朱磊5.5__直線與圓的位置關(guān)系(2)-----切線的判定與性質(zhì)2

1、 在RtABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C為圓心，r為半徑的圓與AB有怎樣的位置關(guān)系？為什么？（1）r=2cm；（2）r=2.4cm (3)r=3cmBCA43分析：分析：要了解要了解AB與與 C的位置的位置關(guān)系，只要知道圓心關(guān)系，只要知道圓心C到到AB的的距離距離d與與r的關(guān)系已知的關(guān)系已知r，只需求，只需求出出C到到AB的距離的距離d。怎樣求？怎樣求？圖上圖上有沒有？有沒有？ 朝花夕拾D如何作出？如何作出？贛榆縣黑林中學(xué) 朱磊 1.1.直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系在圖（在圖（1 1）、圖（）、圖（2 2）、圖（）、圖（3 3）中的直線）中的直線L L與圓與圓OO是

2、是什么位置關(guān)系？什么位置關(guān)系？一、復(fù)習(xí)、發(fā)現(xiàn)問題一、復(fù)習(xí)、發(fā)現(xiàn)問題llOl圖（1）圖（2）圖（3）2 2、觀察、提出問題、分析問題、觀察、提出問題、分析問題 圖（圖（2 2）中直線）中直線L L是是圓圓OO的切線，你是怎樣判斷的？的切線，你是怎樣判斷的？（1 1）定義法：）定義法：直線與圓有唯一公共點(diǎn)直線與圓有唯一公共點(diǎn)（2 2）d d與與r r關(guān)系：關(guān)系：圓心到直線的距離等于圓的半徑圓心到直線的距離等于圓的半徑切線判定有以下兩種方法切線判定有以下兩種方法: : 1. 1.利用切線的定義利用切線的定義: :與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線。切線。 2. 2.利用利用

3、d d與與r r的關(guān)系作判斷的關(guān)系作判斷: :當(dāng)當(dāng)d dr r時(shí)直線是圓的切線。時(shí)直線是圓的切線。 3. 3.A AO O結(jié)論：直線結(jié)論：直線CDCD就是就是OO的切線的切線C CDD在作圖的過程中發(fā)現(xiàn)在作圖的過程中發(fā)現(xiàn): : OA=r OA=r OA=d OA=d 即即d=rd=r 請(qǐng)按照下述步驟畫圖：請(qǐng)按照下述步驟畫圖：如圖如圖, ,在在OO上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)A,A,連結(jié)連結(jié)OA,OA,過點(diǎn)過點(diǎn)A A作直線作直線CDOACDOA。（見。（見P P9191. .活動(dòng)一）活動(dòng)一） 思考以下問題：思考以下問題：（1 1）圓心）圓心O O到直線到直線CDCD的距離與圓的半徑有什么關(guān)系？的距離與圓

4、的半徑有什么關(guān)系？ （2 2）直線）直線CDCD與與OO有什么位置關(guān)系？有什么位置關(guān)系？探究一探究一: :一、探索一、探索切線切線判定判定直線直線CDCD的特征的特征: :(1)(1)經(jīng)過半徑的外端經(jīng)過半徑的外端(2)(2)與半徑垂直與半徑垂直結(jié)論：直線結(jié)論：直線CDCD就是就是OO的切線的切線探究一探究一: :A AO OC CDD經(jīng)過經(jīng)過半半（直直）徑）徑的外端的外端并且并且垂直于這條半徑垂直于這條半徑的直線是的直線是圓的切線。圓的切線。一、切線的判定定理一、切線的判定定理 OA OA是半徑，是半徑，OAOACDCD于于A A CDCD是是OO的切線。的切線。（兩個(gè)條件（兩個(gè)條件切線判定有

5、以下三種方法切線判定有以下三種方法: : 1. 1.利用切線的定義利用切線的定義: :與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線。圓的切線。 2.2.利用利用d d與與r r的關(guān)系作判斷的關(guān)系作判斷: :當(dāng)當(dāng)d dr r時(shí)直線是圓的時(shí)直線是圓的切線。切線。 3.3.利用切線的判定定理利用切線的判定定理: :經(jīng)過半徑的外端并且垂經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。直于這條半徑的直線是圓的切線。如圖如圖, ,ABCABC內(nèi)接于內(nèi)接于O,ABO,AB是是OO的直的直徑徑,CAD=ABC.,CAD=ABC.判斷直線判斷直線ADAD與與OO的位置關(guān)的位置關(guān)系系, ,并說明理由

6、并說明理由. .DDOOA AB BC CDDOOA AB BC C 如圖如圖, ,ABCABC內(nèi)接于內(nèi)接于O, CAD=ABC.O, CAD=ABC.判斷直線判斷直線ADAD與與OO的位置關(guān)系的位置關(guān)系, ,并說明理由并說明理由. .變式變式: :E E注：證明一條直線是圓的切線時(shí)，如果這條直線與圓的公共點(diǎn)已確注：證明一條直線是圓的切線時(shí)，如果這條直線與圓的公共點(diǎn)已確定，則定，則連結(jié)這點(diǎn)和圓心連結(jié)這點(diǎn)和圓心，證明，證明直線垂直于經(jīng)過這點(diǎn)的半徑或直徑直線垂直于經(jīng)過這點(diǎn)的半徑或直徑. .分析：由于分析：由于ABAB過過OO上的點(diǎn)上的點(diǎn)C C，所以連接，所以連接OCOC，只要證明，只要證明 ABO

7、CABOC即可。即可。 證明：連結(jié)證明：連結(jié)OC(OC(如圖如圖) )。 OA OAOB,CAOB,CACB, CB, ABOC( ABOC(三線合一三線合一) ) OC OC是是OO的半徑的半徑 AB AB是是OO的切線。的切線。 再次強(qiáng)調(diào)：證明一條直線是圓的切線時(shí)，如果這再次強(qiáng)調(diào)：證明一條直線是圓的切線時(shí)，如果這條直線與圓的公共點(diǎn)已確定，則條直線與圓的公共點(diǎn)已確定，則連結(jié)這點(diǎn)和圓心，連結(jié)這點(diǎn)和圓心，證證明明直線直線垂直垂直于經(jīng)過于經(jīng)過這點(diǎn)這點(diǎn)的的半徑半徑或直徑或直徑. .證明：過證明：過O O作作OEACOEAC于于E E。 AO AO平分平分BACBAC，ODABODAB ODAB OD

8、AB于點(diǎn)于點(diǎn)D D OE OEODOD OD OD是是OO的半徑的半徑 OE OE也是半徑也是半徑 AC AC是是OO的切線。的切線。練習(xí)練習(xí)1 1與練習(xí)與練習(xí)2 2的證法有何不同的證法有何不同? ? (1)(1)如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn)如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn), ,則連結(jié)這點(diǎn)和則連結(jié)這點(diǎn)和圓心圓心, ,得到輔助半徑得到輔助半徑, ,再證所作半徑與這直線垂直。再證所作半徑與這直線垂直。簡(jiǎn)記為：簡(jiǎn)記為：有交點(diǎn)有交點(diǎn), ,連半徑連半徑, ,證垂直證垂直。 (2) (2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點(diǎn)點(diǎn), ,則過圓心作直線的垂線段為輔助線則過圓心作直線的垂

9、線段為輔助線, ,再證垂線再證垂線段長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)。簡(jiǎn)記為：段長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)。簡(jiǎn)記為：無交點(diǎn)無交點(diǎn), ,作垂直作垂直, ,證半證半徑徑。 試一試：（試一試：（書本書本P P131131） 如圖如圖,AB,AB是是OO的直的直徑徑,B=45,B=45,AB=AC.,AB=AC.判斷判斷ACAC與與OO的位的位置關(guān)系置關(guān)系, ,并說明理由并說明理由. .OOB BA AC C二、探索二、探索切線切線性質(zhì)性質(zhì) 如圖如圖, ,直線直線CDCD與與OO相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)A,A,直徑直徑ABAB與直線與直線CDCD有怎樣的位置關(guān)系有怎樣的位置關(guān)系? ?說說你的理由說說你的理由. . 直徑直徑ABAB垂直于直線垂

10、直于直線CD.CD. 議一議議一議n老師期望老師期望:n圓的對(duì)稱性已經(jīng)在你心中落地生根圓的對(duì)稱性已經(jīng)在你心中落地生根.n小穎小穎的理由是的理由是: :n右圖是軸對(duì)稱圖形右圖是軸對(duì)稱圖形,AB,AB是對(duì)稱軸是對(duì)稱軸, ,n沿直線沿直線ABAB對(duì)折圖形時(shí)對(duì)折圖形時(shí),AC,AC與與ADAD重重合合, ,因此因此,BAC=BAD=90,BAC=BAD=90. .CDBOA探索探索切線切線性質(zhì)性質(zhì) 小亮小亮的理由是的理由是: :直徑直徑ABAB與直線與直線CDCD要么垂直要么垂直, ,要么不垂直要么不垂直. . 假設(shè)假設(shè)ABAB與與CDCD不垂直不垂直, ,過點(diǎn)過點(diǎn)O O作作OMCD,OMCD,垂足為垂

11、足為M,M, 議一議議一議n則則OMOA,OMOA,即圓心即圓心O O到直線到直線CDCD的距離的距離小于小于OO的半徑的半徑, ,因此因此,CD,CD與與OO相相交交. .這與已知條件這與已知條件“直線直線CDCD與與OO相切相切”相矛盾相矛盾. .CDBOAn所以所以ABAB與與CDCD垂直垂直. .M二、切線二、切線的性質(zhì)定理的性質(zhì)定理 參考小穎和小亮的說理過程參考小穎和小亮的說理過程, ,請(qǐng)你寫出這個(gè)命題請(qǐng)你寫出這個(gè)命題 定理定理 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑. . 議一議議一議n如圖如圖nCDCD是是OO的切線的切線,A,A是切點(diǎn)是切點(diǎn), , CDOA.CDO

12、A.CDOA已知直線和圓相切時(shí)：常已知直線和圓相切時(shí)：常連接切點(diǎn)與圓心。連接切點(diǎn)與圓心。-輔助線輔助線BAOPC例例 題題例例2. PA2. PA、PBPB是是OO的切線，的切線，切點(diǎn)切點(diǎn)分別為分別為A A、B B，C C是是OO上一點(diǎn)，若上一點(diǎn)，若APB=40APB=40，求，求ACBACB的度數(shù)的度數(shù). .已知直線和圓相切時(shí)：常已知直線和圓相切時(shí)：常連接切點(diǎn)與圓心。連接切點(diǎn)與圓心。-輔助線輔助線（2012年連云港、年連云港、3分分）如圖，圓周角如圖，圓周角BAC55，分別過，分別過B、C兩點(diǎn)作兩點(diǎn)作 O的切線，兩的切線，兩切線相交與點(diǎn)切線相交與點(diǎn)P，則，則BPC 在解有關(guān)圓的切線問題在解有

13、關(guān)圓的切線問題時(shí)時(shí), ,常常需要作出過切點(diǎn)的半常常需要作出過切點(diǎn)的半徑徑. . 添輔添輔 助線：助線：( (遇到切點(diǎn)連半徑遇到切點(diǎn)連半徑) )1. 1. 判定切線的方法有哪些？判定切線的方法有哪些？直線直線l 與圓有唯一公共點(diǎn)與圓有唯一公共點(diǎn)與圓心的距離等于圓的半徑與圓心的距離等于圓的半徑經(jīng)過半徑外端且垂直這條半徑經(jīng)過半徑外端且垂直這條半徑l是圓的切線是圓的切線2. 2. 常用的添輔助線方法？常用的添輔助線方法？ 直線與圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，作出過公共點(diǎn)的半徑，再證直線與圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，作出過公共點(diǎn)的半徑，再證半徑垂直于該直線。（半徑垂直于該直線。（連半徑，證垂直連半徑，證垂直） 直線與圓的公共

14、點(diǎn)不確定時(shí)，過圓心作直線的垂線段，直線與圓的公共點(diǎn)不確定時(shí)，過圓心作直線的垂線段，再證明這條垂線段等于圓的半徑。（再證明這條垂線段等于圓的半徑。（作垂直，證半徑作垂直，證半徑）l是圓的切線是圓的切線l是圓的切線是圓的切線圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（遇到切點(diǎn)想到半徑遇到切點(diǎn)想到半徑）.點(diǎn)點(diǎn)O O是是DPCDPC的角平的角平分線上的一點(diǎn)，分線上的一點(diǎn)，OO與與PDPD相切于相切于A A， 求證：求證：PCPC與與OO相切相切. .DCBAOPE 證明一條直線是圓的切線時(shí)證明一條直線是圓的切線時(shí): : 直線與圓直線與圓“無無”交點(diǎn)時(shí)，過圓心作直線的垂交點(diǎn)時(shí)，過圓心作直線的垂線，證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑線，證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑. .G GO OE EB BD DC CF FA A已知：如圖已知：如圖, ,在在ABCABC中中,AD