折紙中的數(shù)學(xué)問題(公開課)

1、折疊后點(diǎn)折疊后點(diǎn)B落在落在AC的點(diǎn)的點(diǎn)F上，上，若矩形若矩形ABCDABCD中中,AD=4,AB=3,AD=4,AB=3?E?F?D?A?C?B（1 1） 直接說出下列線段的長度：直接說出下列線段的長度：43x24-x將矩形紙片將矩形紙片ABCDABCD折疊，讓折疊，讓ABAB落在對(duì)角線落在對(duì)角線ACAC上上折法一折法一4 43 35 53 3（2 2）你還能求出線段）你還能求出線段EFEF的長度嗎？的長度嗎？AC=AC= ，AF=AF= 。（3 3）若連接）若連接BFBF，試判斷，試判斷AEAE和和BFBF的關(guān)系的關(guān)系. .BC=BC= ， DC=DC= ，對(duì)稱軸對(duì)稱軸垂直平分垂直平分連接對(duì)

2、稱點(diǎn)的線段連接對(duì)稱點(diǎn)的線段矩形對(duì)邊相等矩形對(duì)邊相等勾股定理勾股定理軸對(duì)稱的性質(zhì)軸對(duì)稱的性質(zhì)方程思想方程思想歸納：歸納：說明線段相等的常用方法說明線段相等的常用方法 (1)兩三角形全等（對(duì)應(yīng)邊相等）兩三角形全等（對(duì)應(yīng)邊相等） (2)同一三角形中等角對(duì)等邊同一三角形中等角對(duì)等邊 .猜想疊合部分是什么圖形？猜想疊合部分是什么圖形？ 驗(yàn)證你的猜想驗(yàn)證你的猜想.AFCAFC為等腰三角形為等腰三角形 ?ABCDEFCFDAFE90CDAEDFCEFADE方法一：三角形知方法二：為等腰AFC FACACF BCAFAC BCAD又 BCAACF 由折 疊將矩形紙片將矩形紙片ABCDABCD沿對(duì)角線沿對(duì)角線A

3、CAC折疊折疊折法二折法二猜想疊合部分是什么圖形？猜想疊合部分是什么圖形？ 驗(yàn)證你的猜想驗(yàn)證你的猜想.AFCAFC為等腰三角形為等腰三角形 若矩形若矩形ABCDABCD中中 AD=4,AB=3, AD=4,AB=3, 求求AFC的腰長的腰長. .將矩形紙片將矩形紙片ABCDABCD沿對(duì)角線沿對(duì)角線ACAC折疊折疊ABCDEF825 825 43DFCRt 4 ,222的腰長為即解得：）（中：故則解：設(shè)AFCxxxxFDxFCAFxFC求解 CDAF21= S 利用AFC方法一：直接你會(huì)求你會(huì)求AFC的面積嗎？的面積嗎？DFCADCAFCDFCADCSSSCDDFSCDADS 21 ,21方法二

4、：折法二折法二?G?B?1?F?E?A?C?D?B?M(1)(1)若若DM=5DM=5，求，求DEDE的長的長. .5x12-x12-x將正方形紙片將正方形紙片ABCDABCD折疊，使點(diǎn)折疊，使點(diǎn)A A落在落在CDCD邊上邊上折法三折法三若正方形邊長為若正方形邊長為1212，點(diǎn)，點(diǎn)A A正好落在正好落在CDCD邊上的點(diǎn)邊上的點(diǎn)M M重合，折痕為重合，折痕為EF.EF.(2)(2)連接連接AMAM，猜測(cè)，猜測(cè)AMAM與與EFEF的數(shù)量關(guān)系的數(shù)量關(guān)系. .GGADEFBGBAM于點(diǎn)交作過，解：連接/ EFBGEGBFBCADABCD為平行四邊形為正方形/(3)(3)求證求證:EF=AM.:EF=A

5、M.H(1)(1)若若DM=5DM=5，求，求DEDE的長的長. .將正方形紙片將正方形紙片ABCDABCD折疊，使點(diǎn)折疊，使點(diǎn)A A落在落在CDCD邊上邊上折法三折法三若正方形邊長為若正方形邊長為1212，點(diǎn)，點(diǎn)A A正好落在正好落在CDCD邊上的點(diǎn)邊上的點(diǎn)M M重合，折痕為重合，折痕為EF.EF.(2)(2)連接連接AMAM，猜測(cè)，猜測(cè)AMAM與與EFEF的數(shù)量關(guān)系的數(shù)量關(guān)系. .(3)(3)求證求證:EF=AM.:EF=AM.G?G?B?1?F?E?A?C?D?B?MHOABCDFE透過現(xiàn)象看本質(zhì)透過現(xiàn)象看本質(zhì): :折折疊疊軸軸對(duì)對(duì)稱稱實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)軸對(duì)稱性質(zhì)：軸對(duì)稱性質(zhì)：ADEF1.圖形的全

6、等性：圖形的全等性：2.點(diǎn)的對(duì)稱性：對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸（折痕）垂直平分點(diǎn)的對(duì)稱性：對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸（折痕）垂直平分.由折疊可得：由折疊可得：1.AFEAFE ADEADE2.AEAE是是DFDF的中垂的中垂線線角度角度線段長線段長翻折翻折全等全等相等的邊，相等的角相等的邊，相等的角通過探討折紙中的數(shù)學(xué)問題，我知道了通過探討折紙中的數(shù)學(xué)問題，我知道了二、數(shù)學(xué)思想：二、數(shù)學(xué)思想：方程思想方程思想在解決折疊問題中的應(yīng)用在解決折疊問題中的應(yīng)用一、折疊的本質(zhì)一、折疊的本質(zhì):_:_ 軸對(duì)稱變換軸對(duì)稱變換關(guān)于關(guān)于軸對(duì)稱變換軸對(duì)稱變換我們知道我們知道：1 1、對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等2

7、 2、對(duì)稱軸垂直平分連接對(duì)稱點(diǎn)的線段、對(duì)稱軸垂直平分連接對(duì)稱點(diǎn)的線段練習(xí)練習(xí)1、觀察與發(fā)現(xiàn)小明將三角形紙片、觀察與發(fā)現(xiàn)小明將三角形紙片ABC沿過點(diǎn)沿過點(diǎn)A的直線折疊，的直線折疊，使得使得AC落在落在AB邊上，折痕為邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖，展開紙片（如圖）；再次折）；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)和點(diǎn)D重合，折痕為重合，折痕為EF，展平紙片后得，展平紙片后得到到AEF（如圖（如圖）小明認(rèn)為是）小明認(rèn)為是AEF等腰三角形，你同意嗎？等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說明理由請(qǐng)說明理由 2、實(shí)踐與運(yùn)用、實(shí)踐與運(yùn)用將矩形紙片將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)A落在落在BC邊邊上的點(diǎn)上的點(diǎn)F處，折痕