初高中數(shù)學(xué)銜接知識點+配套練習(xí)

1、 第一講 數(shù)與式的運算在初中，我們已學(xué)習(xí)了實數(shù)，知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù)，我們把實數(shù)和代數(shù)式簡稱為數(shù)與式代數(shù)式中有整式（多項式、單項式）、分式、根式它們具有實數(shù)的屬性，可以進(jìn)行運算在多項式的乘法運算中，我們學(xué)習(xí)了乘法公式（平方差公式與完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多項式的運算簡便由于在高中學(xué)習(xí)中還會遇到更復(fù)雜的多項式乘法運算，因此本節(jié)中將拓展乘法公式的內(nèi)容，補(bǔ)充三個數(shù)和的完全平方公式、立方和、立方差公式在根式的運算中，我們已學(xué)過被開方數(shù)是實數(shù)的根式運算，而在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會接觸到被開方數(shù)是字母的情形，但在初中卻沒有涉及，因此本節(jié)中要補(bǔ)充基于同樣的原因，還要補(bǔ)充“繁分

2、式”等有關(guān)內(nèi)容一、乘法公式【公式1】證明： 等式成立【例1】計算：解：原式=說明：多項式乘法的結(jié)果一般是按某個字母的降冪或升冪排列【公式2】(立方和公式)證明: 說明:請同學(xué)用文字語言表述公式2.【例2】計算：解：原式=我們得到：【公式3】(立方差公式)請同學(xué)觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系，公式1、2、3均稱為乘法公式【例3】計算：（1）（2）（3）（4）解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=說明：（1）在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運算時，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公式的結(jié)構(gòu) （2）為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、20的平方數(shù)和1、2、3、4、10的立方數(shù)，是非常

3、有好處的【例4】已知，求的值解： 原式=說明：本題若先從方程中解出的值后，再代入代數(shù)式求值，則計算較煩瑣本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計算，簡化了計算請注意整體代換法本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉【例5】已知，求的值解：原式= ，把代入得原式=說明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用引申：同學(xué)可以探求并證明： 二、根式式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下：(1) (2) (3) (4) 【例6】化簡下列各式：(1) (2) 解：(1) 原式=(2) 原式=說明：請注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對值符號但字母的范圍未知時，要對字母的取值分類討論【例7】計算(

4、沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))：(1) (2) (3) 解：(1) 原式=(2) 原式=(3) 原式=說明：(1)二次根式的化簡結(jié)果應(yīng)滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式(2)二次根式的化簡常見類型有下列兩種：被開方數(shù)是整數(shù)或整式化簡時，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開得盡方的因數(shù)或因式開出來；分母中有根式(如)或被開方數(shù)有分母(如)這時可將其化為形式(如可化為) ，轉(zhuǎn)化為 “分母中有根式”的情況化簡時，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個根式進(jìn)行化簡(如化為，其中與叫做互為有理化因式)【例8】計算：(1) (2) 解：(1) 原式

5、=(2) 原式= 說明：有理數(shù)的運算法則都適用于加法、乘法的運算律以及多項式的乘法公式、分式二次根式的運算【例9】設(shè)，求的值解：原式=說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當(dāng)直接代入運算較復(fù)雜時，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量三、分式當(dāng)分式的分子、分母中至少有一個是分式時，就叫做繁分式，繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1) 利用除法法則；(2) 利用分式的基本性質(zhì)【例10】化簡解法一：原式=解法二：原式=說明：解法一的運算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉繁分式，解法二則是利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡一般根據(jù)題目特點綜合使用兩種

6、方法【例11】化簡解：原式=說明：(1) 分式的乘除運算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多項式時，應(yīng)先因式分解再進(jìn)行約分化簡；(2) 分式的計算結(jié)果應(yīng)是最簡分式或整式 第二講 因式分解因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形在分式運算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用是一種重要的基本技能因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等一、公式法(立方和、立方差公式)在第一講里，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的立方和、立方差公式： (立方和公式) (立方差公式)由于因式

7、分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，就得到：這就是說，兩個數(shù)的立方和(差)，等于這兩個數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和)運用這兩個公式，可以把形式是立方和或立方差的多項式進(jìn)行因式分解【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多項式：(1) (2) 分析： (1)中，(2)中解：(1) (2) 說明：(1) 在運用立方和(差)公式分解因式時，經(jīng)常要逆用冪的運算法則，如，這里逆用了法則；(2) 在運用立方和(差)公式分解因式時，一定要看準(zhǔn)因式中各項的符號【例2】分解因式：(1) (2) 分析：(1) 中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2) 中提取公因式后，括號內(nèi)出現(xiàn)，

8、可看著是或解：(1) (2) 二、分組分解法從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式而對于四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取因此，可以先將多項式分組處理這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組1分組后能提取公因式【例3】把分解因式分析：把多項式的四項按前兩項與后兩項分成兩組，并使兩組的項按的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式與，這時另一個因式正好都是，這樣可以繼續(xù)提取公因式解：說明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法本題也可以將一、四項為一組，二、三項為一組，同學(xué)不妨一試【例

9、4】把分解因式分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式解：說明：由例3、例4可以看出，分組時運用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運用了分配律由此可以看出運算律在因式分解中所起的作用2分組后能直接運用公式【例5】把分解因式分析：把第一、二項為一組，這兩項雖然沒有公因式，但可以運用平方差公式分解因式，其中一個因式是；把第三、四項作為另一組，在提出公因式后，另一個因式也是.解：【例6】把分解因式分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項作為一組，它是一個完全平方式，再和第四項形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式解：說明：從例5、

10、例6可以看出：如果一個多項式的項分組后，各組都能直接運用公式或提取公因式進(jìn)行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運用公式或有公因式，那么這個多項式就可以分組分解法來分解因式三、十字相乘法1型的因式分解這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點是：(1) 二次項系數(shù)是1；(2) 常數(shù)項是兩個數(shù)之積；(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和因此，運用這個公式，可以把某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式【例7】把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 說明：此例可以看出，常數(shù)項為正數(shù)時，應(yīng)分解為兩個同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)的符號相同【例8】把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(

11、1) (2) 說明：此例可以看出，常數(shù)項為負(fù)數(shù)時，應(yīng)分解為兩個異號的因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次項系數(shù)的符號相同【例9】把下列各式因式分解：(1) (2) 分析：(1) 把看成的二次三項式，這時常數(shù)項是，一次項系數(shù)是，把分解成與的積，而，正好是一次項系數(shù) (2) 由換元思想，只要把整體看作一個字母，可不必寫出，只當(dāng)作分解二次三項式解：(1) (2) 2一般二次三項式型的因式分解大家知道，反過來，就得到：我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從

12、而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解【例10】把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要當(dāng)二次項系數(shù)不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號四、其它因式分解的方法1配方法【例11】分解因式解：說明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項式化為兩個平方式，然后用平方差公

13、式分解當(dāng)然，本題還有其它方法，請大家試驗2拆、添項法【例12】分解因式分析：此多項式顯然不能直接提取公因式或運用公式，分組也不易進(jìn)行細(xì)查式中無一次項，如果它能分解成幾個因式的積，那么進(jìn)行乘法運算時，必是把一次項系數(shù)合并為0了，可考慮通過添項或拆項解決解： 說明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項式分成兩組，滿足系數(shù)對應(yīng)成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件本題還可以將拆成，將多項式分成兩組和一般地，把一個多項式因式分解，可以按照下列步驟進(jìn)行：(1) 如果多項式各項有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各項沒有公因式，那么可以嘗試運用公式來分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以

14、嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來分解；(4) 分解因式，必須進(jìn)行到每一個多項式因式都不能再分解為止第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用本節(jié)將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述一、一元二次方程的根的判別式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1) 當(dāng)時，右端是正數(shù)因此，方程有兩個不相等的實數(shù)根：(2) 當(dāng)時，右端是零因此，方程有兩個相等的實數(shù)根：(3) 當(dāng)時，右端是負(fù)數(shù)因此，方程沒有實數(shù)根由于可以用的取值情況來判定一

15、元二次方程的根的情況因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：【例1】不解方程，判斷下列方程的實數(shù)根的個數(shù)：(1) (2) (3) 解：(1) ， 原方程有兩個不相等的實數(shù)根(2) 原方程可化為： ， 原方程有兩個相等的實數(shù)根(3) 原方程可化為： ， 原方程沒有實數(shù)根說明：在求判別式時，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式【例2】已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍：(1) 方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2) 方程有兩個相等的實數(shù)根(3)方程有實數(shù)根；(4) 方程無實數(shù)根解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【例3】已知實數(shù)、滿足，試求、的值解：可以把所給方程看作為

16、關(guān)于的方程，整理得：由于是實數(shù)，所以上述方程有實數(shù)根，因此：，代入原方程得：綜上知：二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個根為：所以：，定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么：說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”上述定理成立的前提是【例4】若是方程的兩個根，試求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會出現(xiàn)復(fù)雜的計算這里，可以利用韋達(dá)定理來解答解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1) (2) (3) (4) 說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式

17、變形：，等等韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想【例5】已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值(1) 方程兩實根的積為5；(2) 方程的兩實根滿足分析：(1) 由韋達(dá)定理即可求之；(2) 有兩種可能，一是，二是，所以要分類討論解：(1) 方程兩實根的積為5 所以，當(dāng)時，方程兩實根的積為5(2) 由得知：當(dāng)時，所以方程有兩相等實數(shù)根，故；當(dāng)時，由于 ，故不合題意，舍去綜上可得，時，方程的兩實根滿足說明：根據(jù)一元二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足【例6】已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根(1) 是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請您說明理由

18、(2) 求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值解：(1) 假設(shè)存在實數(shù)，使成立 一元二次方程的兩個實數(shù)根 ， 又是一元二次方程的兩個實數(shù)根 ，但 不存在實數(shù)，使成立 (2) 要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值為說明：(1) 存在性問題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在 (2) 本題綜合性較強(qiáng)，要學(xué)會對為整數(shù)的分析方法第四講 二次函數(shù)的最值問題二次函數(shù)是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量取任意實數(shù)時的最值情況(當(dāng)時，函數(shù)在處取得最小值，無最大值；當(dāng)時，函數(shù)在處取得最大值，無最小值本節(jié)我們將在這個基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)自變量在某個范圍內(nèi)取值時，函數(shù)的最值問題同時還將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問題在實際生活中的簡單應(yīng)用【例1】當(dāng)時，求函數(shù)的最大值和最小值分析：作出函數(shù)及其對稱軸在所給范圍的草圖，（注意：是所給范圍的。在下面的圖中，所給范圍的有效圖象是用實線標(biāo)示的，虛線部分是無效部分）觀察有效圖象的最高點和最低點，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時相應(yīng)自變量的值 解：作出函數(shù)的圖象當(dāng)時，當(dāng)時，【例