平行四邊形考點(diǎn)及練習(xí)

1、第十九章平行四邊形定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形/弋平行四邊形的性質(zhì)：、AB=CD,AD=BC );AB/CD,AD/BC );/ A=/C, / B=/D);(即：OA=OC , OB=OD);(1):平行四邊形 對(duì)邊相等(即:(2):平行四邊形 對(duì)邊平行(即:(3):平行四邊形對(duì)角相等(即:(4):平行四邊形對(duì)角線互相平分判定方法：1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義判定法)2 . 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；3 .兩組對(duì)邊分別相等 的四邊形是平行四邊形；4 .對(duì)角線互相平分 的四邊形是平行四邊形；5 .兩組對(duì)角分別相等 的四邊形是平行四邊形；考點(diǎn)1特殊的

2、平行四邊形的性質(zhì)與判定1 .矩形的定義、性質(zhì)與判定(1)矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。(2)矩形的性質(zhì)：矩形的對(duì)角線 ;矩形的四個(gè)角都是 角。矩形具有 的一切性質(zhì)。矩形 是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有 條，矩形也是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為 的交點(diǎn)。矩形被對(duì)角 線分成了 個(gè)等腰三角形。(3)矩形的判定有一個(gè)是直角的平行四邊形是矩形；有三個(gè)角是 的四邊形是矩形；對(duì)角線 的平行四邊形是矩形。溫馨提示：矩形的對(duì)角線是矩形比較常用的性質(zhì)，當(dāng)對(duì)角線的夾角中，有一個(gè)角為60度時(shí)，則構(gòu)成一個(gè)等邊三角形；在判定矩形時(shí)，要注意利用定義或?qū)蔷€來判定時(shí)，必須先證明此四邊形為平行四邊形，然后再請(qǐng)一個(gè)角為直角

3、或?qū)蔷€相等。很多同學(xué)容易忽視這個(gè)問題。2 .菱形的定義、性質(zhì)與判定(1)菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。(2)菱形的性質(zhì)菱形的 都相等；菱形的對(duì)角線互相 ,并且每一條對(duì)角線 一組對(duì)角；菱形也具有平行四邊形的一切性質(zhì)。菱形即是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有 條。(3)菱形的面積 1菱形的面積=底*高，菱形的面積=-ab,其中a, b分別為菱形兩條對(duì)角線的長。菱形被對(duì)角線分成了4個(gè)全等的2直角三角形。（4）菱形的判定： 都相等的四邊形是菱形；對(duì)角線 的平行四邊形是菱形；有一組鄰 邊相等的平行四邊形是菱形。溫馨提示：在利用菱形的判定時(shí)，也要注意所要證明的四邊形是不是平行四邊形，而你用的判定定理

4、需不需要證明它是平行四邊形，有對(duì)角線時(shí)，通常考慮利用對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形來證明，否則一般不利用此定理。3.正方形的性質(zhì)及判定方法（1）正方形的性質(zhì)：正方形的四個(gè)角都是 ,四條邊都 ;正方形的兩條對(duì)角線 ,并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形即是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形。正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（2）正方形的判定方法：有一組鄰邊相等的 是正方形；對(duì)角線互相 的矩形是正方形；有一個(gè)角是直角的 菱形是正方形；對(duì)角線 的菱形是正方形。溫馨提示：無論是正方形的性質(zhì)還是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都從這個(gè)出發(fā)，則一切的性質(zhì)與判定

5、就都有了。但要注意在利用對(duì)角線判定正方形時(shí)，“平分”這個(gè)前提，因?yàn)橹挥袑?duì)角線平分了，此四邊形才是平行四邊形了，然后再證明是矩形又是菱形。中考熱點(diǎn)難點(diǎn)突破BG CD的中點(diǎn)，連接 AE、EF、AF,例1:如圖，菱形 ABCN, / B= 60° , AB= 2, E、F分別是則AAEF的周長為（）A. 2料 B . 333 C . 4T3 D . 3例2：如圖，把矩形 ABCD沿EF對(duì)折后使兩部分重合，若A. 110°B , 115°C , 120° D , 130°一、選擇題（每題 3分，共30分）D. 5AB = 5, / BCD =)2C.

6、40cm10cm,寬為8cm的矩形紙片對(duì)折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的連線（虛1. （09年河北）如圖，在菱形 ABCD中,A. 20B. 15C. 102. （09年廣西南寧）如圖，將一個(gè)長為線）剪下，再打開，得到的菱形的面積為（22A. 10cmB. 20cm3. （09年寧波市）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn) O, M、N分別是邊 AB、AD的中點(diǎn),連接OM、ON、MN,則下列敘述正確的是（A. AAOM和 AON都是等邊三角形B.四邊形 MBON和四邊形 MODN都是菱形C.四邊形AMON與四邊形 ABCD是位似圖形如圖，在菱形 ABCDFD.四邊形 MBCO和四邊

7、形NDCO都是等腰梯形第5題圖4. （09年杭州）中，/A=110 °, E,分別是邊 AB和BC的中點(diǎn)，EPLCD于點(diǎn)P,則/ FPC=（）A. 35°B. 45°C. 50°D. 55°5.將矩形紙片ABC弦如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF若AB= 3,則BC的長為（）A.7.正方形 ABCD勺邊長為8, M在DC上，且 DM=2 N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，貝U DN+MN勺最小值為（）8.已知等腰梯形 ABCD勺中位線2717D . 10第9題圖EF的長為6,腰AB的長為5,則等腰梯形的周長為（A . 11 B . 16 C . 17 D .

8、 22 9.如圖， DABCD的周長是28cm, 4ABC的周長是22 cm,則 AC的長為 （D.8 cmB.12 cm11. （09年甘肅慶陽）如圖，菱形 ABCD的邊長為10cm, DE LAB, DE=6 ,則這個(gè)菱形的面積 =cm2.12. （09年南充）如圖，等腰梯形ABCD中，AD / BC , B 60°, AD 4, BC 7則梯形ABCD的周長是13. （09白銀市）如圖，四邊形 ABCD是平行四邊形，使它為矩形的條件可以是 .14. （09年濟(jì)寧市）在等腰梯形 ABCD中，AD/BC, AD = 3cm, AB = 4cm, ZB=60° ,則下底BC

9、的長為 cm .三、解答題（共60分）21.（本題6分）（09肇慶）如圖，ABCD是菱形，對(duì)角線 AC與BD相交于 O,ACD 30°, BD 6 .（1）求證： ABD是正三角形；（2）求AC的長（結(jié)果可保留根號(hào)）22. （09年宜賓）已知：如圖，四邊形 ABCD是菱形，過 AB的中點(diǎn)E作AC的垂線EF ,交AD于點(diǎn)M,交CD的延長線于點(diǎn)F.（1）求證：AM=DM;（2）若DF=2,求菱形 ABCD的周長.24 .如圖：已知在 ABC中，AB AC , D為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作第24題圖DE ± AB, DF ± AC ,垂足分別為 E, F .(1)求證：A

10、BEDACFD ;(2)若 A 90°,求證：四邊形 DFAE是正方形.25 .（本題8分）（09年杭州市）如圖，在等腰梯形ABCD中，/ C=60°, AD/ BC,且AD=DC, E、F分別在 AD、DC的延長線上，且 DE=CF, AF、BE交于點(diǎn)P.（1）求證：AF=BE;（2）請(qǐng)你猜測(cè)/ BPF的度數(shù)，并證明你的結(jié)論.26 .如圖，在梯形 ABCD 中，AB/CD, BD± AD, BC=CD, Z A=60° , CD=2cm.第26題圖（1） 求/ CBD的度數(shù)；（2）求下底AB的長.27.（本題10分）如圖， ABM為直角，點(diǎn)C為線段BA

11、的中點(diǎn)，點(diǎn)D是射線BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) B重合），F(xiàn)D ；連結(jié)AD ,作BE AD ,垂足為E ,連結(jié)CE ,過點(diǎn)E作EF CE ,交BD于F .求證：BF28. （2010年寧德市）（本題滿分13分）如圖，四邊形 ABC皿正方形， ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD （不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將 BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接求證： AM望 ENB 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，A- CM的值最?。划?dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，A- B- CM的值最小，并說明理由；當(dāng)AM BM CM的最小彳1為J3 1時(shí)，求正方形的邊長.1、在平行四邊形 ABCD中，過點(diǎn)C的直線CEXAB,垂足為E,若/ EAD

12、=53°,則/ BCE的度數(shù)為（）A.53B.37C.47D.1272、（2011江蘇省無錫市，21,8)如圖，在DABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在BC的延長線上，且BE=CF0 求證：/ BAE=/CDF.3、（2012浙江省湖州市，20, 8分）已知，如圖，在上，且BF =AB ,連接FD交BC于點(diǎn)E。（1）說明ADCEAFBE的理由；CABCD中，點(diǎn)F在AB的延長線(2)若EC=3,求AD的長。4、如圖，四邊形 ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,且 BD 平分 AC,若 BD=8 , AC=6 , / BOC=120° ,則四邊形ABCD的面積為.(結(jié)果保留根號(hào)

13、)6cm,射線AG / BC ,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線 AG以1cm/ s的5、(2013河南省)如圖，在等邊三角形 ABC中，BC速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t(s)(1)連接EF ,當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)D時(shí)，求證：VADE VCDF證明:(2)填空：當(dāng)為 s時(shí)，四邊形ACFE是菱形;6、(2013?寧波)若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，我們把這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形.如菱形就是和諧四邊形.(1)如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC, Z BAD=120 °, /C=75

14、76;, BD平分/ ABC .證：BD是梯形 ABCD的和諧線;(2)四邊形 ABCD中，AB=AD=BC , / BAD=90 °, AC是四邊形 ABCD的和諧線，求 /BCD的度解答：（3）;AC是四邊形ABCD的和諧線，. 4ACD是等腰三角形. AB=AD=BC ，如圖 4,當(dāng) AD=AC 時(shí)，. . AB=AC=BC , ZACD= / ADC AABC 是正三角形，/ BAC= / BCA=60 °, / BAD=90 °,/ CAD=30 °,/ ACD= / ADC=75 °,. / BCD=60 +75 =135 

15、6;.如圖 5,當(dāng) AD=CD 時(shí)，AB=AD=BC=CD , / BAD=90 ，四邊形 ABCD 是正方形，. / BCD=90如圖6,當(dāng)AC=CD時(shí)，過點(diǎn) C作CEXAD于E,過點(diǎn)B作BF，CE于F, AC=CD . CEXAD ,. AE=AD , / ACE= / DCE , / BAD= / AEF= / BFE=90 °,，四邊形 ABFE 是矩形.BF=AE . / AB=AD=BC , . . BF=BC , ，/BCF=30 °. / AB=BC ,Z ACB= Z BAC . . AB / CE, . . / BAC= / ACE . . / ACB=

16、 / ACE= / BCF=15 °, . . / BCD=15 °X3=45°.【答案】解：. ABE是等邊三角形，BA= BE, Z ABE= 60° . / MBN 60° , / MBNb / ABNk / ABE- / ABN.即 / BMA= / NBE.又. MB= NB, .AM望 ENB （SAS .當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM CM勺值最小.如圖，連接 CE當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，A- BM CM的值最小. 9分理由如下：連接 MN.由知， AMB2 ENB，AM= EN.,. Z MBN= 60° , MB= NB. BMN等邊三角形. . BM