解集為(，1)(0,1)6f 

20、;(x)，那么()Af (2)>f (e)>f (3) Bf (3)>f (e)>f (2)Cf (3)>f (2)>f (e) Df (e)>f (3)>f (2)答案D解析f (x)的定義域是(0，)，f(x)，當(dāng)x(0，e)時，f(x)>0，當(dāng)x(e，)時，f(x)<0，故xe時，f (x)maxf (e)，又f (2)，f (3)，那么f (e)&g

21、t;f (3)>f (2)7函數(shù)f (x)kx33(k1)x2k21(k>0)(1)假設(shè)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4)，那么實(shí)數(shù)k的值為_；(2)假設(shè)f (x)在(0,4)上為減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案(1)(2)解析(1)f(x)3kx26(k1)x，由題意知f(4)0，解得k.(2)由f(x)3kx26(k1)x0(k>0)，并結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，必有4，解得k，故0<k.8(2022·西安八校聯(lián)考)函數(shù)f (x)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，假設(shè)f (x)f (2x)，

22、且(x1)f(x)<0，假設(shè)af (0)，bf，cf (3)，那么a，b，c的大小關(guān)系是_答案b>a>c解析由可得f (x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，且f (x)在(，1)上是增函數(shù)，a<b，又f (3)f (1)，a>c，b>a>c.9假設(shè)函數(shù)f (x)x3x22ax在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，那么a的取值范圍是_答案解析對f (x)求導(dǎo)，得f(x)x2x2a22a.由題意知，f(x)>0在上有解，當(dāng)x時，f(x)的最大值為f2a.令2a>0，解得a>，所以a的

23、取值范圍是.10奇函數(shù)f (x)在區(qū)間(0，)上滿足：xf(x)f (x)>0，且f (1)0，那么不等式xf (x)<0的解集為_答案(1,0)(0,1)解析由題意可令h(x)xf (x)，那么h(x)為偶函數(shù)當(dāng)x>0時，h(x)xf(x)f (x)>0，那么h(x)為增函數(shù)，xf (x)<0等價于h(x)<0h(1)，即h(|x|)<h(1)，于是|x|<1，所以1<x<1，而h(0)0，故不等式的解集為(1,0)(0,1)11函數(shù)f (x)(k為常數(shù)

24、)，曲線yf (x)在點(diǎn)(1，f (1)處的切線與x軸平行(1)求實(shí)數(shù)k的值；(2)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間解(1)f(x)(x>0)又由題意知f(1)0，所以k1.(2)f(x)(x>0)設(shè)h(x)lnx1(x>0)，那么h(x)<0，所以h(x)在(0，)上單調(diào)遞減由h(1)0知，當(dāng)0<x<1時，h(x)>0，所以f(x)>0；當(dāng)x>1時，h(x)<0，所以f(x)<0.綜上，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，)12討論函數(shù)f (x)(a1)lnxa

25、x21的單調(diào)性解f (x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2ax.當(dāng)a1時，f(x)>0，故f (x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，f(x)<0，故f (x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時，令f(x)0，解得x，那么當(dāng)x時，f(x)<0；當(dāng)x時，f(x)>0，故f (x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增綜上，當(dāng)a1時，f (x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，f (x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時，f (x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增13(2022·安徽毛坦廠中

26、學(xué)模擬)函數(shù)f (x)x23x4lnx在(t，t1)上不單調(diào)，那么實(shí)數(shù)t的取值范圍是_答案(0,1)解析函數(shù)f (x)x23x4lnx(x>0)，f(x)x3，函數(shù)f (x)x23x4lnx在(t，t1)上不單調(diào)，f(x)x3在(t，t1)上有變號零點(diǎn)，0在(t，t1)上有解，x23x40在(t，t1)上有解，由x23x40得x1或x4(舍去)，1(t，t1)，t(0,1)，故實(shí)數(shù)t的取值范圍是(0,1)14函數(shù)f (x)(xR)滿足f (1)1，f (x)的導(dǎo)數(shù)f(x)<，那么不等式f (x2)<的解集為_答案x|x<1或x>1解析設(shè)F(x)f (x)x，F(xiàn)(x)f(x)，f(x)<，F(xiàn)(x)f(x)<0，即函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減f (x2)<，f (x2)<f (1)，F(xiàn)(x2)<F(1)，而函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減，x2>1，即不等式的解集為x|x<1或x>115定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)yf (x)使