三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式

1、猜想：對于猜想：對于3個正數(shù)個正數(shù)a，b，c，可能有：，可能有：類比兩個正數(shù)基本不等式的形式：類比兩個正數(shù)基本不等式的形式：22abba當且僅當當且僅當a=b時，等號成立時，等號成立，33abccba當且僅當當且僅當a=b=c時，等時，等號成立號成立.,3,333等號成立時當且僅當求證：若cbaabccbaRcba若若 ，那么，那么 Rcba,cba？33 abc定理定理 如果如果 ，那么，那么 當且僅當當且僅當a=b=c時，等號成立時，等號成立 Rcba,33abccba 33 abccba33cbaabc注：注：33abccbaRcba、其中 推廣：推廣：n個正數(shù)的算術(shù)個正數(shù)的算術(shù)幾何平均

2、不等式：幾何平均不等式：.,321321321321等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當則則若若nnnnnaaaaaaaanaaaaRaaaa 例例 求函數(shù)的最小值求函數(shù)的最小值下面解法是否正確？下面解法是否正確？)0(322 xxxy解法：由解法：由 知知 ，則，則 當且僅當當且僅當0 x03, 022 xxxxxxxy623223222 33min321822362,2332 yxxx時時即即一、用基本不等式求函數(shù)的最值一、用基本不等式求函數(shù)的最值解法解法2：例例 求函數(shù)的最小值求函數(shù)的最小值下面解法是否正確？下面解法是否正確？)0(322 xxxy02, 01, 02, 02xxxxxx

3、xxxy21232223min43 y332432123yxxx例例 求函數(shù)的最小值求函數(shù)的最小值)0(322 xxxy解法解法3：0 x, 023, 022xxxxxxxy232323222時，上式取等號即當且僅當3243232xxx33min3623293y332293232323yxxx小結(jié)：利用三個正實數(shù)的基本不等式求最小結(jié)：利用三個正實數(shù)的基本不等式求最值時注意：值時注意：2、不能直接利用定理時、不能直接利用定理時，注意拆項、配注意拆項、配項湊定值的技巧（拆項時常拆成兩個相項湊定值的技巧（拆項時常拆成兩個相同項）。同項）。1、一正、二定、三相等；、一正、二定、三相等；的最小值是的最小

4、值是、函數(shù)、函數(shù))0(12312 xxxyA、6B、C、9D、1266 （）變式：變式：C912232331223231233222xxxxxxxxy解析：21223xx當且僅當時上式取等號即3x9miny變式：變式：_) 1(1642222的最小值是、函數(shù)xxy8222) 1(164xxy解析：4) 1(1612122222xxx）（）（84) 1(161212332222xxx）（）（時上式取等號時，即）（當且僅當1) 1(1612222xxx8miny練習：練習：8)3)(2(1, 3, 21bababa則、若_的最小值為_4,22的最小值是則、若yxxyRyxA、4B、3 C、6D、5

5、B3223223yyxyyxyx解析：時，上式取等號且當且僅當422xyyx練習：練習：的最大值是、函數(shù))20)(2(324xxxyA、0B、1C、D、（）（）27162732D)2(24xxy解析：32222223)2()2(xxxxxx32222223)2(224)2(224xxxxxx273233cbaabcRcba、,Rcba例：已知二、用基本不等式證明不等式二、用基本不等式證明不等式,Rcba證明：cba1113abc3339cbacba1119111cbacba求證：033abccba011131113cbacba,Rcba證明：27)111()(,12222cbacbaRcba求

6、證、設(shè)練習：033abccba0933222232cbaabccba0131113222222cbacba27139)111()(322232222222cbacbacbacba36)111(,22222cbacbaRcba求證、練習：為何值時，等號成立。并確定cba,2222)111(cbacba證明：3222322211193cbacba32223222111932cbacba36當且僅當當且僅當a=b=c= 時，等號成立時，等號成立43注：多次運多次運用基本不等用基本不等式時注意限式時注意限制等號成立制等號成立的多重條件。的多重條件。29)111(:,3accbbacbaRcba求證、,Rcba證明：033）（）（）（）（）（）（accbbaaccbba011131113accbbaaccbba29)111(accbbacba0233）（）（）（即accbbacba小結(jié)：小結(jié)：這節(jié)課我們討論了：這節(jié)課我們討論了：注：注：一、利用基本不等式求某些函數(shù)的最值；一、利用基本不等式求某些函數(shù)的最值；二、利用基本不等式證明不等式二、利用基本不等式證明不等式 1、利用基本不等式求某些函數(shù)的、利用基本不等式求某些函數(shù)的最值時最值時“一正二定三相等一正二定三相等”這三個條件這三個條件缺一不可；缺一不可；2、不能直接利用定理時，要善于轉(zhuǎn)化變、不能直