求生必備知識(shí)

1、第第1章章 插值方法插值方法 插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法。早在插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法。早在10001000多年前，我國(guó)歷法上已經(jīng)記載了應(yīng)用一多年前，我國(guó)歷法上已經(jīng)記載了應(yīng)用一次插值和二次插值的實(shí)例。次插值和二次插值的實(shí)例。拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）、牛頓）、牛頓（NewtonNewton）、埃特金（）、埃特金（AitkenAitken）分別給出了）分別給出了不同的解決方法。不同的解決方法。 1.1 拉格朗日插值公式 1.2 牛頓插值公式 1.3 埃特金插值公式1.4 存在惟一性定理1.5 插值余項(xiàng)1.6 分段三次埃爾米特插值 1.7 三次樣條插值1.8 應(yīng)用實(shí)例

2、1.1 拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式 拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）插值公式）插值公式(以下統(tǒng)稱(chēng)為以下統(tǒng)稱(chēng)為L(zhǎng)agrange插值公式插值公式)的基本思想是，把的基本思想是，把pn(x)的構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)的構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為化為n+1個(gè)插值基函數(shù)個(gè)插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,n)的構(gòu)造。的構(gòu)造。 圖圖11 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 1.1.n n=1=1的情況的情況 已知函數(shù)已知函數(shù)y y= =f f( (x x) )在點(diǎn)在點(diǎn)x x0 0, ,x x1 1上的值為上的值為y y0 0, ,y y1 1， 要 求 多 項(xiàng) 式， 要 求 多 項(xiàng) 式y(tǒng) y= =p p1 1( (x x) ) ，

3、使， 使p p1 1( (x x0 0)=)=y y0 0, ,p p1 1( (x x1 1)=)=y y1 1。其幾何意義，就是。其幾何意義，就是通過(guò)兩點(diǎn)通過(guò)兩點(diǎn)A A( (x x0 0, ,y y0 0),),B B( (x x1 1, ,y y1 1) )的一條直線，的一條直線，如圖如圖1 12 2所示。所示。 圖圖12 一次插值多項(xiàng)式一次插值多項(xiàng)式 由直線兩點(diǎn)式可知，通過(guò)由直線兩點(diǎn)式可知，通過(guò)A，B的直線方程為的直線方程為 它也可變形為它也可變形為p1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1 顯然有：顯然有：l0(x0)=l1(x1)=1，l0(x1)=l1(x0)=0，p1(x0)=

4、y0，p1(x1)=y1 )(1001010 xpxxxxyyyy(1.1)010110100)(,)(xxxxxlxxxxxl其中其中 我們稱(chēng)我們稱(chēng)l0(x)為點(diǎn)為點(diǎn)x0的一次插值基函數(shù)，的一次插值基函數(shù)，l1(x)為為點(diǎn)點(diǎn)x1的一次插值基函數(shù)。它們?cè)趯?duì)應(yīng)的插值點(diǎn)上取的一次插值基函數(shù)。它們?cè)趯?duì)應(yīng)的插值點(diǎn)上取值為值為1，而在另外的插值點(diǎn)上取值為，而在另外的插值點(diǎn)上取值為0。插值函數(shù)。插值函數(shù)p1(x)是這兩個(gè)插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)是這兩個(gè)插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)就是對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的函數(shù)值。這種形式的插值稱(chēng)作為拉就是對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的函數(shù)值。這種形式的插值稱(chēng)作為拉格朗日（格朗日（Lagran

5、ge）插值。）插值。 2.n=2的情況的情況 線性插值只利用兩對(duì)值線性插值只利用兩對(duì)值(x0,y0)及及(x1,y1)求得求得y=f(x)的近似值，誤差較大。的近似值，誤差較大。 p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2 p2(x)是是x的二次函數(shù)，稱(chēng)為二次插值多項(xiàng)式。的二次函數(shù)，稱(chēng)為二次插值多項(xiàng)式。通過(guò)三點(diǎn)的插值問(wèn)題稱(chēng)為二次插值或拋物插值。通過(guò)三點(diǎn)的插值問(wèn)題稱(chēng)為二次插值或拋物插值。3.一般情況一般情況我們看到，兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)我們看到，兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式式p1(x)，而三個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式，而三個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式p2(x)。當(dāng)插值

6、點(diǎn)增加到當(dāng)插值點(diǎn)增加到n+1個(gè)時(shí)，我們可以利用個(gè)時(shí)，我們可以利用Lagrange插值方法寫(xiě)出插值方法寫(xiě)出n次插值多項(xiàng)次插值多項(xiàng)式式pn(x)，如下所示：，如下所示：knknknkjjjkjkknyxxxxxlyxp)()()(000 1.2 牛頓插值公式牛頓插值公式 xf(x)一階差商一階差商二階差商二階差商三階差商三階差商x0f(x0)x1f(x1)f(x0,x1)x2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)差商表差商表Newton插值算法如下：插值算法如下：inputx,(xi,yi),i=0,1,n。

7、y=y0,t=1。forj=1,n dot=t*(x-xj-1) for i=0,n-j doend y=y+y0*t endoutput (x,y),(xi,yi),i=0,1,n。 iijiixxyyyi1 Newton插值算法中的插值算法中的j循環(huán)由循環(huán)由三部分組成：計(jì)算三部分組成：計(jì)算(x-xj)的累積，存的累積，存入入t單元；內(nèi)套一個(gè)單元；內(nèi)套一個(gè)i循環(huán)用來(lái)依次計(jì)循環(huán)用來(lái)依次計(jì)算差商表中的各階差商，存入算差商表中的各階差商，存入yi單元；單元；y單元用于存放單元用于存放Newton公式中各項(xiàng)累公式中各項(xiàng)累加之和。加之和。 例例3 已知已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1，求

8、，求f(x)的的Newton插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。解：解： 設(shè)設(shè)x0=-1,x1=1,x2=2, 則則 21) 1(121),(010110 xxyyxxf01211),(121221xxyyxxf61) 122/ 1(0),(),(),(021021210（）xxxxfxxfxxxf1.3 埃特金插值公式埃特金插值公式 埃特金埃特金( (Aitken) )插值公式插值公式( (以下統(tǒng)稱(chēng)以下統(tǒng)稱(chēng)為為Aitken插值公式插值公式) )的構(gòu)造是基于這樣的的構(gòu)造是基于這樣的直觀想象：平面上的兩個(gè)點(diǎn)可以連成一直觀想象：平面上的兩個(gè)點(diǎn)可以連成一條直線條直線, , 對(duì)應(yīng)一個(gè)線性函數(shù)；把線性函對(duì)應(yīng)一個(gè)線性

9、函數(shù)；把線性函數(shù)看作形式點(diǎn)數(shù)看作形式點(diǎn), , 經(jīng)線性組合經(jīng)線性組合, , 可構(gòu)成二可構(gòu)成二次函數(shù)；把二次函數(shù)再看作形式點(diǎn)次函數(shù)；把二次函數(shù)再看作形式點(diǎn), 經(jīng)線經(jīng)線性組合性組合, 可構(gòu)成三次函數(shù)?？蓸?gòu)成三次函數(shù)。 xf(x)x0f(x0)x1f(x1)P0,1(x)x2f(x2)P0,2(x)P0,1,2(x)x3f(x3)P0,3(x)P0,1,3(x)P0,1,2,3(x)Aitken 插值表插值表從從Aitken插值公式向算法轉(zhuǎn)化要插值公式向算法轉(zhuǎn)化要考慮的問(wèn)題是：考慮的問(wèn)題是：(1) 插值公式右端插值公式右端n-1次多項(xiàng)式應(yīng)次多項(xiàng)式應(yīng)如何處理；如何處理；(2) 插值表中的元素應(yīng)設(shè)置多少插

10、值表中的元素應(yīng)設(shè)置多少個(gè)存儲(chǔ)單元；個(gè)存儲(chǔ)單元；(3) 插值表中第插值表中第k列第列第i行元素的行元素的計(jì)算公式。計(jì)算公式。 Aitken插值算法如下：插值算法如下：input x,(xi,yi),i=0,1,n 1 kL：for i=k,k+1,n doendifknthen k+1 k, go to Lifk=n,output yn n 1ikkikikyxxxxyyy)(1111Aitken插值算法為二重循環(huán)。外循插值算法為二重循環(huán)。外循環(huán)為環(huán)為k循環(huán)，用于計(jì)算循環(huán)，用于計(jì)算Aitken插值表中插值表中的第的第k列；內(nèi)循環(huán)列；內(nèi)循環(huán)為為i循環(huán)，用于計(jì)算循環(huán)，用于計(jì)算Aitken插值表中的第

11、插值表中的第k列中的第列中的第i個(gè)元素。個(gè)元素。 例例4已知已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1,求求f(x)的的Aitken插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。 解：設(shè)解：設(shè)x0=-1,x1=1,x2=2 23211111112)(1 , 0 xxxxp3512112122)(2,0 xxxxp) 83(61)(121)(212)(22 , 01 , 02 , 1 , 0 xxxpxxpxxpxf(x)-121121232x)832(61 xx35x例例4的的Aitken插值表插值表1.4 存在惟一性定理存在惟一性定理 Lagrange插值公式、插值公式、Newton和和Aitken插值插值多

12、項(xiàng)式是同一個(gè)函數(shù)。事實(shí)上多項(xiàng)式是同一個(gè)函數(shù)。事實(shí)上, 我們有以下一個(gè)我們有以下一個(gè)定理。定理。 定理定理1 有惟一的有惟一的n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式pn(x)，滿(mǎn)足條件：，滿(mǎn)足條件： pn(xi)=yi(i=0,1,n)（1.3） 1.5 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng) 定理定理2 若若f(x)在包含著插值節(jié)點(diǎn)在包含著插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,xn的的區(qū)間區(qū)間a,b上上n+1次可微分次可微分, 則對(duì)任意則對(duì)任意x,xa,b,有與有與x有關(guān)的有關(guān)的(ab)存在存在, 使得使得 其中其中(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)。 )()!1()()()();()1(nnfnxxpxfxfE 例例 設(shè)設(shè)f(x)=lnx,

13、 并假定已給出值表試近并假定已給出值表試近似計(jì)算似計(jì)算ln(0.6)的值，并指出精度。的值，并指出精度。 解：利用解：利用3次次Lagrange 插值公式插值公式, 簡(jiǎn)單計(jì)算過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算過(guò)程如下：程如下： 值表值表x0.40.50.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.356675-0.22314400391. 0)4 .234)(0004. 0(241)6 . 0 ;E4 .234)4 . 0/(6)(max,/6509975. 0)8 . 0(l61)7 . 0ln(32)5 . 0ln(32)4 . 0ln(61)6 . 0ln(61)6 . 0(),7 . 0)(5 .

14、 0)(4 . 0(012. 01)(32)6 . 0(),8 . 0)(5 . 0)(4 . 0(006. 01)(32)6 . 0(),8 . 0)(7 . 0)(4 . 0(006. 01)(61)6 . 0(),8 . 0)(7 . 0)(5 . 0(012. 01)(4)4(8 . 0, 4 . 04)4(33221100fxfxfnlxxxxllxxxxllxxxxllxxxxl（從而可得。所以又因?yàn)?綜合上述綜合上述, 我們有我們有真值：真值：ln(0.6)=-0.510826，近似值：近似值：p3(0.6)=-0.509975， 真誤差：真誤差：ln(0.6)-p3(0.6)=

15、-0.000851，估計(jì)的上界：估計(jì)的上界：|ln(0.6)-p3(0.6)| 0.00391 例例 給定給定 (x-5,5)。取等距節(jié)點(diǎn)取等距節(jié)點(diǎn)xi=-5+i(i=0,1,10), 試建立插值多項(xiàng)式試建立插值多項(xiàng)式L10(x), 并作圖形并作圖形, 觀察觀察L10(x)對(duì)對(duì)f(x)的逼近效果。的逼近效果。 211)(xxf所示。畫(huà)出的圖形如圖解：31)()()()()()()()()()(101101011010010 xxxxxxxxxxxxxxxxxlxlxfxLiiiiiiiiiiii圖圖1-3 例例6的圖形的圖形1.6 分段三次埃爾米特插值分段三次埃爾米特插值 為了避免為了避免Ru

16、nge現(xiàn)象的發(fā)生現(xiàn)象的發(fā)生, 我們很自我們很自然地會(huì)想到把區(qū)間然地會(huì)想到把區(qū)間-5, 5等分為等分為10個(gè)小區(qū)個(gè)小區(qū)間間, 在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)應(yīng)用低次插值。但由在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)應(yīng)用低次插值。但由于每個(gè)小區(qū)間只有兩個(gè)端點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）于每個(gè)小區(qū)間只有兩個(gè)端點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）, 按照我們按照我們已知的方法已知的方法, 得到的將是一個(gè)分段得到的將是一個(gè)分段線性插值函數(shù)。線性插值函數(shù)。 已知已知xi,f(xi),f(xi)(i=0,1,n),求分段三次插值求分段三次插值函數(shù)函數(shù)H(x)滿(mǎn)足滿(mǎn)足H(xi)=f(xi),H(xi)=f(xi)(i=0,1,n) 為 了 得 到 插 值 函 數(shù)為 了 得 到 插 值

17、 函 數(shù) , 考 慮 任 意 子 區(qū) 間考 慮 任 意 子 區(qū) 間xi,xi+1,i(0,1,n-1), 采用采用Lagrange插值函數(shù)插值函數(shù)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu), 在第在第i個(gè)子區(qū)間上個(gè)子區(qū)間上H(x)=f(xi)h1(x)+f(xi+1)h2(x)+f(xi)h3(x)+f(xi+1)h4(x) 這樣，就把這樣，就把H(x)的構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四個(gè)插值的構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四個(gè)插值基函數(shù)基函數(shù)hk(x)(k=1,2,3,4)的構(gòu)造問(wèn)題。的構(gòu)造問(wèn)題。 1.7 三次樣條插值三次樣條插值 “樣條樣條”這個(gè)詞本來(lái)是指在飛機(jī)或輪船設(shè)計(jì)這個(gè)詞本來(lái)是指在飛機(jī)或輪船設(shè)計(jì)過(guò)程中為了描繪出光滑的外形曲線所用的一過(guò)程中為了描繪出

18、光滑的外形曲線所用的一種工種工具，即一個(gè)具有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條。具，即一個(gè)具有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條。事實(shí)上，在作事實(shí)上，在作了某些近似簡(jiǎn)化后，樣條的數(shù)學(xué)模型并不復(fù)雜，了某些近似簡(jiǎn)化后，樣條的數(shù)學(xué)模型并不復(fù)雜，它只是分段的三次多項(xiàng)式曲線：在相鄰兩塊壓鐵它只是分段的三次多項(xiàng)式曲線：在相鄰兩塊壓鐵之間是三次多項(xiàng)式曲線；在壓鐵處，之間是三次多項(xiàng)式曲線；在壓鐵處，左右兩段曲左右兩段曲線的切線和曲率是連續(xù)的。線的切線和曲率是連續(xù)的。 定義定義 給定給定a,b的分劃：的分劃：a=x0 0 x1 1xn n=b, 如果函數(shù)如果函數(shù)s(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上滿(mǎn)足以下條件：上滿(mǎn)足以下條件： （1）在每一個(gè)子區(qū)間（）在每一

19、個(gè)子區(qū)間（xi i,xi+1i+1）(i=0,1,n-1) 上上s(x)是三次多項(xiàng)式；是三次多項(xiàng)式； （2） s(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)； （3）s(xi i)=yi i(i=0,1,n),s(x0 0)=y0,s(xn n)=yn n。我我們就稱(chēng)們就稱(chēng)s(x)為三次樣條函數(shù)。為三次樣條函數(shù)。 1.8 應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例 例例9 要在程控銑床上加工直升飛機(jī)的旋要在程控銑床上加工直升飛機(jī)的旋轉(zhuǎn)機(jī)翼，外形的截面形狀見(jiàn)圖轉(zhuǎn)機(jī)翼，外形的截面形狀見(jiàn)圖1-4。外形頭部有。外形頭部有一 段 圓 弧一 段 圓 弧 B1B2， 圓 的 半 徑， 圓 的 半 徑 R=6.92mm，tan=0.305,B1,B2的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為B1(0.52,5.288)，B2(2.6,-3.615)，截面上輪廓線，截面上輪廓線18個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)如個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)如表表1-8所示。旋轉(zhuǎn)機(jī)翼外形截面圖如圖所示。旋轉(zhuǎn)機(jī)翼外形截面圖如圖