工程結構抗震設計基礎 Part.1 第2章1結構的彈性地震反應分析及抗震驗算規(guī)定

1、第一篇第一篇 工程結構抗震設計基礎工程結構抗震設計基礎第第 2 2 章章 結構的彈性地震反應分析與抗震結構的彈性地震反應分析與抗震驗算規(guī)定驗算規(guī)定 2.1 概述概述2.1.1 地震反應的概念地震反應的概念 建筑結構的抗震設計：(1)概念設計；(2)參數(shù)設計?？拐鹩嬎愕娜蝿眨嚎拐鹩嬎愕娜蝿眨焊鶕?jù)抗震設防烈度及場地類別等參數(shù)求出結構的內(nèi)力和變形，由此進行結構構件的截面驗算和變形驗算。地震反應或響應：地震反應或響應：結構位移、速度、加速度、內(nèi)力和變形等。系統(tǒng)：彈簧、質(zhì)量、阻尼輸入或激勵輸出或響應 地震反應除與地面運動有關(輸入或激勵)外，還與結構本身的動力特性(自振周期與阻尼或彈簧、質(zhì)量、阻尼)有關

2、。2.1.2 質(zhì)點體系及其自由度質(zhì)點體系及其自由度 圖3-1 水塔的簡化體系 圖3-2 框架的簡化體系 自由度：自由度：確定質(zhì)點系在空間位置所需的獨立參數(shù)。 圖3-3 質(zhì)量均勻分布的結構的質(zhì)點體系 2.1.3 地震反應計算方法簡述地震反應計算方法簡述 (1) 靜力理論：靜力理論： 把地面運動最大加速度和重力加速度的比值K定義為“水平烈度”，即當房屋重量為G時，水平地震力為KG，可理解為相當于房屋重量K倍的水平力破壞了房屋的靜止狀態(tài)。(2) 反應譜理論：反應譜理論：用實際地震記錄求得的加速度反應譜進行結構抗震設計。(3) 地震反應時程分析：地震反應時程分析：在運動微分方程輸入地震加速度記錄后直接

3、積分求位移、速度和加速度，進一步求構件內(nèi)力和應力，進行抗震設計。 2.2 單自由度體系的彈性地震反應單自由度體系的彈性地震反應2. 2.1 單度系統(tǒng)在地震作用下的運動方程單度系統(tǒng)在地震作用下的運動方程假定：(1)地面運動水平加速度 代表地震時地面運動過程；(2)地基為一剛體；(3)結構是彈性體系。)(txg 設基礎絕對位移為 ，質(zhì)點相對于基礎x(t)(txg圖圖3-4 單自由度體系動力計算簡圖單自由度體系動力計算簡圖 令令 則則 式中：為無阻尼自振圓頻率，簡稱自振頻率，為阻尼系數(shù)c與臨界阻尼系數(shù)Cr之比，簡稱阻尼比。 2.2.2 單自由度體系的自由振動單自由度體系的自由振動 當1時，有自由振動

4、解： 積分常數(shù)A與B由初始條件確定，最后得 )73(sincos)(000txxtxetxt為有阻尼體系的頻率，通常 1。 2.2.3 單自由度體系的強迫振動單自由度體系的強迫振動1、單自由度體系在脈沖荷載作用下的振動、單自由度體系在脈沖荷載作用下的振動設系統(tǒng)開始靜止，t0時，突然作用有沖量Pdt(圖3-8)。相當于單自由度體系在初始條件作用下的自由振動，由理論力學沖量定理，有：t0時，x(0)0，v= (0)Pdt/m (mv-mv0=Pdt)，于是由式(3-7)有x x(t)(Pdt/ M)-t Sint (3-10)圖3-8 t0時的脈沖作用及質(zhì)點運動 若沖量(脈沖力)是在時間t時作用(

5、圖3-10)，則在t 時，有x(t)(Pd/ M)-(t-) Sin(t-) (t ) (3-11)=0時，(3-11)成為(3-10) 圖3-10 t時的脈沖作用及質(zhì)點運動 2、一般荷載作用下的單自由度體系的振動、一般荷載作用下的單自由度體系的振動圖圖3-9 t時的脈沖作用及質(zhì)點運動時的脈沖作用及質(zhì)點運動 單質(zhì)點體系在一般荷載P(t)作用下的振動微分方程為 荷載P(t)可看作是無數(shù)的脈沖荷載P()(或微沖量P()d)的連續(xù)作用之和或疊加(圖3-9)，在t作用的微沖量P()d產(chǎn)生的微小位移為： dx(P()d/ M)-(t-) Sin(t-) (3-12a)在激勵由0到t的連續(xù)作用下，質(zhì)量m在

6、時刻t時的總位移為： 此積分式稱為卷積積分卷積積分或褶積積分褶積積分或杜哈梅積分杜哈梅積分（Duhamel）。 2.2.4 單自由度體系的彈性地震反應分折單自由度體系的彈性地震反應分折 比較式(3-5)與(3-12)后可知， 相當于P(t)/m，所以由式(3-13)有特解： )(txg 方程(3-5)的通解等于方程的齊次解(式(3-7)與特解(式(3-14)之和，但式(3-7)是瞬態(tài)解，在有阻尼的情況下，很快會衰減，因此起作用的是穩(wěn)態(tài)解或特解式(3-14)。 )73(sincos)(000txxtxetxt速度：速度： 加速度：加速度： 對式(3-14)、(3-15)及(3-16)進行積分，可

7、得位移、速度和加速度的地震反應。 位移：位移： 影響結構地震反應的因素： (1)地面運動加速度 ；(2)系統(tǒng)固有頻率；(3)阻尼比 )(txg 式(3-14)、(3-15)及(3-16)的積分通常采用數(shù)值分析方法(直接積分法)進行。 常用的直接積分法有中心差分法中心差分法、線性加速度法線性加速度法、威爾遜威爾遜(Wilson)法法、Newmark法法、Houbolt方法方法及龍格龍格庫塔庫塔(Runge-Kutta)法法等。 (均為數(shù)值方法均為數(shù)值方法)1、線性加速度法、線性加速度法 假定質(zhì)點的加速度反應在任一微小時段t內(nèi)的變化是線性關系，考慮tk-1至tk的tk時段(圖3-12)。 將位移

8、及速度 分別按泰勒級數(shù)展開： kxkx (3-17)kx (3-18)由圖3-12，線性加速度的變化率為： 19)(3txxxk1kkk 所以 )203(6321211kkkkkkkkxtxtxtxx )213(2211kkkkkkxtxtxx 由由 22)(3xx2xxk2kkg,k 有有 25)(3x6x24)(3x3x1kk2kk1kkkktt 23)(3KRxkk解(3-20)、(3-21)和(3-22)，得)203(6321211kkkkkkkkxtxtxtxx )213 (2211kkkkkkxtxtxx 29)(3x2x2x328)(3x2x6x627)(3cmxmR26)(3c

9、3m6kK1kk1k1kk1k1k1k1k2k1k1k1kkg,kk2k ttttttk式中：式中：m、k和c分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼。已知系統(tǒng)質(zhì)量m、剛度k和阻尼比，初始條件 及地面時程加速度 ，則 tk 時刻系統(tǒng)的位移、速度和加速度計算過程如下： 0000 xxx )(txg (1) 確定時間步長t，計算、c=2和K(式(3-26)； (2) 求時刻t1(t)的反應 ; (a) 由式(3-28)、(3-29)確定初始時刻的0和0； (b) 由式(3-27)確定t1時刻的R1； (c) 由式(3-23)、(3-24)和(3-25)求t1時刻的 111xxx 111xxx (3) 求時刻t

10、2(t1+t)的反應 ;求法重復步驟(2) 222xxx (4) 再依次求t3、t4，至所要求的時刻為止。 2、龍格、龍格庫塔法庫塔法 龍格庫塔法是以德國數(shù)學家C.Runge及M.W.Kutta命名的。 龍格庫塔法不作介紹，具體推導可以參考下列文獻：(1) 易大義，蔣叔豪，李有法，數(shù)值方法，浙江科學技術出版社，1984.9 (2) 徐稼軒，鄭鐵生，結構動力分析的數(shù)值方法，西安交通大學出版社出版，1993.6 (3) KJ巴特，EL威爾遜，有限元分析中的數(shù)值方法，科學出版社，1985.5 (4) 其他數(shù)值分析，數(shù)值計算方法等2.3地震反應譜地震反應譜 2.3.1 地震反應譜的概念地震反應譜的概念

11、 工程中往往只關心響應的最大絕對值，利用地震反應譜可求最大地震反應。地震反應譜：地震反應譜：系統(tǒng)的最大反應與系統(tǒng)自振周期(或固有頻率)和阻尼比的關系曲線。 工程上通常以相對位移(與結構變形和內(nèi)力有關)、相對速度(與地震動輸入能量有關)和絕對加速度(與地震慣性力有關)等最為重要的變量建立反應譜。 位移、速度和加速度反應譜分別記為 ，則)()()(avdSSS和、當阻尼比很小時，近似有35)(31(S(S(S2avd:): ): )圖3-18為按圖3-15地震波作輸入所得的位移和加速度反應譜。 z阻尼影響很大；從圖從圖3-19可見可見z加速度反應譜在短周期部分波動劇烈且幅值較大；當周期較長時，譜值

12、逐漸衰減；z當周期大于某定值時，速度反應譜的譜值隨周期的變化呈現(xiàn)出大致與周期軸平行的趨勢；z當周期大于某定值時，位移反應譜具有隨周期增大而增高的趨勢，即位移反應對長周期結構的影響比短周期結構要大。 2.3.2 反應譜的標準化及平均反應譜反應譜的標準化及平均反應譜 顯然，不同場地或不同時間發(fā)生的地震波記錄作輸入所得的反應譜是不同的，因此，用己知的某一個地震波記錄所得的反應譜來預測未來的地震反應，進行工程抗震設計是沒有意義的。 為了得到具有代表性的反應譜供抗震設計用，提出了反應譜的標推化及平均反應譜。 標準化反應譜：標準化反應譜：反應的最大值與引起該反應的地面運動的最大幅值之比，將兩者的比值作為縱

13、坐標所得的反應譜。如對加速度反應譜，為： 稱為動力放大系數(shù)。 由不同地震記錄所得的加速度標準反應譜，其最大譜值max大致相同，只是譜的形狀不同。這樣，通過標準化處理后，地震動強度對反應譜的影響基本上消除了，可以單獨研究地震動頻譜特性對反應譜的影響。 通常，震中距和場地條件是影響反應譜形狀的主要因素。 平均反應譜平均反應譜：將大量的標準反應譜按影響譜形狀的各種因素分別加以平均的反應譜。 規(guī)范根據(jù)場地條件和震中距兩個因素將反應譜分成A、B、C、D、E五類。以烈度8度為例：近震類場地為A，近震類和遠震類為B，近震類和遠震類為C，近震類和遠震類為D，遠震類為E(場地分類見第場地分類見第2章章)。五種譜

14、形的平均反應譜如圖3-23：2.3.3 規(guī)范規(guī)定的地震反應譜規(guī)范規(guī)定的地震反應譜 平均反應譜雖可作抗震設計的依據(jù)，但不便應用，為此，進行處理。地震作用：地震作用： k稱為地震系數(shù)，是地震強烈程度的指標，規(guī)范按烈度7、8、9度分別取k值為0.1、0.2和0.4。 為式(3-36)表示的動力系數(shù)，規(guī)范取max=2.25。稱為地震影響系數(shù)。 設計用反應譜：設計用反應譜：1、縱坐標用。首先將圖3-23的標準反應譜加以模型化，成為圖3-24；然后將已模型化的標準反應譜的譜值乘上一個系數(shù)k，得到譜曲線如圖3-25(抗震規(guī)范規(guī)定的抗震設計反應譜)，兩者的譜值不同，但譜的形狀沒有改變。各設計階段的max值如表

15、3-1所示。 基本烈度：基本烈度：maxkmax=(0.10.4)*2.25多遇烈度：多遇烈度：k值約為基本烈度的0.35倍罕遇烈度：罕遇烈度：k值約為基本烈度的2.2、2.0和1.6倍(當基本烈度為7、8和9度時) 表3-1 水平地震影響系數(shù)最大值max驗 算 內(nèi) 容設 防 烈 度6789多遇地震，承載力(與彈性變形)驗算0.040.080.160.32相應基本烈度地震(一般不使用)0.120.230.450.90罕遇地震，防倒塌彈塑性變形驗算0.250.500.901.40表表2-1 水平地震影響系數(shù)最大值水平地震影響系數(shù)最大值max 2、取阻尼比0.05的譜曲線作為設計用的譜曲線。3、將

16、譜曲線分為三段：Tg稱為特征周期，按表3-2確定。 表表3-2 特征周期特征周期Tg(s)近、遠震近、遠震場場 地地 類類 別別近震近震0.200.300.400.65遠震遠震0.250.400.550.85關于關于(T)曲線的說明：曲線的說明：(a) 單質(zhì)點體系自振周期單質(zhì)點體系自振周期T可按下式確定：可按下式確定：T=2 2=k/m k=P=1 T=2(G/g)1/2G質(zhì)點重力荷載代表值；單位水平集中力使質(zhì)點產(chǎn)生的側移。 (b) 關于關于T=0時，時，=1T=0時，系統(tǒng)為剛性體系，地面的運動就是質(zhì)點的運動，即系統(tǒng)既不放大也不縮小，=1。(c) 關于關于min的取值的取值 為了保證結構具有最

17、低限度的抗震能力，規(guī)范規(guī)定，值的下限不應小于最大值的20，即min0.2max。至于限制T3.0s的問題，主要考慮當T3.0s時，反應譜曲線準確性才有保證。(d) 反應譜曲線在0.1sTTg一段，作了平滑處理，為安全計，這一段取水平線，即均按max取值。在0T0.1s一段，按直線變化，即按0.45max和max之間線性插入取值。(e) 繪制繪制反應譜曲線時，阻尼比采用反應譜曲線時，阻尼比采用0.05 利用抗震設計反應譜計算結構所受利用抗震設計反應譜計算結構所受地震力的基本步驟：地震力的基本步驟： (1) 計算結構的重量G和自振周期T； (2) 根據(jù)結構所在地區(qū)的設防烈度、場地條件 和震中距，按

18、表3-1 和表3-2查得反應譜的最大地震影響系數(shù)max和特征周期Tg； (3) 按公式(3-40)確定地震影響系數(shù)； (4) 按公式(3-37)計算地震作用Fek，即 兩跨單層廠房，其結構為鉸接排架，如圖3-26(a)所示。屋蓋重量G1495kN，G2396kN，柱子重量g1g330kN，g236kN，柱子剛度EI1EI3=10.83kNm2，EI2=18.72kNm2，柱高h 6m。按8度、近震、 類場地求廠房強度驗算時所受地震作用。 圖圖3-26 兩跨單層廠房剖面及其計算簡圖兩跨單層廠房剖面及其計算簡圖 解解模型簡化如圖3-26(b)，體系剛度為各柱剛度之和，質(zhì)點質(zhì)量當計算體系自振周期自振

19、周期T T時取屋蓋重量及1/41/4柱重量柱重量之和，當計算地震作用地震作用FekFek時取屋蓋重量及1/21/2柱重量柱重量之和。 08kN/m5618.72)23(10.83h)EIEI3(EIK333216ABPLEI=EI1+EI2+EI3 (為什么？為什么？)由材料力學=PL3/3EI及K=P令L=h 即可得K值。K的計算原理：的計算原理：s0.8156089.89152gKG2Km2TT915kN)gg(g41GGG32121T939kN)gg(g21GGG32121E0.08480.160.810.4TT0.9max0.9g79.627kN9390.0848FEek G8度，ma

20、x0.16；近震、類場地，Tg0.40所以： 計算體系自振周期T時取屋蓋重量及1/4柱重量之和，當計算地震作用Fek時取屋蓋重量及1/2柱重量之和。(為什么？為什么？)計算體系自振周期計算體系自振周期T時時 設立柱速度分布為直線，則立柱和屋蓋質(zhì)量分別為m和M，立柱單位長度質(zhì)量密度為，則系統(tǒng)動能為系統(tǒng)勢能：VhyVy2202)31(21)(2121VmMVhydyMVTh221KxU VVyy由T=U，兩邊對時間t求導，得 ， 即質(zhì)量取1/3。0)31(KxxmM 若立柱速度分布為拋物線，則同樣推導可得質(zhì)量取1/5。 若選取直桿重力荷載q沿水平方向作用得到的彈性曲線作為振型曲線(如圖示)，即則柱

21、頂最大位移Xm為(令上式y(tǒng)=H)：Xm=qH48EI所以x=Xm(y4-4Hy3+6H2y2)(3H4) 立柱動能T柱為：(利用柱頂速度V=Xm及柱質(zhì)量m=H) 2924044536278242223424020)257. 0(2145144)3(23648288)3(264)3(21)(21VmHHVdyyHyHyHHyyHXyHHyyHXdyxdyTHmmHH柱故等效質(zhì)量取柱質(zhì)量的0.257倍，約m/4因此，這里有模型的選取問題。 計算地震作用計算地震作用Fek時：時：立柱質(zhì)心在h/2處，慣性力為ma/2=a(m/2) 單層鋼筋混凝土框架計算簡圖如圖所示。集中在屋蓋處的重力荷載代表值G12

22、00kN，梁的抗彎剛度EI，柱的截面尺寸bh350mm350mm，采用C20混凝土，類場地，設防烈度7度(近震)。試確定按第一階段設計時的水平地震作用標準值，并繪出相應地震內(nèi)力圖。 解解(1) (1) 求水平地震作用標準值求水平地震作用標準值 C20混凝土的彈性模量E25.5kNmm2，柱的慣性矩：（為什么？見下頁）（為什么？見下頁）框架自振周期(注意梁的抗彎剛度EI，無變形)：也可用： P=1EI在力P和力偶M作用下，自由端的轉角分別為：P= - PL2/2EIM= ML/EIP=1M自由端是固支端，轉角為零P+M=0所以： M=PL/2在力P和力偶M=PL/2共同作用下，自由端的撓度為：=

23、P+M= - PL3/3EI+ ML2/2EI= - PL3/12EI由K=P得K=12EI/L3 圖參見右圖M由P49表3-1，當設防烈度為7度、多遇地震時，max0.08，由表3-2，當類場地、近震時Tg0.40 s按式(3-40)計算地震影響系數(shù)式(3-37)計算水平地震作用標準值：(2) 求地震內(nèi)力標準值，并繪出內(nèi)力圖求地震內(nèi)力標準值，并繪出內(nèi)力圖 求得水平地震作用標準值FEk45.6kN后，就可把它加到框架橫梁標高處，按靜載計算框架地震內(nèi)力V和M。地震內(nèi)力V圖(剪力圖)、M圖(彎矩圖)見圖。 2.4 多自由度體系的彈性地震反應多自由度體系的彈性地震反應 2.4.1 多自由度體系的自由

24、振動多自由度體系的自由振動1、自振頻率、自振頻率(1) 剛度法圖示框架，模型簡化如圖3-27(b)、(c)所示，mi、hi、ki及xi分別表示第i層的質(zhì)量、層高、柱的剪切剛度及水平位移。 受力分析如圖3-28，由理論力學達朗貝爾原理，有 或或 k22k12x=1k11K21x=1k1k2設解為： 所以： 式(3-47)為振幅方程。 振幅Xl及X2不同時等于零的條件是系數(shù)行列式等于零，即或式(3-49)稱為頻率方程。1稱為第一自振頻率或基頻；2稱為第二自振頻率。對于多層框架的多自由度體系，有頻率方程：剛度矩陣K是對稱三對角矩陣。 如果考慮的是空間問題或一般的振動系統(tǒng)，則K將不是三對角矩陣。質(zhì)量矩

25、陣M是對角矩陣由頻率方程(3-53)，可以得到n個固有頻率和相應的振型。 (2) 柔度法柔度法仍以二層框架為例，任一瞬時，質(zhì)點l及質(zhì)點2在慣性力作用下的位移為： 21P=11112P=122設與剛度法一樣，有Xl和X2不同時等于零的條件：21,2或：對于一般的多自由度體系，柔度法建立的系統(tǒng)運動微分方程：柔度矩陣通常為滿陣： 質(zhì)量矩陣與前面一樣是對角陣。 頻率方程： 1K柔度矩陣與剛度矩陣K互逆，即求圖示三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。 k1k2k3m1m2m31x2x3x解解剛度法：令剛度法：令x x1 1=1=1，x x2 2= x= x3 3=0=0，有，有 k11=k1+k2 k21=

26、 - k2 k31= 0同理：k22=k2+k3 k12= - k2 k32= - k3 k23= - k3m1k1k2k11m2k2k21 333322221kkkkkkkkkK00剛度矩陣kij描述了質(zhì)點i與j的聯(lián)系。柔度法：柔度法：在m1 上加單位力，各質(zhì)量的位移分別為： 11 1/k1 21 31 11 1/k1k1k2k3m1m2m3P=1k1k2k3m1m2m3P=1k1k2k3m1m2m3P=1同理，在m2 上加單位力，各質(zhì)量的位移分別為： 12 1/k1 22 1/k1 1/k2 32 1/k1 1/k2 在m3 上加單位力，各質(zhì)量的位移分別為： 13 1/k1 23 1/k1

27、1/k2 33 1/k11/k21/k3 柔度矩陣為： 3222211111111111111kkkkkkkkkkkkkk111111111可以驗證：K-1 對彈性系統(tǒng)來說，總存在剛度矩陣總存在剛度矩陣，但不一定存在但不一定存在柔度矩陣柔度矩陣，當系統(tǒng)中存在剛體位移（模態(tài)）時，就是這種情況，此時，剛度矩陣K是奇異的，矩陣行列式等于零，因而不存在逆矩陣。如上面k1=0 2、主振型、主振型 從頻率方程求出1和2后，將其分別代入振幅方程(3-47) (剛度法)或式(3-56)(柔度法)，可得到相應的位移幅值。由于振幅方程的系數(shù)行列式等于零，所以(3-47)的兩個方程并非獨立，由其中任一式可求振幅比：

28、 兩自由度系統(tǒng)具有兩個固有頻率1 與2 ，說明系統(tǒng)具有兩種可能的同步運動，每個同步運動對應一個固有頻率，即解有下列兩個形式： 頻率1 ： x1 (t)X11 Sin(1 t1 ) x2 (t)X12 Sin(1 t1 ) 頻率2 ： x1 (t)X21 Sin(2 t2 ) x2 (t)X22 Sin(2 t2 )振幅的比值為一常數(shù)。 對應每個自振頻率，都有一個振幅比，體系按某一彈性曲線形狀發(fā)生振動。這種振動形式通常稱為主振型，或簡稱振型。1對應第一振型或基本振型；2對應第二振型?？梢宰C明，對第一振型，X11與X12正負相同，對第二振型， X21與X22正負相反。振型如圖3-29(a)與(b)

29、。對于柔度法對于柔度法，有 2212211112XXXX令 系統(tǒng)的運動在一般情況下是這兩個同步運動的疊加： x1 (t)X11 Sin(1 t1 )X21 Sin(2 t2 ) x2 (t)X12 Sin(1 t1 )X22 Sin(2 t2 ) 1 X11 Sin(1 t1 )2 X21 Sin(2 t2 ) (3-64)寫成矩陣形式： )sin(1)sin(1)()(222121111121tXtXtxtx)sin()sin(112221111121tXtX四個積分常數(shù)X11 、X21 、1 和2 由初始條件確定。 稱為第二主振型。稱為第一主振型，221111uu21和u1稱為第一特征對，

30、22和u2稱為第二特征對。對于n自由度系統(tǒng)，有2i和ui(i=1,2,n)。3、主振型的正交性、主振型的正交性 特征對2i與ui(i=1,2,n)滿足特征矩陣方程(3-52)，即 （K 2iM）ui 0或 Kui 2iMui (a)對任意j，同樣有 Kuj 2jMuj (b)將(a)式兩邊轉置后右乘uj ，得 uTi Kuj 2i uTi Muj (c)對(b)式左乘uTi ，得 uTi Kuj 2j uTi Muj (d)(c)(d)兩式相減，得： 0(2i 2j ) uTi Muj 若ij，則i j ，于是 uTi Muj 0因而 uTi Kuj 0說明各個主振型關于M與K存在加權正交性。

31、記 Mi uTi Mui Ki uTi Kui 則 i Ki /Mi Mi 與Ki 分別稱為第i階模態(tài)質(zhì)量與模態(tài)剛度。 例題3-5某兩層鋼筋混凝土框架，如圖3-30所示，假定橫梁的剛度很大而可不考慮其彎曲變形；柱的截面積為40cm50cm，混凝土 彈 性 模 量 E 2.6107kNm2；一、二層 的 質(zhì) 量 為 m1= m25l04kg。試求該框架的自振頻率與振型。 解解：1 計算各層的剪切剛度計算各層的剪切剛度 I1=I2=0.40.53/12=0.05/12m4 注意：為什么這里k1=k2=12EI/h3而不是P51圖3-26的k =3EI/h3？因為圖3-26是懸臂梁，這里是固支固支梁

32、！P=1圖圖3-26 兩跨單層廠房剖面及其計算簡圖兩跨單層廠房剖面及其計算簡圖 P=1EI在力P和力偶M作用下，自由端的轉角分別為：P= - PL2/2EIM= ML/EIP=1M自由端是固支端，轉角為零P+M=0所以 M=PL/2在力P和力偶M=PL/2共同作用下，自由端的撓度為：=P+M= - PL3/3EI+ ML2/2EI= - PL3/12EI由K=P得K=12EI/L32 用剛度法求自振頻率用剛度法求自振頻率由式(3-49) 得 3 用柔度法求自振頻率用柔度法求自振頻率 由式(358)可求出相同的結果： 4 求主振型求主振型 當1=12.61時 當2=33.0時2.4.2 多自由度

33、體系彈性地震反應的振型分解法多自由度體系彈性地震反應的振型分解法1、多自由度體系在地震作用下的運動微分方程、多自由度體系在地震作用下的運動微分方程圖示多自由度體系框架結構，設基礎為剛性平面，地面位移為xg(t)，xi(t)表示質(zhì)點i的相對位移。 作用力有)683(, 2 , 1nixxmfigiiI 慣性力：)693(, 2 , 12211nixCxCxCfnniiiiD阻尼力：式中：Cim由點m產(chǎn)生的單位速度在點i產(chǎn)生的阻尼力； kim由點m產(chǎn)生的單位位移在點i產(chǎn)生的彈性反力)703(, 2 , 12211nixkxkxkfnniiiiS彈性恢復力：圖圖3-22 多層框架計算簡圖多層框架計算

34、簡圖 由達朗貝爾原理： 即 質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣分別為： 2、多自由度體系地震反應的振型分解法、多自由度體系地震反應的振型分解法 運動微分方程(3-72)是耦合的，即微分方程之間相互聯(lián)系。為了解耦，可以利用主振型關于M與K的加權正交性。 (1) 阻尼矩陣假定阻尼矩陣假定 設 (2) 廣義坐標廣義坐標 進行主坐標變換： 即 式中： 為廣義坐標向量； X為變換矩陣，由n個特征向量Xi所構成。 Tn21qqqq(3) 振型參與系數(shù)振型參與系數(shù) 式(3-80a)兩邊左乘XjTm，得 考慮到振型關于M與K的加權正交性 uTi Muj 0 uTi Kuj 0或 XiT MX j 0 XiT KX j 0有由(3-83)和(3-84)得第j個廣義坐標qj：對于x1x2xn=1的特殊情況，用j代替qj，有 式中j稱為地震反應中第第j振型振型的振型參與系數(shù)振型參與系數(shù)，Xji為振型矩陣的第j行第i列元素。(4) 廣義坐標微分方程及其解廣義坐標微分方程及其解 將式(3-77)、(3-80a)代入(3-72)，并左乘XjT，得 由振型關于m與K的加