2022年《高等數學一》期末復習題及答案

1、精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -高等數學（一）期末復習題一、挑選題1、極限limx2xx x的結果是（C）（ A） 0（ B）（ C）12（ D）不存在2、方程x33 x10 在區(qū)間 0,1 內（B）（ A）無實根（ B）有唯獨實根（ C）有兩個實根（ D）有三個實根3 、 f x 是連續(xù)函數 ,就f x dx 是f x 的（C）（ A）一個原函數；B一個導函數；C 全體原函數；D全體導函數；4、由曲線ysin x 0x 和直線 y0 所圍的面積是（C）（ A） 1 / 2B1C2D5、微分方程yx 2 滿意初始條件y |x 02的特解是D（ A） x

2、313（ B）x 3（ C） x32（ D）1 x3236、以下變量中，是無窮小量的為（A）Alnx x1Bln 1 x x0 Ccosx x0Dx2 x2x247、極限lim x sin 11 sin x的結果是（C）x0xx（ A） 0（ B） 1（C）1（ D）不存在8、函數y exarctan x 在區(qū)間1,1 上 （ A）（ A） 單調增加（ B）單調減?。?C）無最大值（ D）無最小值9、不定積分xx 21 dx =（D）2(A) arctan xCB2ln x1CC1 arctan xCD21 ln x 221C10、由曲線ye x 0x 1 和直線 y0 所圍的面積是（ A）（

3、 A） e1B1C2De精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -dy11、微分方程dxxy 的通解為（B）1 x22（ A）y Ce2 x（ B）yCe2（C）yeCx（ D）yCe x12、 以下函數中哪一個是微分方程y3x20 的解 D（A） yx2（ B）yx3（ C） y3x 2（ D） yx 313、 函數 ysin xcosx1是（C）(A) 奇函數；B偶函數；C 非奇非偶函數；D 既是奇函數又是偶函數.14、當 x0 時，以下

4、是無窮小量的是（B）（ A）ex 1(B)ln x1(C)sinx1(D) x115、當 x時，以下函數中有極限的是（A）（ A）x1x21Bcos xC1exDarctan x16、方程 x3px10 p0 的實根個數是（B）（ A）零個（ B） 一個（C）二個（ D）三個17、1 dx21x（B）（A）11x2b（ B）1C1x2（ C）arctan x（D）arctan xc18、定積分f xdx 是（C）a（ A）一個函數族（ B）f x 的的一個原函數（C）一個常數（D）一個非負常數19、 函數 ylnxx21是（A）（ A）奇函數（B）偶函數（C） 非奇非偶函數（ D）既是奇函數又

5、是偶函數20、設函數fx在區(qū)間0 ,1 上連續(xù)， 在開區(qū)間0,1 內可導， 且 fx0 ，就 B (A) f00(B) f1f0(C)f10(D) f1f021、設曲線y21e x 2， 就以下選項成立的是（C）(A) 沒有漸近線B僅有鉛直漸近線C既有水平漸近線又有鉛直漸近線D僅有水平漸近線22、cos xsinx dxD精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -（ A）sin xcos xC（ B）sin xcos xC（ C）sin xn

6、cos xC（ D）sin x1 ncos xC23、數列 的極限為（A）n（ A） 1B1C0D不存在24、以下命題中正確選項（B）（A）有界量和無窮大量的乘積仍為無窮大量（B）有界量和無窮小量的乘積仍為無窮小量（C）兩無窮大量的和仍為無窮大量（D）兩無窮大量的差為零25、如f xg x ，就以下式子肯定成立的有（C）(A) f xg x(B)df xdg x(C) df xdg x(D)f xg x126、以下曲線有斜漸近線的是C(A) yxsinxByx2sin xC yxsin 1xDyx2sin 1x二、填空題1、lim1cos x1x0x222、如f xe2 x2 ，就f 0213

7、、 x3 cosx5x11dx24、et dxet xC5、微分方程yy0 滿意初始條件y |2的特解為y2exx 026、lim x40x2x3x2x237、 極限lim2x2x44精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -8、設 yx sin x11, 就 f129、 x cosx11dx210、31x 2 dx3arctanxC11、微分方程ydyxdx 的通解為y2x2C12、1 5x4dx2113、xlimxsin2 x1x14、設

8、 ycosx2 ，就 dy2 xsinx2dx15、 設yx cosx3, 就 f-116、不定積分17、微分方程e x de xye 2 x 的通解為1 e2 xC 2y1 e 2 xC2yy2 e2 xdyy2e2 x1 dye2 xdxdxy21 dye2 x dx11 e2xCy2y2x0, y2代入上式可得到 C0所求的特解為11 e2 x或者y2e 2 x18、微分方程ln yy2x 的通解是yexC19、lim 12 3x6exx20、 設函數yxx , 就 yx x lnx121、lim 12nn 2n 2n 的值是1n 22精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - -

9、- -第 4 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -22、limxx x2 x31x21x3223、 設函數yxx , 就 dyxx lnx1) dx24、lim2x 23x11x25、如 f0 x xe2 x4sin，就64f 0226、a 251sinx dx2 a為任意實數 .aex27、設 ylnex1 ，就微分 dy xedx .128、2 cos x23x1x2d x2三、解答題1、（此題滿分9 分）求函數yx162x的定義域；解：由題意可得，x102x0x1解得x2所以函數的定義域為1 ，

10、 22、（此題滿分10 分）設f x x x1 x2) x2021 ， 求 f0 ；解： f0limf x f 0lim xx1 x0x02) x20212021.x03、（ 此題滿分 10 分）設曲線方程為y程；1 x331 x226 x1, 求曲線在點 0, 1 處的切線方解：方程兩端對x 求導，得yx2x6將 x0 代入上式，得y0,16從而可得：切線方程為y16 x0即 y6 x1精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -4、（此題滿

11、分10 分）求由直線yx 及拋物線yx 2 所圍成的平面區(qū)域的面積；y1=xyx2 y=0解：作平面區(qū)域，如圖示1 x解方程組yxyx 2得交點坐標： （ 0， 0），（ 1， 1）12所求陰影部分的面積為：S xx 2 dx =x31x= 15、（ 此題滿分 10 分） 爭論函數0f x 2x 2x3061在x1 處的連續(xù)性；3 xx1解：limf xlim x23f 1x1x1limf x lim 3 x3f 1x1x1 f x 在 x1 處是連續(xù)的dy2x36、（ 此題滿分 10 分）求微分方程dxy |x 13的特解；解：將原方程化為dy2 x3) dx兩邊求不定積分，得dy2 x3d

12、x ，于是y x23xC將 y |x 13代入上式，有313C ，所以 C1 ，故原方程的特解為yx 23x1 ；7、（此題滿分9 分）求函數y2x4cos5x的定義域；解：由題意可得，x405x0x4解得x5精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 6 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -所以函數的定義域為4 ， 58、（此題滿分10 分）設f x x x1 x2 xnn2 ，求f0 ；解： f0limf x f 0x0x0lim x1 x2 xn n .x09、（ 此題滿分 1

13、0 分）設平面曲線方程為x22 xy3y23 ，求曲線在點（2， 1）處的切線方程；解：方程兩端對x 求導，得 2 x2 yxy 6 yy0將點（ 2， 1）代入上式，得y 2,11從而可得：切線方程為y1 x2即 xy3010、（此題滿分10 分）求由曲線yex 及直線 y1 和 x1 所圍成的平面圖形的面積（如下圖）解：所求陰影部分的面積為S ex e2ex1010x1) dx11、（ 此題滿分10 分） 爭論函數f x xx0在xx0 處的連續(xù)性；e1x0解：limf xlim ex10f 0x0x0limf x lim x0f 0x0x0 f x 在 x0處是連續(xù)的；精選名師 優(yōu)秀名師

14、 - - - - - - - - - -第 7 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -12、（ 此題滿分10 分） 求方程 1y2 dx1x2 dy0 的通解；解： 由方程 1y2 dx1x 2 dy0 ，得dydx1y21x2dydx22兩邊積分：1y1x得 arctan yarctan xC所以原方程的通解為：arctanyarctan xC 或 ytanarctan xC 13、（此題滿分10 分）證明方程x 57 x4 在區(qū)間1,2 內至少有一個實根；解：令F xx57x4 ，F x 在 1,2

15、上連續(xù)F 1100 ，F 2140由 零 點 定 理 可 得 ， 在 區(qū) 間1,2內 至 少 有 一 個， 使 得 函 數F 5740 ，即方程 x 57 x40 在區(qū)間1,2 內至少有一個實根；14、（此題滿分10 分）設f xx x1 x2) x2021 ，求f0 ；解： f0limf x f 0lim x1 x2 x20212021.x0x0x015、（ 此題滿分10 分）求曲線 e yxye 在點（ 0，1）處的法線方程；解：方程兩端對x 求導，得e y yyxy0將點（ 0， 1）代入上式，得1y0 ,1從而可得：法線方程為yeex116、（此題滿分10 分）求曲線y解：作平面圖形，

16、如圖示cos x 與直線 y2, x及 y 軸所圍成平面圖形的面積；2精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 8 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -y=22xS2 2cos xdx20sin x 20x2y=cosxx022sin201217、（ 此題滿分10 分） 爭論函數f xcosxx0在x0處的連續(xù)性；x1x0解：limf xlim cosx1f 0x0x0limf x lim x11f 0x0x0 f x 在 x0 處是連續(xù)的；dy1xy2xy218、（ 此題滿分10

17、 分）求微分方程dxy |x 01的特解；解：將原方程化為dydx1x1y 2 或dy 1y 21xdx兩邊求不定積分，得arctan yx1 x 2C2由 y |x 01 得到 C4故原方程的特解為arctan yx1 x 22或 ytan x41 x2.2419、（此題滿分20 分）曲線a2 yx2 0a1 將邊長為1 的正方形分成A 、B 兩部分如下列圖，其中 A繞x軸旋轉一周得到一旋轉體,記其體積為VA， B 繞y軸旋轉一周得到另一旋轉體,記其體積為VB .問當a取何值時 , VAVB的值最小 .解：A 由以 0,a, 為底、高為x的曲邊梯形和22a以 a，1為底、1為高的矩形兩部分構

18、成 .ya 2 yx 22由切片法可得：12aVAy dx011aBaa 40x 4dx1a14 a，5Axoa 1精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 9 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -01BVx2 dya2y d y101 a 2，2令 F aVAVB414 a5令1 a 2， a24 0, 1由 F aa50， 駐點為 : a5F a 駐點唯獨， 又依據問題的實際意義F a 的最小值存在 ,a4 就是 5F a 的最小值點 .或者 , 又 F a4a50,a4 為微

19、小值點，亦最小值5.點，可見：當a4時， VA5VB 達到最小 .20、（此題滿分20 分） 假定足球門的寬度為4 米，在距離右門柱6 米處一球員沿垂直于底 線的方向帶球前進，問：該球員應在離底線多少米處射門才能獲得最大的射門張角？如球員以 5.2 米每秒的速度沿垂直于底線的方向向球門前進，求在距離底線2 米處， 射門張角的變化率；解：由題意可得張角與球員距底線的距離x 滿意arctan 10arctan 6xx106dx2x26102404 x2dx10036x236x2100x236x21001x21x2d令0 ，得到駐點xdx60 不合題意，舍去 及x60 . 由實際意義可知, 所求最值

20、存在 , 駐點只一個, 故所求結果就是最好的挑選. 即該球員應在離底線60 米處射門才能獲得最大的射門張角；如球員以5.2 米每秒的速度跑向球門，就 dxdt5.2 .在距離球門兩米處射門張角的變化率為：dddx240165.20.28 弧度 / 秒；dt x 2dx x 2dt x 2436410021、（此題滿分10 分）設f xx ln1tdt x0) ， 求f x 1f 1tx精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 10 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -解法 1 設

21、F xf x f 1 xx ln11ttdt1 ln1x1ttdt ， 就 F10F xln1x xln11 x11x2xxF xx ln x dx1 ln2 x1 ln2 x1x11x ln1t2令t = 1ux12ln11 ux ln1ux ln u解法 2f dtdududux1t1u1u1uf x 1x ln1tx ln1tx ln tf dtdtdtx1t1t1tx ln tdln t 1 ln 2 t x1 ln2 x.121222、證明題（此題滿分10 分）設函數f x 在 0,3上連續(xù) , 在 0,3內可導 ,f 0f 1f 23 ，f 31 ；試證必存在一點0,3 ，使得f0

22、.證明 :f x在 0,3上連續(xù)，故在0,2上連續(xù)，且在0,2上有最大值 M 和最小值 m ，故 mf0,f 1,f 2Mmf 0f 13f 2M由介值定理得，至少存在一點0,2，使得f f 0f31 f 2 1f f 31，且f x 在,3 上連續(xù) , 在,3 內可導，由羅爾定理可知，必存在,30,3 ，使得f023、（此題滿分20分） 一火箭發(fā)射升空后沿豎直方向運動，在距離發(fā)射臺4000m處裝有攝像機，攝像機對準火箭；用h表示高度，假設在時刻t0，火箭高度 h =3000m，運動速度等于300m/s, （ 1） 用 L 表示火箭與攝像機的距離，求在t0 時刻 L 的增加速度 .【解】（ 1

23、）設時刻 t 高度為ht ，火箭與攝像機的距離為L t ，就L t h2 t 40002精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 11 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -兩邊關于 t 求導得dLhdhdth240002dt代入 h =3000m， dh =300m/s，得dL180 m/sdtdt（2） 用表示攝像機跟蹤火箭的仰角（弧度），求在t0 時刻的增加速度 .（ 2）設時刻 t 攝像機跟蹤火箭的仰角（弧度）為t，就有 tanh 4000兩邊關于 t 求導得2dsecdt1

24、dh 4000 dt當 h =3000m時， sec5 dhd，=300m/s ，故0.048rad / s 或 d6 rad / s 4dtdtdt125精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 12 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -高等數學（一）期末復習題答案一、挑選題1、C解答：第一步，先分子有理化；其次步，分子利用平方差公式，第三步，分子分母同時除以 x；第四步化簡即可；22xxxxxx xxx x222limxxxlimlimlimxx2xxxxxxxxxxx22li

25、m1lim11xx2xxx211112x22 、B解答：設f xx 33x1，就f 01, f11 ，有零點定理得f x 在區(qū)間 0,1 內存在實數根，又因f x3 x30 ， 可知函數具有單調性，所以有唯獨的實根；3 、 C此題考察不定積分的概念，不定積分是全部原函數的全體；4 、 C解答：利用定積分的幾何意義，所求面積為sin xdx20135、D解答：直接積分法yxC代入已知點坐標可得C2，36 、 A 解答：由于lim ln xln10 ， 所以此時是無窮小量；7、 C解答：x1lim x sin 11 sinx011x0xx8 、 A 解答：由于yex11x20，所以單調增加；9 、

26、 D 解答：x112112dxdxd x112ln x1Cx 212x 212x 2121110、 A 解答：利用定積分的幾何意義，所求面積為ex dxexe10011、 B 解答：先分別變量，兩端再積分dyxy1 dyxdx1 dyxdxln y1 x 2Cdxyy21所求通解為1 x 233yCe212、 D解答：直接積分法yxC ， 當 C0 時有 yx精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 13 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -13、 C解答：ysin xcosx1

27、是奇函數加上偶函數，所以是非奇非偶函數；14、 B 解答：lim ln x1ln10 ，所以此時是無窮小量；15、 A解答：x0limx1limx1lim10其它三項極限都不存在；xx21x x1 x1xx1，16、 B解答： 設f xx3px1， 就f 01, f1p0 ， 有零點定理得f x 在區(qū)間1,0 內存在實數根 ， 又因f x 3xp0 ，可知函數具有單調性，所以有唯獨的實根；217、 B 解答：求導與求積分是互逆的運算，先求導再求積分，是全部原函數所以選B18、C 解答：考察定積分的概念，定積分運算完以后是一個準確的常數，可能是正數，也可能是 0，仍可能是負數；19、 A解答：由

28、函數的奇函數和偶函數的定義去判定即可，設yf x lnxx21，就xx 212x 21xx21x 2f xlnxx1lnlnx 21xx 21xln1x 21xlnxx21f x20、 B解答：由于fx0 所以 f1f021、 C解答：lim2= 2y2是水平漸近線；2lim=x0x是鉛直漸近線；1e x 2x0 1e x 222、 D考查定積分的性質與基本的積分表cosxsin x dxsin xcos xCn1n23、 A解答：分子分母同時除以n 可以得到lim1nn24、B 解答：考查無窮小量的重要性質之一，有界量和無窮小量的乘積仍為無窮小量，其它選項都不肯定正確；25、 C 解答：f

29、xg xdf xdg xdf xdg x，其它選項都有反例可以排除；26、 C解答：有求解斜漸近線的方法可得精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 14 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -yxsin 1 xklim yxxxlimxsin 1xxlim101xblim ykxlim xsin 1xlim sin 10 ，所求斜漸近線為yx ；其它選項都xx沒有；xxx二、填空題1、1解答：1cosx 1 x2lim1cos x1 x2lim 2122x0x2x0x22或者用羅比

30、達法就也可以求解；2、 2解答：f x2 x2，就f x 2e2 xf02e3、 2解答：應用奇函數在關于原點對稱區(qū)間上的積分為013111x cos x5x1dx05x1dx=0+01dx=1dx=211114、 et xC分析：被積函數et相對于積分變量來說是常數，所以tte dxe xC5 、 y2ex解答： yy0yCex ，代入初始條件y |2 得到 2Ce0C2x 0所求特解為y2ex226、0解:lim x4lim 24lim 00213224x2 x3x2 23x2 53 x2x2 x2 x1 x17、解:limlimlimlim4 x2x 24x2 x2 x2x2 x2x28

31、、 1解:yx sin x1ysin xx cosx 就 fsin222cos129、 2解：應用性質，奇函數在對稱區(qū)間上的積分為011 x cosx1dx01dx21110、 3arctanxC 解：由基本的積分公式31x 2 dx3arctan xC11 、 y2x2C 解： 對方程ydyxdx 兩端積分ydyxdxy2x 2C14145 112、 2 解：利用偶函數的積分性質5x dx25x dx2x2100精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 15 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - -

32、 - - - -13、 1解：lim xsin2 x1limsin2x xlim 101xxx1x114、2x sinx2dx 解：由微分的定義dyy dx ，先求出導數，再求微分ycosx2ysin x22x2x sin x 2dy2 xsin x2dx15、1解：yx cosx3ycosxx sin xfcossin116、1 e2 x2C解：將 ex 看成一個整體，利用湊微元法得ex dex1 e2 xC 217 、 y1 e 2 x2C解：先分別變量，再積分得通解ye 2 xdye 2 xdxdye2 x dxdye2 xdxy1 e 2xC 218、yexC解：先整理，再分別變量求通

33、解ln yxyexy dye x dxyexC622 x 619、 e解：利用重要極限進行恒等變形，再求解lim13 xlim12e 6xxxx20、xx lnx1解：此題是冪指函數，利用對數求導法來求導數yxxln yxln xyln xx11ln xyy1ln xx x 1ln x121、2yx解：分母相同，分子先通分，分子分母最高次冪都是2 次冪，自變量趨于無窮大，極限等于最高次冪的系數之比1nnlim 12n lim 123.nlim21nn2n2n2nn2nn2222 、 12解：分子分母最高次冪都是3 次冪，自變量趨于無窮大，極限等于最高次冪的系數之比limxx x2 x 31 xx213223、xx lnx1dx 解：由微分的定義dyy dx ，先求出導數，再求微分，此題是冪指函數可以利用對數求導法來求導數精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 16 頁，共 23 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -yxxln yxln xyln xx11ln xyy1ln xx x 1ln xyxdyx x 1ln xdx212x3x101124、解：limlim4x0x4x0 04425、 2解