求導的運算法則

1、第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的求導法則函數(shù)的求導法則 一、和、差、積、商的求導法則一、和、差、積、商的求導法則 二、反函數(shù)的求導法則二、反函數(shù)的求導法則 三、復合函數(shù)的求導法則三、復合函數(shù)的求導法則 四、基本求導法則與求導公式四、基本求導法則與求導公式 五、小結五、小結 思考題思考題一、和、差、積、商的求導法則一、和、差、積、商的求導法則定理定理并并且且可可導導處處也也在在點點分分母母不不為為零零們們的的和和、差差、積積、商商則則它它處處可可導導在在點點如如果果函函數(shù)數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )

2、1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu證證(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf設設hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 證證(1)(1)、(2)(2)略略. .hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處處可可導導在在xxf推論推論; )(

3、 )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf例例1 1.sin223的的導導數(shù)數(shù)求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的的導導數(shù)數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的導數(shù)的導數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)

4、(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的的導導數(shù)數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5.sinh的的導導數(shù)數(shù)求求xy 解解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 例例6 6).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求設設解解, 1)( xf,

5、0時時當當 x,0時時當當 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x ,0時時當當 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf二、反函數(shù)的求導法則二、反函數(shù)的求導法則定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有內(nèi)也可導內(nèi)也可導在對應區(qū)間在對應區(qū)間那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且內(nèi)單調(diào)、可導內(nèi)單調(diào)、可導在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)即即 反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)

6、的倒數(shù).證證,xIx 任取任取xx 以以增增量量給給的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(連續(xù)連續(xù)xf),0(0 xy0)( y 又又知知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 例例7 7.arcsin的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導導在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)內(nèi)有有在在)1 , 1( xI)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcs

7、in x.11)cot(2xx arc例例8 8.log的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(內(nèi)內(nèi)有有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導導在在 yyIax特別地特別地.1)(lnxx 三、復合函數(shù)的求導法則三、復合函數(shù)的求導法則定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導數(shù)為且其導數(shù)為可導可導在點在點則復合函數(shù)則復合函數(shù)可導可導在點在點而而可導可導在點在點如果函數(shù)如果函數(shù)即即 因變量對自變量求導因變量對自變量求導, ,等于因變量對中間變

8、等于因變量對中間變量求導量求導, ,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(.(鏈式法則鏈式法則) )證證,)(0可可導導在在點點由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設設.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導數(shù)為的導數(shù)為則復合函數(shù)則復合函數(shù) 例例9 9.sinln的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy x

9、ucos1 xxsincos xcot 例例1010.)1(102的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例1111.arcsin22222的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例1212.)2(21ln32的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1313.1sin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(

10、sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 四、基本求導法則和求導公式四、基本求導法則和求導公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函數(shù)的和、差、積、商的求導法則函數(shù)的和、差、積、商的求

11、導法則設設 都可導，則都可導，則)(),(xvvxuu )0()()4(, )()3( )()2(, )()1(2 vvuvvuvuuvvuuvCCuCuvuvu是是常常數(shù)數(shù)）3.復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或導導數(shù)數(shù)為為的的則則復復合合函函數(shù)數(shù)而而設設利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解決決.注意注意: :初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù).例例1414.的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xx

12、xxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 例例1515.)(sin的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 五、小結五、小結注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函數(shù)分段函數(shù)求導時求導時, 分界點導數(shù)用左右導數(shù)求分界點導數(shù)用左右導數(shù)求.反函數(shù)的求導法則反函數(shù)的求導法則（注意成立條件）（注意成立條件）;復合函數(shù)的

13、求導法則復合函數(shù)的求導法則（注意函數(shù)的復合過程（注意函數(shù)的復合過程,合理分解正確使用鏈合理分解正確使用鏈導法）導法）;已能求導的函數(shù)已能求導的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù)可分解成基本初等函數(shù),或?；虺?shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.任何初等函數(shù)的導數(shù)都可以按常數(shù)和基本初任何初等函數(shù)的導數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導公式和上述求導法則求出等函數(shù)的求導公式和上述求導法則求出.關鍵關鍵: 正確分解初等函數(shù)的復合結構正確分解初等函數(shù)的復合結構.思考題一思考題一 求曲線求曲線 上與上與 軸平行軸平行的切線方程的切線方程.32xxy x思考題一解答思考題一解答232xy

14、 令令0 y0322 x321 x322 x切點為切點為 964,32 964,32所求切線方程為所求切線方程為964 y964 y和和一、一、 填空題：填空題：1 1、 設設xxysin ，則，則y = = _._.2 2、 設設xeayxx23 ，則則dxdy=_.=_.3 3、 設設)13(2 xxeyx, ,則則0 xdxdy= = _._.4 4、 設設1sectan2 xxy, ,則則y = =_._.5 5、 設設553)(2xxxfy , ,則則)0(f = =_._.6 6、 曲線曲線xysin2 在在0 x處的切線處的切線軸軸與與x正向的正向的夾角為夾角為_._.練練 習習

15、 題題二、二、 計算下列各函數(shù)的導數(shù)：計算下列各函數(shù)的導數(shù)：1 1、 211xxy ；2 2、110110 xxy；3 3、 21csc2xxy ； 4 4、ttxf 11)(, ,求求)4(f ； 5 5、)0, 0( baaxxbbaybax. .三、三、 求拋物線求拋物線cbxaxy 2上具有水平切線的點上具有水平切線的點. .四、四、 寫出曲線寫出曲線xxy1 與與x軸交點處的切線方程軸交點處的切線方程. .一、一、1 1、)cos2sin(xxxx ；2 2、22ln3xeaaxx ； 3 3、2 ； 4 4、)tansec2(secxxx ；5 5、253；6 6、4 . .二、二

16、、1 1、 22)1(21xxx ； 2 2、2)110(10ln210 xx； 3 3、222)1(2cot)1(csc2xxxxx ； 4 4、181； 5 5、)(ln)()()(xbabaaxxbbabax . .三、三、)44,2(2aacbab . .四、四、022 yx和和022 yx. .練習題答案練習題答案思考題二思考題二 若若)(uf在在0u不不可可導導，)(xgu 在在0 x可可導導，且且)(00 xgu ，則則)(xgf在在0 x處處（ ）（1）必必可可導導；（2）必必不不可可導導；（3）不不一一定定可可導導；思考題解答思考題解答正確地選擇是正確地選擇是（3）例例|)(

17、uuf 在在 處不可導，處不可導，0 u取取xxgusin)( 在在 處可導，處可導，0 x|sin|)(xxgf 在在 處不可導，處不可導，0 x )1(取取4)(xxgu 在在 處可導，處可導，0 x44|)(xxxgf )2(在在 處可導，處可導，0 x一、一、 填空題：填空題：1 1、 設設4)52( xy, ,則則y = =_._.2 2、 設設xy2sin , ,則則y = =_._.3 3、 設設)arctan(2xy , ,則則y = =_._.4 4、 設設xycosln , ,則則y = =_._.5 5、 設設xxy2tan10 ，則，則y = =_._.6 6、 設設)

18、(xf可導，且可導，且)(2xfy ， 則則dxdy= =_._.7 7、 設設xkexftan)( , ,則則)(xf = =_， 若若ef 4 ，則，則 k_._.練練 習習 題題 2二、二、 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)：1 1、 xy1arccos ； 2 2、xxy2sin ；3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ；7 7、xxyarccosarcsin ； 8 8、xxy 11arcsin. .三、三、 設設)(xf，)(xg可導，且可導，且0)()(22 xgxf, ,求函數(shù)求

19、函數(shù))()(22xgxfy 的導數(shù)的導數(shù) . .四四、設設)(xf在在0 x處處可可導導，且且0)0( f，0)0( f, ,又又)(xF在在0 x處處可可導導，證證明明 )(xfF在在0 x處處也也可可導導 . .一、一、1 1、3)52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、412xx ； 4 4、xtan ； 5 5、)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx ； 6 6、)(22xfx ； 7 7、xxkekxk21tansectan , ,21. .二、二、1 1、122 xxx； 2 2、22sin2cos2xxxx ；3 3、221xa ； 4 4、xcsc； 5 5、242arcsin2xx ； 6 6、)1(2arctanxxex ；練習題練習題2答案答案 7 7、22)(arccos12xx ； 8 8、)1(2)1(1xxx . . 三三、)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf . . 思考題三思考題三冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（ ）.（1） 必可導；必可導； （2）必不可導；）必不可導；（3）不一定可導；