長期聚合風(fēng)險模型

1、第七章第七章長期聚合風(fēng)險模型長期聚合風(fēng)險模型知識要點知識要點1、盈余過程的基本模型、盈余過程的基本模型 u(t)=u+ct - s(t) (t 0)2、破產(chǎn)概率的定義、破產(chǎn)概率的定義 (u)=P(T )=P(u(t) 0, t t 0) 0) 其中其中T=min(t:t T=min(t:t 00且且u(t) u(t) 0) (u,t)= P(T t t )=P(u(x) 0, x x ( (0,t) 0,t) h h (u)= P(u (t t)0, t t 0 0 ,t=h,2h,3h, ,t=h,2h,3h,) ) h h (u,t)=P(u (x x)2111212211211221(1

2、) ()(),0,u,0;(2) ()(),u ;(3) ()()( ),0,0(4)lim ()( )(5)()(),0;tnhuututtxuuuuuuuttuuuut 22，t，t，t，t，t，t，t4、泊松過程的定義及性質(zhì)泊松過程的定義： （1）全局性方法：如果N(t)的長度為h的任意時間段內(nèi)滿足： 由此定義可知：N(t+h)-N(t)服從參數(shù)為 h 的泊松分布。 （2）等額時間間隔法：如果事件發(fā)生的等待時間間隔隨機(jī)變量序列w1 , w2 , w3,獨立同分布，且分布函數(shù)是參數(shù)為的指數(shù)分布，則稱N(t)，t 0為泊松過程。21211200(6)()(),u ;(7)( , )( , )

3、( ),0;(8)lim( , )( );(9)lim( , )( , );(10)lim( )( ).hhhhhnhthhhhuuuu tu tuuu tuu tu tuu ()( )|( ),)(),0,0,1,2,.!khP N thN tkN x xthethkk 則 N(t),t0 為泊松過程。 泊松過程的性質(zhì)： （1）泊松過程是平穩(wěn)獨立增量過程； （2）在一個無限小的時間段內(nèi)要么發(fā)生一次理賠，要么不發(fā)生理賠，如果時間間隔為dt，則在dt時間段內(nèi)的發(fā)生次數(shù)為01分布，并且P（N=0）= dt， P（N=1）=1- dt； （3） P（N（t+h）-N（t）= 1|N（x),x t)=

4、 e-hh 如果dt是一個無窮小量，則有： P（N（t+dt）-N（t）= 1|N（x),x t)= dt5、復(fù)合泊松過程的定義6、在復(fù)合泊松過程下，有關(guān)破產(chǎn)概率的定理其中F（x）和f（x）是個別理賠額隨機(jī)變量X的分布和密度函數(shù)，是泊松參數(shù)。 ( )1 ( ),( )( )N tiiiiS tXXXN tN t獨立同分布，與相互獨立，為泊松過程。 1( )( )( ) ()1( )0uuuf xux dxF uCCC（） （2）若個別理賠額服從參數(shù) 的指數(shù)分布，則： （3）盈余u(t)首次落到u以下，其值落在uy到uy+dy之間的概率為： 11( )1uue11( )( )(1( )(1)10

5、1F yP uyu tuydyF y dydyCP并得出（ ）。11111(4)(1( ),1( )( ) 1LfF xLPF xtttP11LX其中 為盈余u(t)首次下降到u以下的損失，P是個別理賠額的數(shù)學(xué)期望，（ ）是個別理賠額的分布函數(shù)。 M M7、最大損失隨機(jī)變量L的矩母函數(shù)為：8、調(diào)節(jié)系數(shù)的定義 設(shè)S（t）為復(fù)合泊松過程，泊松參數(shù)為 ，個別理賠額隨機(jī)變量為x，MX(t)是其矩母函數(shù)，方程 +Ct= MX(t)的非零正解R稱為調(diào)節(jié)系數(shù)。調(diào)節(jié)系數(shù)方程必有正根，并且滿足如下的不等式：111( )1 (1)( )( ) 1 =1+1+1 (1)( )PttPtttPttLXXX M MM

6、M其中 是安全附加系數(shù)。1212(1),PPCP P C2R其中為個別理賠額的二階原點矩。ln(1)9.|) (u)調(diào)節(jié)系數(shù)與破產(chǎn)概率的關(guān)系e對于u0,有: (u)=E(ee離散模型的調(diào)節(jié)系數(shù)定義及有關(guān)定理 u(n)=u+nC-S(n) (n=1,2,3,.) S(n)=V其中V是第 年的理賠總量之和,V是獨立1221,( )1.u0: |)min( )0).,(1) ( ):2 P() R() ()jiiMtRTTn u nCEE NPPE N i-CtV-Ru-Ru-Ru(T)同分布的 此模型稱為離散模型. 對此模型調(diào)節(jié)系數(shù)有如下定義: e的正根定理定理 是調(diào)節(jié)系數(shù)當(dāng)時e(u)=eE(e其

7、中表示破產(chǎn)時刻當(dāng)V為復(fù)合分布時 且V 時 21()P Var N重點及難點解析 本章的重點是對盈余過程的分析、破產(chǎn)概率的定義以及有關(guān)破產(chǎn)概率的性質(zhì)，與盈余過程有關(guān)的理賠過程也是本章的重點，泊松過程的幾個定義的等價性是一個難點，與復(fù)合泊松分布平行的復(fù)合泊松過程是本章的又一個重點；在復(fù)合泊松過程下，破產(chǎn)概率的幾個有關(guān)定理非常重要，特別是個別理賠額為指數(shù)分布時，破產(chǎn)概率有簡潔的表達(dá)，最大損失過程及最大損失的分布是本章的又一個難點。 調(diào)節(jié)系數(shù)的定義及有關(guān)定理是本章的重點。 下面以例題的形式展示出重點與難點的表現(xiàn)形式。 例1 一個風(fēng)險組合具有如下的特點： 索賠一定會在時間t=0.5,1.5,2.5,發(fā)生

8、； 索賠額服從0，2區(qū)間上的均勻分布； 安全附加系數(shù)是0.2； 保費的交付僅在每一段時期的開始； 初始盈余是1。求在時刻2之前的破產(chǎn)概率。 A.0.24 B.0.024 C.0.045 D.045 E.0.072111121212 u(0.5)=1+(1+ )E(S)-S(0.5) =1+(1.2)P(0.5) =2.2-X(0,2)(0.5)00.5(1.5)(2)2.2(1+ )E(S)-X =3.4-X2X3.SXUuuuXXP X解恒成立，即在時刻之前不會破產(chǎn)。在時刻 之前破產(chǎn)的概率為12124X0 2 F(Z)=P(Z)=X0, z0z1, 0z2004 =z1, 2z40041,

9、zXzP Xzzxdy dxzxdy dx而與是獨立同分布的，分布是（ ， ）。220, z0 , 0z2 8(4)1, 244zz 此題考察了盈余過程方面的知識，運用 (2)= (1)+(1- (1)P（在時間（1，2上破產(chǎn)|在0，1上沒有破產(chǎn)公式可以解決本題提出的問題，這個公式與壽險精算中的公式2qx=1qx+1pxqx+1 是一致的，具有一致的內(nèi)涵，當(dāng)然從概率論的角度出發(fā)，用事件之間的關(guān)系也可演繹出上述公式。另外，有興趣的讀者也可以在洗題的基礎(chǔ)上計算(3)的概率。 例2 一個保險人具有如下特性的盈余過程： 索賠額分布是P(0)=P(1)=0.5; 調(diào)節(jié)系數(shù)R=ln4=1.3863； 索賠

10、過程是復(fù)合泊松過程； 保費是連續(xù)收取。 求 (0). A.0.47 B.0.46 C.0.48 D.0.49 E.0.50 22123.4(4)0.6X3.4|0.04588 zP XC選 。 例3 一個保險標(biāo)的出險的概率是0.5，索賠發(fā)生時索賠額為10個單位，發(fā)生的時間W服從帕累托分布，參數(shù)為x0=1和 = 3，年保費連續(xù)繳納，速率是7，求破產(chǎn)的概率。 A.0.3 B.0.33 C.0.34 D.0.5 E.0.25110rln4 +(1+ )( ) (1)111 P01222111 ( ) (1+e )222 Rln41.386311151+(1+ )1.38631)14)2222 (1+

11、 )=2.164 XrXPrMrMreee 解又又滿足方程（1）。 （11 (0)=0.46(1+ )2.164 (1+ )B選 。1 此題平淡無奇，但間接地考察了（0）=公式。此公式說明了保險人在初始資產(chǎn)為0時的破產(chǎn)概率。 例4 一個盈余過程是復(fù)合泊松過程，安全附加系數(shù)是0.1，R是調(diào)整系數(shù)，下列選項哪一項是正確的？ 如果個別理賠額的分布是參數(shù)為2的指數(shù)分布，則有R=2/11; 如果個別理賠額的分布是N(10,4),則有R 1/52； 如果個別理賠額都是2，則R是1+(1.1)r=e2r的非零正解。 A.僅正確 B.僅正確 C.僅正確 D.、正確 E.以上都不對13343 3( ) (x1)

12、 1037171017 110aaf xxxdxx 解 所求概率只有在出險的情況下才會發(fā)生，所以所求的概率 為： P(出險發(fā)生) P(7W10) 帕累托分布的密度函數(shù)為：10P(7W10)=P(W)7 =1所求概率為：20.33 B選 。122111 (1)2 ( )122 1 (1)( )21 1+1.1222 R=111 (1)( )1.2 XtXXttMtttPMtttttPPRMRPRRPR 解個別理賠額為參數(shù)是 的指數(shù)分布。即：解得，所以（1）正確。 (2)2212222222 0.1 101 4 1052 (2)1+1.1 2 1+1.1r (3) DrrPRPRPree也正確。

13、(3)個別理賠額為常數(shù)2時，調(diào)節(jié)系數(shù)方程為： 與(3)中的不一致。錯誤。選 。 例5 一個盈余過程有初始盈余1。索賠發(fā)生在1，2，3，保費以一個常數(shù)連續(xù)收取，個體索賠額的分布如下： 求最小的安全附加系數(shù) ，使P(u(t) 00.95,對于t=1,2,3. A.0.8 B.1.3 C.1.2 D.1.0 E.1.5 解 個別索賠額的期望值為： E（X）=1*0.25+2*0.25=0.75 所以 C=(1+)P1= (1+)0.75依題意有如下的表格： x0 1 2P(x)0.5 0.25 0.25tu(t)=u+ct-S(t)P(u(t) 01231+C-S(1)1+2C-S(2)1+3C-S

14、(3)P(S(1) 1+C)P(S(2) 1+2C)P(S(3) 1+3C)依題意有:S(1)=X1, S(2)=X1 + X2 , S(3)=X1 + X2 +X3(Xi表示在時刻i上發(fā)生索賠的個別理賠額隨機(jī)變量，且X1 ， X2 ，X3 相互獨立）。因為 P(S(1) 1+C) 0.95由上表可知： 1+C 2 C 1XP(X1) P(X1+X2)P(X1+X2+X3) F(X1) F(X1+X2)F(X1+X2+X3 )01234560.500.250.250.25000.25000.31250.12500.06250.12500.18750.28130.20310.11250.0187

15、0.01560.500.751.000.25000.50000.81250.93751.00000.12500.31250.59380.79690.90940.98811.0000 同樣： P(S(2) 1+2C) 0.95 可知：1+2C 4 C 1.5 P(S(3) 1+3C) 0.95 可知：1+3C 5 C 4/3 所以(1+)0.75=C max(1,1.5,4/3)=1.5 所以=1 所以選D。 看到此題的答案，讀者也許感覺思路并不復(fù)雜；可是在看到答案之前，聯(lián)系到u(t)=u+Ct-S(t)這一公式，就讓人頗感困惑，因為此公式包含了兩個隨機(jī)過程。去掉此式，剩下的問題只是故意設(shè)置三個

16、彎而已，譬如卷積的運算以及在某條件下的最小值計算，解決此類問題尚屬簡單，關(guān)鍵問題是盈余過程，就此問題而言，由u(t)過程可以過度到研究S(t)過程，而S(t)一般是一個離散過程，在每一個保險期內(nèi)的理賠總額隨機(jī)變量一般是一個復(fù)合分布，這樣，復(fù)雜問題就變成簡單問題了。 由于再保險或免賠額應(yīng)用的廣泛性，因此有關(guān)再保險方面的計算，也成了本章的重點內(nèi)容。 例6 保險人承保的某風(fēng)險的年索賠總額服從泊松參數(shù)為10的復(fù)合泊松分布，個體索賠總額服從（0，2000）上的均勻分布，保險人為該風(fēng)險安排了自留額為1600的超額賠付再保險分保，計算保險人和再保險人的賠付總額隨機(jī)變量的方差。 A.2389 333.4 85

17、32.8 B.9608 532.8 C.1194 666.7 21332 D.194 666.7 960 E.8532.8 1194 666.7 解 設(shè)Yi=min(Xi,1600)為第i次索賠發(fā)生時損失額為Xi時原保險人的賠付額，Ri=max(0, Xi -1600)為第i次索賠發(fā)生時損失額為Xi時再保險人的賠付額。222211( )(min(,1600)1600200011 =16000160020002000 =960()(min(,1600) )1600200011 =16000160020002000 =1194 666.7Var(S )iiiiE YEXxdxdxE YEXxdxd

18、xP同樣：221222()1194 666.7 10=1194 6667 ()(max(0,1600) 20001 =(1600)16002000 =10 666.1iiE YE REXxdx 注意：此題是超額賠付再保險，只有損失額超過1600時，再保險人才發(fā)生賠付，所以泊松參數(shù)發(fā)生了變化，減少為10*P(Xi1600),即2。對于原保險人泊松參數(shù)并沒有發(fā)生變化，讀者想一想這是為什么？如果把此題改為自留額為80/100的比例再保險，此題又該如何求解？ 例7 一個保險人承保了具有如下特性的風(fēng)險： 索賠額為2000的概率是0.4，為3000的概率是0.6； 索賠次數(shù)的分布列如下：保險人購買了自留額

19、為5000的停止損失再保險，求此時再保險人的保險費。 A.1172.5 B.200 C.5200 D.1170 E.1168.5R2 Var(S )10 666.1(1600) 1020001 =10 666.1101600 2000 =10 666.1 2=21332CRPP Xdx選 。N0 1 2 3 4P1/16 1/4 3/8 1/4 1/165000500049990049990 E(I( )(5000) ( ) =(5000) ( )(5000) ( ) =E(S)-5000+(5000) ( ) E(S)=E(N)E(X) xxxxSxf xxf xxf xxf x解而499901311 = 1234(200 0.43000 0.6)48416 =2 2600=5200 (5000) ( )4999xxf xx S要計算，還需計算時的概率值： 由已知條件可知4