方俊鑫版固體物理習題解答(前題)

1、方俊鑫版固體物理習題解答(前題)方一陸固物習題參考答案1、布格子：每個原胞內只有一個原子的晶格或組成晶體結構的基元之結點：如以Cl原子為結點，取面心立方晶胞，就是NaCl的布氏格子；金剛石結構中位于正四面體中心的原子和頂角上的原子化學組份雖相同，但電子云配置方位不同，所以是復式格子。2、如以為正格子基矢則滿足。 3、體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子，試證明之。設體心立方格子的結晶學晶胞（Convention cell ）的基矢是令為直角坐標的三個互垂直的單位矢這個體心立方格子的固體物理學原胞（Primitive cell）的三個基矢，按規(guī)定這個倒點陣的結晶學胞原（Convention c

2、ell）應當是顯示其立方晶系對稱性的最小重復單元。設它的三個基矢則組成面心立方晶胞。設它們的 是b文檔來自于網絡搜索結論基矢是的體心立方為胞對應的倒格子是結晶系晶胞為面心原胞，它的倒格子基矢同樣方法可證：（必須反過來再證明一下）面心立方正格原胞基矢如：對應倒格子的結晶學原胞是體心立方晶胞，它的基矢4、基矢晶面族（h，k，l）的面間距為d。令對于正交晶系為h=1, k=1, l=0為簡單指數時 d100=a 面間距較大的之一又因為某個晶體的原胞體積總是不變的，原胞體積W=dhklAhkl；A為(h, k, l)晶面上面積元的面積（即h, k, l）晶面的二維晶格的原胞，晶格對應著固定的W，但是h

3、、k、l不同時，則對應著不同形狀的二維原胞，dhkl愈大，則Ahkl愈小，密度一定，A小，面密度大；因d大，二晶面互作用弱，易解理。所以解理面一般總是沿面密度大的(h, k, l)面解理，即解理面，一般是簡單指數的晶面。文檔來自于網絡搜索 5、對六角密堆積結構固體物理學原胞基矢如求倒子基矢：解： 7、把等體積的硬球堆成下列結構，求證球可能占據的最大體積和總體積之比。解：（1）簡立方a=2r（3）面心立方 晶胞面對角線=4r（4）六角密積 （5）金剛石：參考P19圖四面體原子互相接觸，四面體所決定的立方體邊長為，比立方體的體對角線為4r，則由圖8、（x-射線）如x射線沿簡立方晶胞的oz方向入射，

4、求證：當和時，衍射線在yz平面上，其中b2是衍射線和oz方向的夾角。解：入射線和衍射之間夾角為2q 2dsinq=nl 令n=1 （1）簡立方面間距為： （2）因衍射線和入射線必在一個平面內，（已知條件之一）得 （3） 由（1）、（2）、（3） 得 （4） 9、( x射線) 在氯化鉀晶體中，k+在0, 0, 0; 諸點；Cl-在諸點，試對衍射線面指數和衍射純度的關系。文檔來自于網絡搜索解：是復式格子討論：10、（米勒指數）六角晶系中見P343，晶面常用四個指數(h, k, l, m)表示，它們代表一個晶面在六角形半面基矢軸上的截距為；在六度軸上的截距為，試寫出的面指數。 文檔來自于網絡搜索補充

5、1：試畫出面心立方晶體（1 1 ）面上的原子分布圖，并求出這個晶面上的二維晶胞基矢。 ，它即是（1 1 ）面上二維晶胞基矢之一，以為二維晶胞的另一基矢，顯然這是一個長方形二維晶胞，以此晶胞在平面A B C D上做周期重復，即得（1 1 ）面上的原子分布。注：（1）晶面是（1 1 ）晶族中通過原點0的那個晶面，因為族中所有晶面都是完全相同的，所以研究晶面族中任意的一個就可以了。文檔來自于網絡搜索（2）（1 1 ）晶面上的其它形狀的原胞，不能直接顯示這個二維晶面上的原子分布的正交對稱性，但也可以得出同樣的（1 1 ）上的原子分布圖。文檔來自于網絡搜索11、設晶體中每對原子的平均結合能力為平衡時，n

6、0=10-10米，其結合能力|U|=810-19焦耳，試計算A和B以及晶體的有效彈性模量。文檔來自于網絡搜索（2） （1） （3）12、有一晶體，在平衡時的體積為V0，原子間總相互作用能量為V0, 如果原子間相互作用能由式所表達，試證體積彈體模量可由得出文檔來自于網絡搜索解：設晶體為簡立方晶胞，晶胞體積為v=r3，晶體體積v=Nr3，晶體的結合能E，從11題可知如把理解為晶體內為某一原子，對其它原子總的作用能，則原子間總相互作用能討論：如把理解為晶體內兩個原子間的相互作用能；則晶體指定參考原子，對晶體內全部原子的作用能是R：為最近臨原子距離，在S，C即單胞之邊長令 13、已知有N個子組成的Na

7、Cl晶體，其結合能為 令若干排斥項由Cexp(-r/r)來代替，且當晶體處于平衡時，這兩者對垂作用勢能的貢獻相同，試求出n與r的關系文檔來自于網絡搜索由已知條件 (2)（2）代入（1）： 14、試證一維離子晶體的m=2ln2解：令某個正離子“0”為原點則m是屬于結合能中的庫侖能部分的參數因為前格的左右對稱，所以取加號。“+”對異號離子 j從1，2，3，流動，所得S和乘2?！?”對同號離子 即得總晶體庫侖能。文檔來自于網絡搜索15、立方ZnS的晶格常數a=，試計算其結合能Eb（焦耳/摩爾）。解：書81頁，閃鋅礦m= n=1摩爾晶體內分子數NA=1023個/mol，含離子數為2NA=N16、在立方

8、晶系中，若彈性波沿向傳播，試求（i）它的三個波速；（ii）位移矢的三個方向余弦。解：即P99的；n=0代入P97（2-49）得Gij，克氏模量；和P98克氏模量，必須滿足，久期方程：文檔來自于網絡搜索又因立方品系中，彈性模量Cij不等于零得，只存C11=C12= C33， C12=C23= C31， C44=C55= C66上面的Gij代入久期議程：以p、q、r為未知數的兩個獨立方程，再加上P2+q2+r2=1可解出：則彈性位移矢也沿1 1 0方向，所以這是一只縱波。 彈性位移矢平行于0 0 1和傳播方向1 1 0垂直,這是橫波。彈性位移矢平行于，也與波傳播方向1 1 0垂直。17、試由熱力學

9、證明 Cp-Cv=9b2TK，K是體彈性模量，b是體膨脹系數。解：由熱力學定義： 以T、V為獨立變量 （1）上式第二步用了關系以T、P為獨立變量； （2）麥開關系之一 由（1）和（2）得 以P、V為獨立變量獨立變量前系數應相等：體脹系數 。壓縮系統(tǒng)的定義。附表用關系： 第三章 習題參考答案18、如原子離開平衡位置位移后的勢能為： 試證明，用經典理論比熱可寫成：證：一維振子總能處理小振動當c、g、f為正常數第二個積分中的小很多，積分主要貢獻來自于。略去高于X6之上的項；X3等奇次指數的項定積分為零也不寫出積分公式DD19、自由能F=U0(V)+F振（T、V）式中F振表示晶格振動時自由能的貢獻，U

10、0(V)是00K的內能，如, 為德拜溫度。文檔來自于網絡搜索D求證（1）壓力D （2）體脹系數 D證：D （1）DDD文檔來自于網絡搜索DDDD文檔來自于網絡搜索（2）即相當證 已知所以相當于證明即：所以又相當證明：要證明上式關系式方法有二（一） 由書P144（3-127）知（二）用熱力學霍姻霍茲關系式證為此利用本題第一式：DDD文檔來自于網絡搜索如能證則問題就可解決由霍姻霍茲關系式DD附霍姻霍茲關系式的證明：霍姻霍茲的自由能兩端對T的微分又20、寫出量子諧振子系統(tǒng)自由能，證明在經典極限，自由能為：證：經典極限 由教本P14321、設晶體中每個振子的零點振動能量具試用德拜模型求晶體的零點振動能

11、。解：由教本P129德拜模型每頻率在間格波數又由德拜模型知晶體零點振動能HH注：由上可見，應當是：；但在計算比熱時零點能E0因為與T無關，它不起作用，所以研究比熱時，中沒寫它，但是在計算晶體結合能時，要估計零點能的貢獻。文檔來自于網絡搜索第四章 習題參考22、在離子晶體中，由于電中性的要求，肖特基缺陷多成對地產生，令n代表正負離子對的數目，是產生一對缺陷所需的能量，N是原有正、負離子對的數目，在理論上可推出：文檔來自于網絡搜索（1）試求有肖脫基缺陷后體積的變化，V為原有的體積。（2）在800時，用X射線測定食鹽的離子間距，再由此時測定的密度r算得分子量為，而用化學方法所測定的分子量是，求在80

12、0時缺陷的數量級。文檔來自于網絡搜索解：（1）在弗蘭克爾缺陷中，晶體的體積沒有顯著變化，而在肖特基缺陷中每產生一對缺陷同時便在晶體表面填了兩個新的原子，增加了體積，也就減少了密度，在肖特基缺陷中所增加的體積為：文檔來自于網絡搜索其中a為正負離子間的距離。晶體原來的體積是因此體積變化是 （2）這是一個著名的實驗，證明食鹽中有肖特基缺陷，因為X光測點陣常數時，其值a不隨有無缺陷而改變，而用化學方法測密度則是真實的，每單位體積的質量，當晶體總質量m不改變時，晶體的實際體積V將隨缺陷數目的改變而變化，即用化學方法測得密度r將由于缺陷的數目增加而變。設NaCl分子量為M1每個分子占體積為2a3，令r為密

13、度，則有：文檔來自于網絡搜索所以通過這個實驗充分證明了空位的存在。通過密度的變化，說明空位存在的實驗還有以下實驗：在純NaCl或KCl等晶體中摻入一些重量較大的正負離子雜質，例如CaCl2，MgCl2等不同價的正離子，似乎密度應該會增加些，增加的數量與加入MgCl2的百分比成正比。有人用純KCl內加入CaCl2摻雜KCl，不僅密度不增加僅而減少；這說明Ca+入K+的位置，為使電中性維持下去，必然使晶體中處于正格點位上的一些K+去掉，這就造成了K+空位，而使晶體體積增大，密度減小?！把a充題”求體心立方，面心立方，六角密積等晶體結構的最小滑移矢量的長度。文檔來自于網絡搜索解：根據實驗數據和理論推測

14、所得規(guī)律：“滑移方向是密排方向或比較密排的方向”“滑移平面是密排平面”。所以此題就是最密排的原子面和線。文檔來自于網絡搜索體心立方：參考書P16圖1-9得：滑移面為1 0 1，滑移方向1 1 1；最小距離。面心立方：參考書P16圖1-9得：滑移面為1 1 1，滑移方向1 1 0； 六角密積：參考書P16圖1-9得：滑移面為0 0 1，滑移方向補充題：（1）畫出體心立方晶格1 1 0面上的原子分布圖。（2）設有一沿方向滑移，位銷線和1 1 0平行的刃位錯，試畫在1 1 0面上的投影圖。滑移面與紙面的交跡就是方向解：（1）參考書P17的體心立方則在1 1 0面上原子排列的兩維原胞是邊長為的菱形，菱

15、形的一對銳角q。紙面是1 1 0面，刃位錯線1 1 0 與紙面的垂足用“”標記，它是方向。（2）刃位借線的方向是1 1 0 與1 1 0面垂直，即刃位錯線垂直于紙面，刃位錯線的滑移方向是，它和1 1 0面法線方向垂直，所以在帶面上（或平行于紙面）。實際上方向是1 1 0面上菱形兩維原胞的一個菱邊的方向。刃位錯所插入（或取消）的半晶面與1 1 0面相交之跡，就沿方面，實際上是方向，滑移面由和紙面1 1 0面的法線所確定。文檔來自于網絡搜索注意：滑移面左下方，在刃位錯線之下，稍遠之處，相鄰原子三距離應當恢復為沿方向第五章 習題參考答案23、限制在邊長為L的正方形中的N個自由電子，電子的能量（i）求

16、能量E到E+dE之間的狀態(tài)數（ii）求此二維系統(tǒng)在絕對零度的弗米能量解：（i）采用周期邊鮮條件由 每個K矢在R空間占體積為E到E+dE間的狀態(tài)，在k空間內的體積為在其中的狀態(tài)數為：由于令（ii） 24、金屬鋰是體心立方晶格，晶格常數為試計算絕對零度時鋰的電子氣的弗米能量EF。解：體心立方晶格內，每個晶胞有兩個原子，鋰為一個價原子，所以鋰的電子氣密度25、在低溫下金屬鉀的摩爾容量的實驗結果可寫為：C=（+）毫焦/摩爾開若一摩爾鉀有N=61023個電子，試求鉀的弗米溫度TF和德拜溫度QD。解：在低溫下，電子氣的摩爾熱容量是： g=鉀的z=1，所以在低溫下，晶格振動摩爾熱容貢獻為： 26、一維周期勢

17、場中電子的波函數應當滿足Bloch定理，若晶格常數是a，電子波函數為試求電子在這些狀態(tài)下的波矢解：(i)按Bloch定理： (ii) (iii) 27、克一潘問題，當勢阱之間的間距時，求決定能量的關系式并說明此結果。解：由克一潘模型加上勢能為這實際上有限深勢阱的本征值問題分區(qū)討論的形式：（1）在勢阱內 （2）在勢阱外， 為滿足波函數的有限性：由波函數和它的微商的連續(xù)性得：（i）在x=a處 （ii）在x=0處B=C Aa=Cb 由、得 代入并整理之后得 討論（1）圖解求E，令則（7）式可寫為：以為直角坐標的縱軸，為橫軸，則對于一定的Vo，由（A）和（B）交點可決定E值，E值的個數與Vo之值有關，

18、但只能取分立的能級文檔來自于網絡搜索2）28、電子在周期勢場中的勢能 a=4b，為常數試畫出此勢能曲線，并求勢能平均值。解：勢場周期=a=4b 29、用近自由電子模型處理28題，求此晶體的第一個及第三個禁帶寬度。解：適當選取，位置座標原點，則研究（-2b,2b）間隔的V(x)，即令n=0則V(x)為偶函數，展開為富利葉級數將只有余弦項30、已知一維晶體的電子能帶可寫成式中a為晶格常數，試求：(i)能帶寬度 (ii)電子在波矢k時的速度 (iii)能帶底和頂的有效質量解：(i) 可解得：因為ka為實數，若只有sin ka=0存在，則ka=n；能帶寬（ii）（iii）帶底位于帶頂位于27、克龍尼克一潘納問題，當勢阱之間的間距時，決定能量的關系式，并說明此結果。解：由克一潘模型加上條件，此時勢能為：這實際上是求有限深勢阱的本征值問題由薛定諤方程：分區(qū)討論波函數形式1）在2）在 討論邊界條件和連續(xù)性當當當 （1） （2）4）在B=C （3） （4）由（