第五章 彎曲內(nèi)力(1)

1、5-5 5-5 載荷集度、剪力和彎矩間的微分關系載荷集度、剪力和彎矩間的微分關系第五章第五章 彎曲的內(nèi)力彎曲的內(nèi)力5-1 5-1 平面彎曲的概念及工程實例平面彎曲的概念及工程實例5-2 5-2 平面彎曲梁的計算簡圖平面彎曲梁的計算簡圖5-3 5-3 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力剪力和彎矩剪力和彎矩5-4 5-4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖5-6 5-6 疊加法作彎矩圖疊加法作彎矩圖5-7 5-7 剛架和平面曲桿的內(nèi)力剛架和平面曲桿的內(nèi)力難點重點FFFF一、彎曲實例一、彎曲實例5-1 5-1 平面彎曲的概念及工程實例平面彎曲的概念及工程實例橫向力橫向力二、彎曲二、彎曲受力特點受力特點作用于桿件上的作用于桿

2、件上的外力外力都都垂直垂直于桿的于桿的軸線軸線變形特點變形特點1.桿軸線由桿軸線由直線直線變?yōu)橐粭l變?yōu)橐粭l曲線曲線； 2.桿件上桿件上相鄰橫截面繞與梁軸線垂直的軸發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。相鄰橫截面繞與梁軸線垂直的軸發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。 主要產(chǎn)生彎曲變形的桿主要產(chǎn)生彎曲變形的桿- - 梁梁。mNq/分布力P集中力（N）M集中力偶(N/m)ARBR支座反力支座反力三、平面彎曲三、平面彎曲A一、約束類型一、約束類型1. 1. 平面可動鉸支座平面可動鉸支座 2. 2. 平面固定鉸支座平面固定鉸支座 3. 3. 固定端固定端 5-2 5-2 平面彎曲梁的計算簡圖平面彎曲梁的計算簡圖0yYAYAYAYAYAXAYAXA0

3、0yx，0, 00yx，YAXAMA 4. 4. 中間鉸中間鉸 5. 5. 剛結(jié)點剛結(jié)點5-2 5-2 平面彎曲梁的計算簡圖平面彎曲梁的計算簡圖ABCABC線位移相同，各自轉(zhuǎn)角不同兩根桿在C處的夾角保持不變5-2 5-2 平面彎曲梁的計算簡圖平面彎曲梁的計算簡圖1 1、懸臂梁：、懸臂梁：2、簡支梁：、簡支梁：3、外伸梁、外伸梁：LLL（L稱為梁的跨長）稱為梁的跨長）二、三種基本的靜定梁：二、三種基本的靜定梁：LP1lABxmma一、彎曲內(nèi)力的確定（截面法）：一、彎曲內(nèi)力的確定（截面法）：例例如圖如圖,已知：已知：F，a，l，RA , RB。 求：距求：距A端端 x 處截面上內(nèi)力。處截面上內(nèi)力。

4、RAYRAXRB5-3 5-3 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力剪力和彎矩剪力和彎矩Q(x)M(x) 1PRxQA , 0Y xQPRA1 , 0OM xRaxPxMA-1解：取解：取m - m 截面的左段為研究對象。截面的左段為研究對象。P1RAAO axPxRxMA-1RA二、彎曲內(nèi)力的正負號規(guī)定: 剪力Q : 彎矩M：Q(+)Q(+)Q()Q()M(+)M(+)M()M()左上右下為正，反之為負。左順右逆為正，反之為負。左橫截面右橫截面三、指定橫截面上的剪力 和彎矩 的計算 xQ xM計算法則：計算法則：任意截面上的剪力 （截面一側(cè)橫向力的代數(shù)值） xQ任意截面上的彎矩 （截面一側(cè)橫向力對截面形心之矩的

5、 代數(shù)值） xM橫向力應包括：分布力、集中力、支座反力橫向力應包括：分布力、集中力、支座反力方向：左上右下為正，反之為負。（方向：左上右下為正，反之為負。（橫截面的左側(cè)、橫截面的右側(cè)橫截面的左側(cè)、橫截面的右側(cè)）橫向力包括：分布力、集中力、支座反力、橫向力包括：分布力、集中力、支座反力、集中力偶集中力偶方向：左順右逆為正，反之為負。（方向：左順右逆為正，反之為負。（橫截面的左側(cè)、橫截面的右側(cè)橫截面的左側(cè)、橫截面的右側(cè)）Q(x)M(x) 1PRxQA , 0Y xQPRA1 , 0OM xRaxPxMA-1解：取解：取m - m 截面的左段為研究對象。截面的左段為研究對象。P1RAAO axPxR

6、xMA-1 1PRxQA axPxRxMA-15-4 5-4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖表示剪力和彎矩沿桿軸線變化規(guī)律的圖形剪力圖和彎矩圖 5 5個基本的剪力圖和彎矩圖個基本的剪力圖和彎矩圖1、懸臂梁受集中力作用時的的剪力圖和彎矩圖任意橫截面m-mPxQxMPLLPABmmx）（Lx0PxP）（Lx0 xQ xM5-4 5-4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖2、懸臂梁受分布力的剪力圖和彎矩圖任意橫截面m-mqLxQmmxLABq）（Lx0 xqxxM21 qxxQ）（Lx0221qxxM221qL281qL5-4 5-4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖3、簡支梁受集中力的剪力圖和彎矩圖（2）分段

7、，AC,CB段（集中力）（ax 10 11xLPbxRxMA）（ax 10LPaRMBA, 0（1）由靜力平衡關系求支座反力LPbRMAB, 0 LPbRxQAAC段任意橫截面m-m）（bx 20 22xLPaxRxMB）（bx 20 LPaRxQBCB段任意橫截面n-nRBRAPBAabLCnnx2mmx15-4 5-4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖3、簡支梁受集中力的剪力圖和彎矩圖xQxM（3）分段畫剪力圖和彎矩圖）（ax0 xLPbxRxMA）（ax0 LPbRxQA）（bx0 xLPaxRxMB）（bx0 LPaRxQBAC段CB段LPbLPaLPabRBRAPBAabLCnnx2mm

8、x1RBRABALq5-4 5-4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖4、簡支梁受分布力的剪力圖和彎矩圖mmx（2）任意橫截面m-m）（Lx0）（Lx0qLRMAB21, 0（1）由靜力平衡關系求支座反力qLRMBA21, 0 qxqLqxRxQA21 22212121qxqLxqxxRxMAxQ2qL2qL82qLxM3232qL3232qL4L43L2LRBRABAabLCnnx2mmx15-4 5-4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖5、簡支梁受集中力偶的剪力圖和彎矩圖（2）分段，AC,CB段（集中力）（ax 10 101xLMxRxMA）（ax 10方向向上LMRMBA0, 0（1）由靜力平衡關

9、系求支座反力 LMRxQA0AC段任意橫截面m-m）（bx 20 202xLMxRxMB）（bx 20 LMRxQB0CB段任意橫截面n-nM0 方向向下LMRMAB0, 0LMRMAB0, 0（3）分段畫剪力圖和彎矩圖5-4 5-4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖5、簡支梁受集中力偶的剪力圖和彎矩圖）（ax 10 101xLMxRxMA）（ax 10 LMRxQA0AC段任意橫截面m-m）（bx 20 202xLMxRxMB）（bx 20 LMRxQB0CB段任意橫截面n-nRBRABAabLCnnx2mmx1M0 xQxMLM0LbM0LaM0BA4mM0=40kNm20kNq=10kN/m

10、1mC5-4 5-4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖例題5-1 繪制外伸梁的剪力圖和彎矩圖，并求 ，maxQmaxMx1得： , 0BM解：（1）由靜力平衡關系求支座反力kNRYB25, 0得：RBx2RA4402410520ARkNRA35（2）分段，AC和AB段）（101 x 120 xxM）（101 x kNxQ20AC段任意橫截面有：）（402 x 21025222xxxxM）（402 x 21025xxQAB段任意橫截面有：222525xx BA4mM0=40kNm20kNq=10kN/m1mC5-4 5-4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖例題5-1 繪制外伸梁的剪力圖和彎矩圖，并求 ，

11、maxQmaxMx1RBx2RA（3）分段畫剪力圖和彎矩圖）（101 x 120 xxM）（101 x kNxQ20AC段任意橫截面有：）（402 x 222525xxxM）（402 x 21025xxQAB段任意橫截面有：xMm.52xQkN20mkN 20kN15kN25mkN 20mkN 5.2315-4 5-4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 3、根據(jù)分段情況，選擇任意截面，寫該截面的Q、M方程（既可選用左側(cè)的外力，也可選擇右側(cè)的外力） （1）集中力或集中力偶作用處）集中力或集中力偶作用處總結(jié) 圖的基本畫法 MQ， 2、研究 的分段情況，分段端點通常為： MQ，（2）分布載荷的起點和終點

12、）分布載荷的起點和終點 1、用靜力平衡方程求解支座反力 4、按寫出的Q、M方程畫Q、M圖。5-4 5-4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 5、檢查Q、M圖的正確性。 6、注意圖形的極值點（有沒有？位置在哪？極值是多少？）總結(jié) 圖的基本畫法 MQ，M(x)+d M(x)Q(x)+dQ (x)Q(x)M(x)dxBAq=q(x)M0 yxC5-5 5-5 載荷集度、剪力和彎矩之間的關系載荷集度、剪力和彎矩之間的關系對dx 段進行平衡分析，有：dxxqxQxdQxQY)()()()(0dxxqxdQ)()( xqdxxdQ1 1、微分關系、微分關系-(5-1)q(x)xdxxdxM(x)+d M(x)

13、Q(x)+dQ (x)Q(x)M(x)dxCBAq=q(x)M0 yx5-5 5-5 載荷集度、剪力和彎矩之間的關系載荷集度、剪力和彎矩之間的關系1 1、微分關系、微分關系, 0CM)(d)(dxQxxM)()(xdMxM2)(21)()(dxxqxMdxxQ略去二階微量2)(21dxxq得：dxxQxdM)()(-(5-2)5-5 5-5 載荷集度、剪力和彎矩之間的關系載荷集度、剪力和彎矩之間的關系1 1、微分關系、微分關系)(d)(d22xqxxM)(d)(dxQxxM xqdxxdQ)(d)(d22xqxxM)(d)(dxQxxM xqdxxdQ)(d)(dxQxxM xqdxxdQ)(

14、d)(d22xqxxM由微分關系可得以下結(jié)論（1 1）若）若q(x)=0Q(x)=常數(shù)常數(shù)剪力圖為剪力圖為水平直線水平直線M(x)為一次函數(shù)為一次函數(shù)彎矩圖為彎矩圖為斜直線斜直線Q0Q0（方向向上）（方向向上）q(x)0（方向向下）（方向向下）Q圖圖M圖圖（3 3）在剪力）在剪力Q=0處，彎矩處，彎矩M取得取得極值極值注： 以上結(jié)論只在該段梁上無集中力和集中力偶作用時成立BA4mM0=40kNm20kNq=10kN/m1mCRBRAxMm.52xQkN20mkN20kN15kN25mkN20mkN5.2315-5 5-5 載荷集度、剪力和彎矩之間的關系載荷集度、剪力和彎矩之間的關系（4 4）在

15、）在集中力集中力作用點，剪力圖發(fā)生作用點，剪力圖發(fā)生突變突變。 突變值突變值= =集中力的值集中力的值； 突變的方向：集中力為正，向上突變；突變的方向：集中力為正，向上突變； 集中力為負，向下突變集中力為負，向下突變 彎矩圖在此處有彎矩圖在此處有折點折點（5 5）在）在集中力偶集中力偶作用點，對剪力圖形狀無影響，作用點，對剪力圖形狀無影響， 彎矩圖有彎矩圖有突變突變。 突變值突變值= =集中力偶的值集中力偶的值， 突變方向：集中力偶為正，向上突變；突變方向：集中力偶為正，向上突變； 集中力偶為負，向下突變。集中力偶為負，向下突變。5-5 5-5 載荷集度、剪力和彎矩之間的關系載荷集度、剪力和彎

16、矩之間的關系1 1、微分關系、微分關系2 2、積分關系、積分關系-(5-4)-(5-5) 2121xxxxdxxqxdQx1BAq=q(x)M0 yxx2對于x1,x2區(qū)間，由（5-1式）得： 2112xxdxxqxQxQ由（5-2式）得： 2121xxxxdxxQxdM 2112xxdxxQxMxM注： x1,x2區(qū)間內(nèi)不能有集中力和集中力偶的作用)(d)(dxQxxM xqdxxdQ)(d)(d22xqxxM5-5 5-5 載荷集度、剪力和彎矩之間的關系載荷集度、剪力和彎矩之間的關系1 1、微分關系、微分關系2 2、積分關系、積分關系x1BAq=q(x)M0 yxx2 2112xxdxxq

17、xQxQ 2112xxdxxQxMxM)(d)(dxQxxM xqdxxdQ)(d)(d22xqxxM 梁上任意兩截面的剪力差等于梁上任意兩截面的剪力差等于這兩截面間載荷集度圖所包圍的面這兩截面間載荷集度圖所包圍的面積積 梁上任意兩截面的彎矩差等于梁上任意兩截面的彎矩差等于這兩截面間剪力圖所包圍的面積這兩截面間剪力圖所包圍的面積檢查圖形增量檢查圖形形狀控制點控制點: :端點、分段點（外力變化點）和駐點（極值點）等端點、分段點（外力變化點）和駐點（極值點）等。三、簡易法作內(nèi)力圖：三、簡易法作內(nèi)力圖： 基本步驟： 1、確定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分關系判斷梁各段內(nèi)力圖的形狀； 4、確定控制點內(nèi)力的數(shù)值大小及正負； 5、畫內(nèi)力圖。5-5 5-5 載荷集度、剪力和彎矩之間的關系載荷集度、剪力和彎矩之間的關系5-5 5-5 載荷集度、剪力和彎矩之間的關系載荷集度、剪力和彎矩之間的關系BAM0=10kNmRAq=1kN/mC4m4m4m3mP2=2kNRBP1=2kNDEkNRMBA5, 0（1）由靜力平衡關系求支座反力kNRMAB7, 0例5-8 作全梁的剪力圖和彎矩圖Q圖ACA+C-CDC+D-DBD+B-BEB+E731-3-3-322（2）分段并根據(jù)微分、積分關系判斷內(nèi)力圖的形狀和數(shù)值BAM0=10kNmRAq=1kN/mC4m4m4m3mP