第十三章13.3等腰三角形

1、12.3.1 等腰三角形ACB腰腰底邊底邊頂角頂角底角底角底角底角一、等腰三角形的一、等腰三角形的定義定義：有有兩邊相等兩邊相等的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形A AB BC C二、等腰三角形的二、等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1、等腰三角形的、等腰三角形的 相等，簡(jiǎn)寫(xiě)為相等，簡(jiǎn)寫(xiě)為2、等腰三角形的等腰三角形的 互相重合，簡(jiǎn)寫(xiě)互相重合，簡(jiǎn)寫(xiě) 成成兩個(gè)底角兩個(gè)底角等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角頂角平分線頂角平分線底邊上的中線底邊上的中線 底邊上的高底邊上的高等腰三角形三線合一等腰三角形三線合一3、等腰三角形是、等腰三角形是 圖形，對(duì)稱軸是圖形，對(duì)稱軸是 所在的直線。所在的直線。軸對(duì)稱軸對(duì)稱三、等腰三角形的三

2、、等腰三角形的判定判定1、有、有兩邊相等兩邊相等的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形 2、有、有兩角相等兩角相等的三角形是等腰三角形，簡(jiǎn)寫(xiě)成的三角形是等腰三角形，簡(jiǎn)寫(xiě)成等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊頂角平分線頂角平分線底邊上的高底邊上的高D底邊上的中線底邊上的中線頂角平分線頂角平分線證明證明 一：一： 作底邊中線作底邊中線AD. 在在BAD和和CAD中，中，AB=AC ( 已知已知 ),BD=CD ( 輔助線作法輔助線作法 )，AD=AD (公共邊公共邊) , BAD CAD (SSS). B= C (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).已知：已知： ABC中，中，AB=AC.求證：求證

3、： B= C.ABCD證明：等腰三角形的兩個(gè)底角相等證明：等腰三角形的兩個(gè)底角相等證明二證明二:作頂角的平分線作頂角的平分線A D.證明三證明三:作底邊的高作底邊的高AD等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)： 等腰三角形的兩個(gè)底角相等等腰三角形的兩個(gè)底角相等 （簡(jiǎn)寫(xiě)成（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角”）注意：注意： 在在 等腰三角形中等腰三角形中,等邊對(duì)等角。等邊對(duì)等角。一個(gè)一個(gè) 一個(gè)一個(gè) 用符號(hào)語(yǔ)言表示為：用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在在ABC中，中， AC=AB（ ） B=C ( ）已知已知等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角CAB AB=AC, AD BCAD BC AB=AC , “三線合一三線合一”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的數(shù)學(xué)

4、語(yǔ)言(3)若若ADAD是高，則是高，則ADAD是角平分線，是中線是角平分線，是中線A AB BC CD D12 ， . .BDCDADBC , .12ADBCBDCD , .12(1)(1)若若ADAD是角平分線，則是角平分線，則ADAD是高，是中線是高，是中線(2) 若若ADAD是中線，則是中線，則ADAD是角平分線，是高是角平分線，是高 AB=AC, BDBDCDCDAB=ACAB=AC數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，最主要的就是思維方法的培養(yǎng)，只埋頭做題，不注意總結(jié)反思，成績(jī)是不會(huì)有很大提高的，做題不是莽撞的思考，而是有一定規(guī)律的。希望每一個(gè)同學(xué)都做一個(gè)學(xué)習(xí)上的有心人。等腰三角形部分用了哪些數(shù)學(xué)思想呢？基礎(chǔ)

5、知識(shí)點(diǎn)的理解與熟記+大量的做題+不斷的總結(jié) = =數(shù)學(xué)高手?jǐn)?shù)學(xué)高手?jǐn)?shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想5、等腰三角形有等腰三角形有 條對(duì)稱軸。條對(duì)稱軸。1、等腰三角形有兩邊長(zhǎng)分別為、等腰三角形有兩邊長(zhǎng)分別為3cm、4cm，則周長(zhǎng)，則周長(zhǎng)為為 cm。2、等腰三角形有兩邊長(zhǎng)分別為、等腰三角形有兩邊長(zhǎng)分別為2cm、4cm，則周長(zhǎng)，則周長(zhǎng)為為 cm。3、等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角為、等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角為70，則一個(gè)底角為，則一個(gè)底角為 度。度。4、等腰三角形有一個(gè)、等腰三角形有一個(gè) 內(nèi)角為內(nèi)角為100，則一個(gè)底角為，則一個(gè)底角為 度。度。110或111070或5540（1）如圖，）如圖，A=B,CEDA,CE交交AB于于E，

6、 求證：求證：CEB是等腰三角形是等腰三角形與與平行線平行線相結(jié)合轉(zhuǎn)化出相結(jié)合轉(zhuǎn)化出等腰三角形等腰三角形DAEBC（2 2）如圖，已知）如圖，已知CE、CF分別平分分別平分ACB和和它的外角，它的外角，EFBC，EF交交AC于于D，你能說(shuō)，你能說(shuō)明明DEDF的理由嗎？的理由嗎？FDEABCG與平行線、角平分線相結(jié)合轉(zhuǎn)化出等腰三角形（3）如圖）如圖AB=AC, A=40,AB的垂的垂直平分線交直平分線交AC于點(diǎn)于點(diǎn)D,求求DBC 的度數(shù)。的度數(shù)。與線段垂直平分線的性質(zhì)相結(jié)合轉(zhuǎn)化出等腰三角形ABCD（4）如圖，點(diǎn)）如圖，點(diǎn)E是是AOB的角平分線上的一點(diǎn)，的角平分線上的一點(diǎn)， ECOA,ED OB,

7、垂足分別為垂足分別為C,D.求證：求證： OC=OD; ECD=EDC; OE是線段是線段CD的垂直平分線。的垂直平分線。與角平分線的性質(zhì)相結(jié)合轉(zhuǎn)化出等腰三角形CDOABE（5）O是是ABC中中ABC和和ACB的平分線的交的平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)，ODAB交交BC于于D，OEAC交交BC于于E點(diǎn)，若點(diǎn)，若BC1010cm，那么，那么ODE的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 。EDOABC10 cm1 1、與、與平行線、角平分線平行線、角平分線相結(jié)合轉(zhuǎn)化出相結(jié)合轉(zhuǎn)化出等腰三角形等腰三角形2 2、將要求的、將要求的三角形的周長(zhǎng)或者邊與邊之間的數(shù)量關(guān)三角形的周長(zhǎng)或者邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系系利用利用等腰三角形等腰三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化

8、進(jìn)行轉(zhuǎn)化（6 6）如圖所示，）如圖所示，ABCABC中，中，AB=AC, AB=AC, A=50A=50, ,點(diǎn)點(diǎn)D D在在ABCABC內(nèi)部，且內(nèi)部，且DBC=DCA,DBC=DCA,則則BDC=BDC= 115利用等量代換思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化CABED（1）如圖，在）如圖，在ABC中，中，AB=AC，AD=BD=BC，則，則A= 度。度。 36xxx2x2xDCBA（1 1）已知：如圖）已知：如圖, AB=AC, AB=AC，DB=DC DB=DC 證明證明: : C=BABCDC=BBD=CD克服思維定勢(shì)，巧妙構(gòu)造輔助線1 1、等腰三角形腰上的高與底邊的夾角為、等腰三角形腰上的高與底邊的夾角為，則

9、頂角，則頂角與與之間的關(guān)系是之間的關(guān)系是2 2、一個(gè)等腰三角形頂角為鈍角，則它、一個(gè)等腰三角形頂角為鈍角，則它的底角的底角的取值范圍是的取值范圍是3 3、等腰三角形兩底角平分線相等嗎？、等腰三角形兩底角平分線相等嗎？?jī)裳系闹芯€呢？?jī)裳系母吣?？?jī)裳系闹芯€呢？?jī)裳系母吣兀?2 0 45判斷下列語(yǔ)句是否正確。判斷下列語(yǔ)句是否正確。（1）等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合。（）等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合。（ ）（2）有一個(gè)角是）有一個(gè)角是60的等腰三角形，其它兩個(gè)的等腰三角形，其它兩個(gè) 內(nèi)角也為內(nèi)角也為60. （ ）（3）等腰三角形的底角都是銳角）等腰三角形的底角都是銳角. （

10、 ）（4）鈍角三角形不可能是等腰三角形）鈍角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）作業(yè)（5 5）如圖，在等腰直角三角形）如圖，在等腰直角三角形ABCABC中，中，C=90C=90，AC=BCAC=BC，AEAE平分平分BACBAC，EDABEDAB于點(diǎn)于點(diǎn)E E。1 1、若、若CE=2CE=2，則，則DE=_,DB=_DE=_,DB=_2 2、你還能找出圖中哪些相等的線段？、你還能找出圖中哪些相等的線段？3 3、若、若AB=8AB=8，則，則DEBDEB的周長(zhǎng)為多少？的周長(zhǎng)為多少？22(AD=AC=BC)DEBDEB的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)=DE+BE+BD=DE+BE+BD=CE+BE+BD=CE+BE+

11、BD=BC+BD=BC+BD=AD+BD=8=AD+BD=8(CE=DE=BD)ABCDEF（6） 如圖，如圖，AB=AC，D為為AB上一上一點(diǎn)，點(diǎn)，E為為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=CE，DE交交BC于于G求證：求證：DG=EGGCABED （7）在）在ABC中，中，BAC=120,ADBC于于D,且且AB+BD=DC, 則則C的大小是的大小是ABCD8、已知：在、已知：在ABC中，中，E是是CA延長(zhǎng)延長(zhǎng)上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且AB = AC ，AE = AD。請(qǐng)說(shuō)明：。請(qǐng)說(shuō)明：1）BAC=2 E。 2）EDBCABCDE圖形及名稱圖形及名稱概概 念念性性 質(zhì)質(zhì) 判判 定定A AB

12、 BC C有兩邊有兩邊相等的相等的三角形三角形是是等腰等腰三角形三角形。性質(zhì)定理性質(zhì)定理1 1 ： 等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角AB = ACAB = ACB=CB=C性質(zhì)定理性質(zhì)定理2 2： 三線合一三線合一。若若ADAD是底邊的高，則是底邊的高，則ADAD是頂角平分線，是底邊中線是頂角平分線，是底邊中線若若ADAD是頂角平分線，則是頂角平分線，則ADAD是底邊的高與中線是底邊的高與中線若若ADAD是底邊中線，則是底邊中線，則ADAD是頂角平分線，是底邊的高是頂角平分線，是底邊的高定理定理：等角對(duì)等邊：等角對(duì)等邊 B=C B=C AB = AC AB = AC等腰三角形相關(guān)知識(shí)等腰三角形相關(guān)知識(shí)D1

13、2.3.2 等邊三角形1 1、定義：、定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有三邊相等的三角形是有三邊相等的三角形是等邊三角形等邊三角形（也稱正三角（也稱正三角形）。形）。(如圖如圖)想想看，等邊三角形是等腰三角形嗎?它都有哪些性質(zhì)？ABC三邊之間 ABACBC；三角之間 ABC；是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸；三線合一你能證明這個(gè)結(jié)論嗎?A AB BC C證明：證明： ABAC A+B+C180 ABC BC同理同理 AB ABC1803 60.(等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角)(已知已知)(三角形內(nèi)角和為三角形內(nèi)角和為180)已知：已知：ABC中，中，ABAC=BC。 求

14、證：求證：ABC 60圖形圖形 等腰三角形等腰三角形 （腰（腰底）底）定義定義性性 質(zhì)質(zhì)關(guān)系關(guān)系三線合三線合一一三個(gè)角都相等，各內(nèi)角都是三個(gè)角都相等，各內(nèi)角都是60 軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形（1條）條）三線合一三線合一等邊三角形等邊三角形一定一定是等腰三角形，等腰三角是等腰三角形，等腰三角形形不一定不一定是等邊三角形是等邊三角形. .三邊都相等的三角形三邊都相等的三角形軸對(duì)稱圖形（軸對(duì)稱圖形（3 3條）條）等邊三角形等邊三角形類比：類比：兩邊相等的三角形兩邊相等的三角形兩個(gè)底角相等兩個(gè)底角相等一般三角形等邊三角形2、 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.3、 有一個(gè)角

15、是有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊的等腰三角形是等邊 三角形三角形.等邊三角形等腰三角形1、 三條邊都相等的三角形是等邊三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形.已知：已知： ABC中，中，AB=AC， A=600。求證：求證：AB=AC=BCABC證明證明： ABC中中AB=AC， B=C （等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角） A=600 B=C = 600AB=AC=BC（等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊）名名稱稱圖圖 形形定義定義性質(zhì)性質(zhì) 判判 定定 等等 邊邊 三三 角角 形形A AB BC C&回顧小結(jié)，整體感知回顧小結(jié)，整體感知三邊三邊都相都相等的等的三角三角形形三個(gè)三個(gè)內(nèi)角內(nèi)角都相都相等，等，且均

16、且均為為6060 1、已知、已知ABC中，中，A=B=60A=B=60，AB=3cm AB=3cm 則則ABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)_2、 ABC是等腰三角形，周長(zhǎng)為是等腰三角形，周長(zhǎng)為15cm且且A=60，則，則BC=_9cm5cm3、如圖，、如圖， ABC中，中，D、E是是BC邊上的三邊上的三等分點(diǎn)，等分點(diǎn)， AED是等邊三角形，則是等邊三角形，則BAC為（為（ ）度？）度？CBADE1204、等邊三角形三邊 ,三個(gè)角都等于 度.5、等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,有 條對(duì)稱軸. 6、如圖,已知ABC和BDE都是等邊三角形,求證:AE=CDABCDE證明: ABC和BDE都是等邊三角形 AB=AC,BE=B

17、D,ABC=DBE=60 在ABE和CBD中, AB=BC ABC=DBE,BE=BD ABECBD AE=CD相等60三 12.2.3定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半已知：在已知：在ABC中，中，ABAC2a，ABCACB15，CD是腰是腰AB上的高求：上的高求：CD的長(zhǎng)的長(zhǎng) ABCD DACABCACB 1515= 30 CD2121AC2aa(在直角三角形中，如果一個(gè)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等于斜邊的一半) BDC=90ABCDABCDE 在 ABC中A=60 AB=AC，點(diǎn)，點(diǎn)D是是AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)CE=CD求證：求證：（1）BD=DE.（2）若）若DF BC于點(diǎn)于點(diǎn)F，則，則BF與與EF有何關(guān)系？有何關(guān)系？F證明：證明：（1 1