合肥工業(yè)大學(xué)自動控制理論課件2-1

1、第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1 2.1 引言引言2.2 2.2 控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的微分方程微分方程2.3 2.3 線性定常系統(tǒng)的線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)2.4 2.4 控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖2.5 2.5 控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的信號流圖信號流圖2.6 2.6 閉環(huán)控制系統(tǒng)的幾個常用傳遞函數(shù)概念閉環(huán)控制系統(tǒng)的幾個常用傳遞函數(shù)概念2.1 2.1 引言引言建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對系統(tǒng)進(jìn)行建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對系統(tǒng)進(jìn)行分析分析和和設(shè)計設(shè)計的基礎(chǔ)。的基礎(chǔ)。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系 的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型： 動態(tài)數(shù)學(xué)模型： 靜態(tài)

2、條件下（變量的各階導(dǎo)數(shù)為0） 動態(tài)條件下 (變量的各階導(dǎo)數(shù)不為0)靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：代數(shù)方程代數(shù)方程動態(tài)數(shù)學(xué)模型有多種形式動態(tài)數(shù)學(xué)模型有多種形式 ：微分方程微分方程、差分方程、差分方程、狀態(tài)方程狀態(tài)方程 (MIMO)傳遞函數(shù)、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖、信號流圖傳遞函數(shù)、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖、信號流圖 時域： 復(fù)域： 頻域： 頻率特性頻率特性 描述同一系統(tǒng)的不同數(shù)學(xué)模型之間是等價的！描述同一系統(tǒng)的不同數(shù)學(xué)模型之間是等價的！1010( )( )( )( )()nmnmnmddddac tac tbr tbr tdtdtdtdta c tb r tLL建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法:對模型的

3、要求：對模型的要求：分析法（解析法、分析法（解析法、機(jī)理法機(jī)理法）：機(jī)理分析，依據(jù)）：機(jī)理分析，依據(jù)物理化學(xué)等規(guī)律物理化學(xué)等規(guī)律， 列各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式列各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式 實驗法：施加實驗法：施加典型測試信號典型測試信號，記錄輸出響應(yīng)，通過數(shù)學(xué)方，記錄輸出響應(yīng)，通過數(shù)學(xué)方 法法辨識辨識模型模型結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)和和參數(shù)參數(shù) 傳統(tǒng)方法：傳統(tǒng)方法： 不考慮不考慮 現(xiàn)代方法（現(xiàn)代方法（系統(tǒng)辨識方法系統(tǒng)辨識方法）：考慮）：考慮 盡可能盡可能符合實際物理系統(tǒng)的特性，并且準(zhǔn)確可靠；符合實際物理系統(tǒng)的特性，并且準(zhǔn)確可靠； 在滿足精度要求的情況下，建立的數(shù)學(xué)模型應(yīng)在滿足精度要求的情況下，建立的數(shù)學(xué)模型應(yīng)盡可能

4、盡可能簡單簡單。突出主要因素，忽略次要因素 測試數(shù)據(jù)的偶測試數(shù)據(jù)的偶然性誤差然性誤差 2.2.1 2.2.1 動態(tài)系統(tǒng)微分方程的建立動態(tài)系統(tǒng)微分方程的建立1.1. 根據(jù)控制任務(wù)要求根據(jù)控制任務(wù)要求，明確，明確系統(tǒng)系統(tǒng)的的輸入、輸出變量輸入、輸出變量！2.2. 根據(jù)控制任務(wù)要求根據(jù)控制任務(wù)要求，確定系統(tǒng)各，確定系統(tǒng)各組成元件組成元件的的輸入、輸出變量輸入、輸出變量. .3.3. 依據(jù)各個變量之間遵循的依據(jù)各個變量之間遵循的物理或化學(xué)定律物理或化學(xué)定律，列寫出一組描述，列寫出一組描述各各變量之間變量之間關(guān)系的關(guān)系的微分方程微分方程和和代數(shù)方程代數(shù)方程. .4.4. 消去消去中間變量中間變量，得到系

5、統(tǒng)輸入變量和輸出變量之間的微分方程，得到系統(tǒng)輸入變量和輸出變量之間的微分方程. .5.5. 對微分方程進(jìn)行整理，寫成對微分方程進(jìn)行整理，寫成標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式。即將。即將輸出量及其各階導(dǎo)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)項放在等號左邊數(shù)項放在等號左邊，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)項放在等號右邊，并，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)項放在等號右邊，并按按降冪降冪排列排列. .2.2 2.2 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程分析法建立動態(tài)系統(tǒng)的輸入輸出微分方程的步驟：1010( )( )( )( )()nmnmnmddddac tac tbr tbr tdtdtdtdta c tb r tLL例例2-12-1 列寫圖示電路的輸入輸出微

6、分方程 (課堂練習(xí)！)()()()(tutRidttdiLtuoidttduCtio)()(22( )( )( )( )oooid u tdu tLCRCu tu tdtdt( )iu t為輸入( )ou t為輸出解：解：消去中間變量 ，得到( )i t整理后得到22( )( )( )( )ooiod u tdu tu tLCRCu tdtdt二階線性常系數(shù)微分方程兩個儲能元件！兩個儲能元件！1222( )( )( )( )d yF tF tFdttmt1()dFfy tttd22( )( )( )( )dy tF tfky tdtd y tmdt)(1)()()(22tFktydttdykf

7、dttydkm整理后例例2-22-2 圖示是彈簧-質(zhì)量-阻尼器機(jī)械位移系統(tǒng)。試列寫質(zhì)量 m 在外力F(t)作用下，位移y(t)的運動方程。 f-阻尼系數(shù),k-彈性系數(shù). 解：解：根據(jù)牛頓第二定律列寫方程式中消去中間變量：2)()Fkytt可見：可見：例2-1和例2-2雖然是不同的物理系統(tǒng)，但是有相似的微分方程。兩個儲能元件？兩個儲能元件？例例2-3 2-3 列寫兩級RC電路的微分方程 解：根據(jù)基爾霍夫定律，可寫出下列方程組解：根據(jù)基爾霍夫定律，可寫出下列方程組 )()()(111tutiRtur)()()(221tutiRtuc11121( )()iu tidtCdttiCtuc)(1)(22

8、消去中間變量消去中間變量 1u1i2i)()()()()(212211222211tutudttduCRCRCRdttudCRCRrccc兩個儲能原件！兩個儲能原件！注意：注意：前面電路是由兩個一級RC電路串聯(lián)而成，后一級RC電路中的電流 影響著前一級RC電路的輸出電壓 ，就是負(fù)載效應(yīng)。 若要消除負(fù)載效應(yīng)，可在兩個RC電路之間設(shè)置隔離放大器 這時所列寫的微分方程為 )()()()()(2211222211tutudttduCRCRdttudCRCRrccc1( )u t2( )i t例例2-4 2-4 有源網(wǎng)絡(luò)如圖所示。列寫輸出與輸入之間的微分方程 解：解：由運算放大器的基本特性和基爾霍夫定律

9、，列寫出下列方程11)()(Rtitui23124( )( )( ) ( )( )ocu ti t Ru ti ti t RdttduCtitic)()()(212132)()()(RtiRtituo消去中間變量,整理后得 23243423411( )( )( )( )oiiodu tduR RR RR RRRR Cu tCtdtdtu tRR 一個儲能原件！一個儲能原件！一階線性常系數(shù)微分方程例例2-5 2-5 電樞電壓控制電樞電壓控制的的他勵他勵直流直流電動機(jī)電動機(jī) cmai)a)b電動機(jī)轉(zhuǎn)角電動機(jī)轉(zhuǎn)角，au電樞電壓電樞電壓,電樞電感電樞電感,電樞電阻電樞電阻,電樞電流電樞電流，電磁轉(zhuǎn)矩電

10、磁轉(zhuǎn)矩，電樞反電勢電樞反電勢，電樞電樞轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量，粘性摩擦系數(shù)粘性摩擦系數(shù)負(fù)載轉(zhuǎn)矩負(fù)載轉(zhuǎn)矩，勵磁電流，勵磁電流，aLmmmfmJaRmaefi2,4mGDJGDg(其中轉(zhuǎn)動慣量電樞重量電樞直徑)負(fù)載擾負(fù)載擾動動3232( )( )( )()()mmmmamamamamedtdtdtJ LJ Rf Lf RC Cdtdtdt)( )( )(cmaaacdLRdtttCtumm( )( )mammtC i t電磁轉(zhuǎn)矩方程電磁轉(zhuǎn)矩方程 ( )( )( )maemedte tttCCd電樞反電勢電樞反電勢 ( )( )( )( )aaaaaadi tu tLR i tdte t電樞回路電樞回路電

11、壓平衡方程電壓平衡方程22( )( )( )( )mmmcmmdtdtmtm tfJdtdt電動機(jī)軸上電動機(jī)軸上轉(zhuǎn)矩平衡方程轉(zhuǎn)矩平衡方程( )mmtai t（）( )ae t消去消去中間變量中間變量、，可得- 三階微分方程三階微分方程 看成是力的對偶量！看成是力的對偶量！摩擦力摩擦力矩矩若以若以 為輸出，則微分方程變?yōu)闉檩敵觯瑒t微分方程變?yōu)橐话闱闆r電樞電一般情況電樞電感 很小很小，可令可令aL0aL 。有。有22( )( )()mmmamamedtdtJ Rf RC Cdtdt( )( )macaRttmC u- - 二階微分方程二階微分方程 兩邊除以兩邊除以，令，令mamef RC C/()

12、mmmameKCf RC C/()mmamameTJ Rf RC C/()namameKRf RC C22( )( )(ncmmmmadtdtTK u tdtdtK m t( )( )( )( )mmmancmdtTtKKu tdm tt( )( )/mmtdtdt忽略了次要因素！忽略了次要因素！模型降階！模型降階！輸出不同！輸出不同！例例2-62-6：直流直流調(diào)速控制系統(tǒng)調(diào)速控制系統(tǒng)( (例例2-52-5的應(yīng)用的應(yīng)用) ) Tum測速發(fā)電機(jī)測速發(fā)電機(jī)的輸出電壓的輸出電壓電動機(jī)角速度電動機(jī)角速度 電位計給定電壓電位計給定電壓ru au電動機(jī)電樞電壓電動機(jī)電樞電壓)()()(tututeTr)(

13、)(teKtuaa)()()(tuKtdttdTammmm)()(tKtumtT電動機(jī)電動機(jī)測速測速發(fā)電機(jī)發(fā)電機(jī) 放大器放大器)()()1 ()(tuKKtKKKdttdTrmamtmamm, e,au,Tumru消去中間變量消去中間變量 得到得到與之間的微分方程之間的微分方程 針對系統(tǒng)中每個元部件列寫方程：針對系統(tǒng)中每個元部件列寫方程：（空載mc0）考慮到負(fù)載效應(yīng)，若考慮到負(fù)載效應(yīng)，若KaKa不是用運放實不是用運放實現(xiàn)的需加隔離運放！現(xiàn)的需加隔離運放！( )( )( )( )mmmancmdtTtKKu tdm tt例例2-72-7：位置隨動系統(tǒng)：位置隨動系統(tǒng)( (前面兩個例子的應(yīng)用！前面兩

14、個例子的應(yīng)用！) ) 分別是電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動慣量和分別是電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動慣量和粘性摩擦系數(shù)粘性摩擦系數(shù)分別是分別是負(fù)載軸上負(fù)載軸上的轉(zhuǎn)動慣量和粘性摩擦系數(shù)的轉(zhuǎn)動慣量和粘性摩擦系數(shù)負(fù)載軸上的外加阻力矩負(fù)載軸上的外加阻力矩分別是減速器大、小齒輪的齒數(shù)分別是減速器大、小齒輪的齒數(shù)給定轉(zhuǎn)角給定轉(zhuǎn)角 工作機(jī)械的轉(zhuǎn)角工作機(jī)械的轉(zhuǎn)角橋式電位計輸出電壓橋式電位計輸出電壓電樞電壓電樞電壓電樞電阻電樞電阻電樞電感電樞電感電樞反電勢電樞反電勢電動機(jī)的電動機(jī)的角位移角位移rcsuauaRaLae,mJmfm,LJLfLm2,z1z22( )( )( )mmcmdtdtmtdtdJfmtt( )( )( )ercttt

15、( )( )sseu tKt橋式電位計橋式電位計放大器放大器 ( )aasu tK u t（）( )( )mm amtC i t( )( )maedte tCdt( )( )( )( )aaaa aadi tu tLR i te tdt電動機(jī)電動機(jī)減速器減速器1( )( )cmttimax(/sEK比例系數(shù)）21(/izz減速比）工作機(jī)械工作機(jī)械均折算到電動機(jī)軸上（均折算到電動機(jī)軸上（能量守恒！能量守恒?。?，折算后：），折算后：,LJ,LfLm2/,mLJJJi2/,mLfffi( )(/)Lcmmtit （考慮了負(fù)載效應(yīng)）負(fù)載等效到負(fù)載等效到電動機(jī)軸上！電動機(jī)軸上！的數(shù)值，考慮的數(shù)值，考慮 （空載）（空載）消去中間變量并將折算公式消去中間變量并將折算公式 帶入，得到帶入，得到3232()()cccsamaaecamadddK K CJJRffRC CdtdtdtLiLaL0Lm iRCKKKamasaemR