學(xué)習(xí)課件第30講區(qū)間估計(jì)

1、 引言引言 前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì)前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì). 它它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù)是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù). 但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不大差范圍，使用起來把握不大. 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷 . 譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)N的極的極大似然估計(jì)為大似然估計(jì)為1000條條. 若我們能給出一個(gè)區(qū)間

2、，在此區(qū)間若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信內(nèi)我們合理地相信 N 的真值位于其中的真值位于其中. 這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了.實(shí)際上，實(shí)際上，N的真值可能大于的真值可能大于1000條，條，也可能小于也可能小于1000條條.也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的們能以比較高的可靠程度可靠程度相信它包含真參相信它包含真參數(shù)值數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值湖中魚數(shù)的真值 這里所說的這里所說的“可靠程度可靠程度”是用概率來度量的，是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平稱為置信概率，置信度或置信水平. 習(xí)慣上把置信

3、水平記作習(xí)慣上把置信水平記作 1 ，這里，這里 是一個(gè)是一個(gè)很小的正數(shù)很小的正數(shù).置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.例如，通?？扇≈眯潘嚼?，通?？扇≈眯潘?=0.95或或0.9等等. 1 121P根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，由給定的置信水平，我根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，由給定的置信水平，我,21 小的區(qū)間小的區(qū)間 ，使，使們求出一個(gè)盡可能們求出一個(gè)盡可能置信區(qū)間置信區(qū)間. 稱區(qū)間稱區(qū)間 為為 的的,21 1置信水平為置信水平為 的的 尋找置信區(qū)間的方法尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定一般是從確定誤差限誤差限入手入手. 1|P使得使得稱稱 為為 與與 之間的誤差限之間的誤

4、差限 . 我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量 ，根，根據(jù)置信水平據(jù)置信水平 ，可以找到一個(gè)正數(shù)，可以找到一個(gè)正數(shù) ， 1 只要知道只要知道 的概率分布，確定誤差限并不難的概率分布，確定誤差限并不難. 下面我們就來正式給出置信區(qū)間的定義下面我們就來正式給出置信區(qū)間的定義,并通過例子說明求置信區(qū)間的方法并通過例子說明求置信區(qū)間的方法. 由不等式由不等式 |可以解出可以解出 ：這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間.教材教材180頁已經(jīng)給出了概率分布的上側(cè)分位數(shù)頁已經(jīng)給出了概率分布的上側(cè)分位數(shù)（分位點(diǎn)）的定義，為便于應(yīng)用，這里我們（分位點(diǎn)）的定義，為便

5、于應(yīng)用，這里我們?cè)俸?jiǎn)要介紹一下再簡(jiǎn)要介紹一下.在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位數(shù)在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位數(shù). 設(shè)設(shè)0 1, 對(duì)隨機(jī)變量對(duì)隨機(jī)變量X，稱滿足，稱滿足 )(xXP的點(diǎn)的點(diǎn) 為為X的概率分布的上的概率分布的上 分位數(shù)分位數(shù). x 例如例如:645. 105. 0u96. 1025. 0u 設(shè)設(shè)0 1, 對(duì)隨機(jī)變量對(duì)隨機(jī)變量X，稱滿足，稱滿足 )(xXP 的點(diǎn)的點(diǎn) 為為X的概率分布的上的概率分布的上 分位數(shù)分位數(shù). x 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上上 分位數(shù)分位數(shù) u 例如例如:348. 9)3(2025. 0 216. 0)3(2975. 0 設(shè)設(shè)0 1, 對(duì)隨機(jī)變量對(duì)隨機(jī)變量X，

6、稱滿足，稱滿足 )(xXP 的點(diǎn)的點(diǎn) 為為X的概率分布的上的概率分布的上 分位數(shù)分位數(shù). x 分布的上分布的上 分位數(shù)分位數(shù) )(2n 2 自由度為自由度為n的的 設(shè)設(shè)0 1, 對(duì)隨機(jī)變量對(duì)隨機(jī)變量X，稱滿足，稱滿足 )(xXP 的點(diǎn)的點(diǎn) 為為X的概率分布的上的概率分布的上 分位數(shù)分位數(shù). x F分布的上分布的上 分分位數(shù)位數(shù) ),(21nnF 自由度為自由度為n1,n2的的 書末附有書末附有 分布、分布、t 分布、分布、F分布的上側(cè)分布的上側(cè)分位數(shù)表，供使用分位數(shù)表，供使用. 需要注意的事項(xiàng)在教需要注意的事項(xiàng)在教材上有說明材上有說明.2 至于如何由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查表至于如何由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

7、函數(shù)表查表求得分位數(shù)，若你對(duì)分布函數(shù)定義熟悉的求得分位數(shù)，若你對(duì)分布函數(shù)定義熟悉的話，這個(gè)問題不難解決話，這個(gè)問題不難解決.現(xiàn)在回到置信區(qū)間題目上來現(xiàn)在回到置信區(qū)間題目上來. 一、一、 置信區(qū)間定義：置信區(qū)間定義： 121P),(2111nXXX ),(2122nXXX )(21 滿足滿足設(shè)設(shè) 是是 一個(gè)待估參數(shù)，給定一個(gè)待估參數(shù)，給定, 0 若由樣本若由樣本X1,X2,Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的的置信水平置信水平（置信度、（置信度、置信概率）為置信概率）為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. ,21 121 和分別稱為置信下限和置信上限分別稱為置信下限和置信上限. 一

8、旦有了樣本，就把一旦有了樣本，就把 估計(jì)在區(qū)間估計(jì)在區(qū)間 ,21 內(nèi)內(nèi).這里有兩個(gè)要求這里有兩個(gè)要求:可見，可見，11 對(duì)參數(shù)對(duì)參數(shù) 作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限兩個(gè)只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量) 22 )(21 (X1,Xn)(X1,Xn)2. 估計(jì)的精度要盡可能的高估計(jì)的精度要盡可能的高. 如要求區(qū)間如要求區(qū)間12 長(zhǎng)度長(zhǎng)度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則它準(zhǔn)則.,21 1. 要求要求 以很大的可能被包含在區(qū)間以很大的可能被包含在區(qū)間 21 P內(nèi)，就是說，概率內(nèi)，就是說，概率 要盡可能大要盡可能大.即

9、要求估計(jì)盡量可靠即要求估計(jì)盡量可靠. 可靠度與精度是一對(duì)矛盾，可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度盡可能提高精度.N(0, 1)選選 的點(diǎn)估計(jì)為的點(diǎn)估計(jì)為X求參數(shù)求參數(shù) 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 例例1 設(shè)設(shè)X1,Xn是取自是取自 的樣本，的樣本， ,2已知 ),(2 N 1nXU 取二、置信區(qū)間的求法二、置信區(qū)間的求法明確問題明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？置信水平是多少？ 尋找未知參數(shù)的尋找未知參數(shù)的一個(gè)良好估計(jì)一個(gè)良好估計(jì).解：解： 尋找一個(gè)待估參數(shù)和尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量

10、的函數(shù)估計(jì)量的函數(shù) ，要求，要求其分布為已知其分布為已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率取值于任意區(qū)間的概率.,1 對(duì)給定的置信水平對(duì)給定的置信水平查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得,2 u對(duì)于給定的置信水平對(duì)于給定的置信水平(大概率大概率), 根據(jù)根據(jù)U的分布，的分布，確定一個(gè)區(qū)間確定一個(gè)區(qū)間, 使得使得U取值于該區(qū)間的概率為取值于該區(qū)間的概率為置信水平置信水平. 1|2unXP使使為什么為什么這樣取這樣?。?1 對(duì)給定的置信水平對(duì)給定的置信水平查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得,2 u 122unXunXP 1|2unXP使使從中解得從中解得,22 unXunX也可簡(jiǎn)記

11、為也可簡(jiǎn)記為2 unX 122unXunXP于是所求于是所求 的的 置信區(qū)間為置信區(qū)間為 從例從例1解題的過程，我們歸納出求置解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下信區(qū)間的一般步驟如下:1. 明確問題明確問題, 是求什么參數(shù)的置信區(qū)間是求什么參數(shù)的置信區(qū)間? 置信水平置信水平 是多少是多少? 12. 尋找參數(shù)尋找參數(shù) 的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)T (X1,X2,Xn) 稱稱S(T, )為為樞軸量樞軸量. 3. 尋找一個(gè)待估參數(shù)尋找一個(gè)待估參數(shù) 和估計(jì)量和估計(jì)量T的函數(shù)的函數(shù) S(T, ),且其分布為已知且其分布為已知. 4. 對(duì)于給定的置信水平對(duì)于給定的置信水平 ，根據(jù)，根據(jù)

12、S(T, )的分布，確定常數(shù)的分布，確定常數(shù)a, b，使得，使得 1 1 P(a S(T, )b)= 5. 對(duì)對(duì)“aS(T, )b”作等價(jià)變形作等價(jià)變形,得到如下得到如下形式形式: 121P,21 1 則則 就是就是 的的100( )的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 可見，確定區(qū)間估計(jì)很關(guān)鍵的是要尋找可見，確定區(qū)間估計(jì)很關(guān)鍵的是要尋找一個(gè)待估參數(shù)一個(gè)待估參數(shù) 和估計(jì)量和估計(jì)量T 的函數(shù)的函數(shù)S(T, ), 且且S(T, )的分布為已知的分布為已知, 不依賴于任何未知不依賴于任何未知參數(shù)參數(shù) (這樣我們才能確定一個(gè)大概率區(qū)間這樣我們才能確定一個(gè)大概率區(qū)間).而這與總體分布有關(guān)，所以，而這與總體分布有關(guān)，所

13、以，總體分布的總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要形式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要. 這里，我們主要討論總體分布為這里，我們主要討論總體分布為正態(tài)正態(tài)的情形的情形. 若樣本容量很大，即使總體分布若樣本容量很大，即使總體分布未知，應(yīng)用中心極限定理，可得總體的近未知，應(yīng)用中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間似分布，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計(jì)估計(jì).教材上討論了以下幾種情形：教材上討論了以下幾種情形：?jiǎn)蝹€(gè)正態(tài)總體均值單個(gè)正態(tài)總體均值 和方差和方差 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì). 2 兩個(gè)正態(tài)總體均值差兩個(gè)正態(tài)總體均值差 和方差比和方差比 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì).21

14、 2221 比例比例 p 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì).下面我們舉幾個(gè)例子，其余部分請(qǐng)自己看下面我們舉幾個(gè)例子，其余部分請(qǐng)自己看.休息片刻繼續(xù)休息片刻繼續(xù)例例2 已知某地區(qū)新生嬰兒的體重已知某地區(qū)新生嬰兒的體重X),(2 N,2未知 隨機(jī)抽查隨機(jī)抽查100個(gè)嬰兒個(gè)嬰兒得得100個(gè)體重?cái)?shù)據(jù)個(gè)體重?cái)?shù)據(jù)X1, ,X2, ,X100 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)2 求求和和（置信水平為（置信水平為1- ）. 解：這是單總體均值和方差的估計(jì)解：這是單總體均值和方差的估計(jì)未知22,),( NX已知已知 先求均值先求均值 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì). ) 1(ntnSXt 因方差未知，取因方差未知，取 對(duì)給定的置信度對(duì)給定的置信

15、度 ,確定分位數(shù)確定分位數(shù) 1),1(2nt使使1)1(|2nttP1)1(|2ntnSXP即即)1(),1(22ntnSXntnSX均值均值 的置信水平為的置信水平為 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì).即為即為 1從中解得從中解得1)1() 1(22ntnSXntnSXP) 1() 1(222nSn 取樞軸量取樞軸量 1)1() 1() 1(2222221nSnnP從中解得從中解得 1) 1() 1() 1() 1(22122222nSnnSnP2 再求方差再求方差 的置信水平為的置信水平為 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì). 1 對(duì)給定的置信度對(duì)給定的置信度 ,確定分位數(shù)確定分位數(shù) 1, ) 1(22n 使使,

16、) 1(221n于是于是 即為所求即為所求.) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn 1) 1() 1() 1() 1(22122222nSnnSnP 需要指出的是，給定樣本，給定置信水需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，平，置信區(qū)間也置信區(qū)間也不是唯一不是唯一的的. .對(duì)同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間對(duì)同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間. .N(0, 1)nXU 取樞軸量取樞軸量由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，對(duì)任意由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，對(duì)任意a、b，我們可我們可以求得以求得P( aUb) . 例如，設(shè)例如，設(shè)X1,Xn是取自是取自 的樣本，的樣本， ,2已知 ),(2 N求參數(shù)

17、求參數(shù) 的置信水平為的置信水平為 的的 1置信區(qū)間置信區(qū)間.N(0, 1)nXU 例如，由例如，由P(-1.96U1.96)=0.95)(ufu96. 196. 195. 0我們得到我們得到 均值均值 的置信水平為的置信水平為 1的的置信區(qū)間為置信區(qū)間為96. 1,96. 1nXnX 由由 P(-1.75U2.33)=0.95這個(gè)區(qū)間比前面一個(gè)要長(zhǎng)一些這個(gè)區(qū)間比前面一個(gè)要長(zhǎng)一些. .置信區(qū)間為置信區(qū)間為33. 2,75. 1nXnX 我們得到我們得到 均值均值 的置信水平為的置信水平為 1的的)(ufu33. 275. 1我們總是希望置信區(qū)間盡可能短我們總是希望置信區(qū)間盡可能短. .類似地，我

18、們可得到若干個(gè)不同的置信類似地，我們可得到若干個(gè)不同的置信區(qū)間區(qū)間. . 任意兩個(gè)數(shù)任意兩個(gè)數(shù)a和和b，只要它們的縱標(biāo)包含，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下下95%的面積，就確定一個(gè)的面積，就確定一個(gè)95%的置信的置信區(qū)間區(qū)間. .0buuu)(ufaaabb950.950.950.在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，當(dāng)在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，當(dāng)a =-b時(shí)時(shí)求得的置信區(qū)間的長(zhǎng)度為最短求得的置信區(qū)間的長(zhǎng)度為最短. .0buuu)(ufaaabb950.950.950.a =-b 即使在概率密度不對(duì)稱的情形，如即使在概率密度不對(duì)稱的情形，如 分布分布，F(xiàn)分布分布，習(xí)慣上仍取對(duì)稱的百分位點(diǎn)，習(xí)慣上仍取

19、對(duì)稱的百分位點(diǎn)來計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間來計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間. .2 我們可以得到未知參數(shù)的的任何我們可以得到未知參數(shù)的的任何置信水置信水平小于平小于1的的置信區(qū)間，并且置信區(qū)間，并且置信水平越高，置信水平越高，相應(yīng)的相應(yīng)的置信區(qū)間置信區(qū)間平均長(zhǎng)度平均長(zhǎng)度越長(zhǎng)越長(zhǎng). .)(22n)(221n)(xfx)(2nX 也就是說，要想得到的區(qū)間估計(jì)可靠也就是說，要想得到的區(qū)間估計(jì)可靠度高，區(qū)間長(zhǎng)度就長(zhǎng)，估計(jì)的精度就差度高，區(qū)間長(zhǎng)度就長(zhǎng)，估計(jì)的精度就差. .這是一對(duì)矛盾這是一對(duì)矛盾. . 實(shí)用中應(yīng)在保證足夠可靠的前提下，實(shí)用中應(yīng)在保證足夠可靠的前提下，盡量使得區(qū)間的長(zhǎng)度短一些盡量使得區(qū)間的長(zhǎng)度短一些

20、.例例3 某單位要估計(jì)平均每天職工的總醫(yī)療費(fèi)，某單位要估計(jì)平均每天職工的總醫(yī)療費(fèi)，觀察了觀察了30天天,其總金額的平均值是其總金額的平均值是170元，標(biāo)準(zhǔn)元，標(biāo)準(zhǔn)差為差為30元，試決定職工每天總醫(yī)療費(fèi)用平均值元，試決定職工每天總醫(yī)療費(fèi)用平均值的區(qū)間估計(jì)（置信水平為的區(qū)間估計(jì)（置信水平為0.95）.解：解：設(shè)每天職工的總醫(yī)療費(fèi)為設(shè)每天職工的總醫(yī)療費(fèi)為X，近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布X),(2nN 大樣本，由中心極限定理，大樣本，由中心極限定理，2 E(X)= ,D(X)= 未知，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差未知，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S近似代替近似代替. 取樞軸量取樞軸量nSXU 近似近似N(0,1)分布分布 對(duì)給定

21、的置信水平對(duì)給定的置信水平 , 確定分位數(shù)確定分位數(shù) 1,2 u 使使 1|2unSXP,22 unSXunSX得均值得均值 的置信水平為的置信水平為 的區(qū)間估計(jì)為的區(qū)間估計(jì)為 1將將 =170,S=30, =1.96,n=30代入得代入得,X的置信水平為的置信水平為0.95的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是 159.27, 180.74 2 u,22 unSXunSX得均值得均值 的置信水平為的置信水平為 的區(qū)間估計(jì)為的區(qū)間估計(jì)為 1三、單側(cè)置信區(qū)間三、單側(cè)置信區(qū)間 上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對(duì)于有些實(shí)際問題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在對(duì)于有些實(shí)際問題，人們關(guān)心的只

22、是參數(shù)在一個(gè)方向的界限一個(gè)方向的界限. 例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來說，平均例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長(zhǎng)沒什么問題，過短就有問題了壽命過長(zhǎng)沒什么問題，過短就有問題了. 這時(shí)，可將置信上限取這時(shí)，可將置信上限取為為+，而只著眼于置信下，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義： 11P),(2111nXXX 滿足滿足設(shè)設(shè) 是是 一個(gè)待估參數(shù)，給定一個(gè)待估參數(shù)，給定, 0 若由樣本若由樣本X1,X2,Xn確定的統(tǒng)計(jì)量確定的統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平為的置信水平為 的的單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間. ),1 11 稱為單側(cè)置信下限稱為單側(cè)置信下限.),(2122nXXX 又若統(tǒng)計(jì)量又若統(tǒng)計(jì)量 滿足滿足 12P2 則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置