微積分i老師一正項級數(shù)及其審斂法定義這種級數(shù)稱為正項級數(shù)定理常數(shù)項級數(shù)的

1、一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法定義定義: :10nnnuu 如果級數(shù)中各項均有，如果級數(shù)中各項均有，這種級數(shù)稱為這種級數(shù)稱為正項級數(shù)正項級數(shù). .1.1.定理：定理：1nnu 正項級數(shù)收斂的充分必要條件正項級數(shù)收斂的充分必要條件 .nS是它的部分和數(shù)列有上界是它的部分和數(shù)列有上界 10.nnnnuuSM 即收斂部分和即收斂部分和4.2 常數(shù)項級數(shù)的判別法常數(shù)項級數(shù)的判別法 1，01,2,nnnuun 證因為是正項級數(shù)所以證因為是正項級數(shù)所以 ，nS則單調不減則單調不減123.nSSSS即即1,limnnnnuS 若級數(shù)收若級數(shù)收必要性:必要性:斂 則存在,斂 則存在,lim.nn

2、SS 記為記為 ：nS由極限與數(shù)列有界的關系知數(shù)列必有界.由極限與數(shù)列有界的關系知數(shù)列必有界. nS如果數(shù)列如果數(shù)列充分性:充分性:有上界,有上界,由單調增加且有上界的數(shù)列必有極限可知,由單調增加且有上界的數(shù)列必有極限可知,limnnS存在.存在.1nnu 正項級數(shù)收斂.正項級數(shù)收斂.：注注1nnu 正項級數(shù)發(fā)散的充分必要條件是正項級數(shù)發(fā)散的充分必要條件是lim.nnnSS 它的部分和滿足它的部分和滿足證明證明12nnSuuu且且1(1)nnv 設設nnuv , , 即部分和數(shù)列有界即部分和數(shù)列有界1nnu. 收斂收斂11nnnnuv設和均為正項級數(shù)，設和均為正項級數(shù)，2. 比較判別法比較判別

3、法12nvvv 111 2nnnnnnuvn, ,vu且，若收斂，則收斂；且，若收斂，則收斂；11nnnnuv.反之，若發(fā)散，則發(fā)散反之，若發(fā)散，則發(fā)散nnS 則則(2)()nSn 設設nnuv , 且且 1nnv. 發(fā)散發(fā)散定理證畢定理證畢. . 1nnnnnnuvkukuv 發(fā)散發(fā)散推論：若收斂，且推論：若收斂，且 10nnnN , kv. ，則收，則收發(fā)散發(fā)散斂斂112 sin.3nnn 例判別的斂散性例判別的斂散性2 sin0,3nn 解解12 sin3nnn 為正項級數(shù),為正項級數(shù),2 sin3nnnu 且且213q 12 sin3nnn 由比較判別法知級數(shù)收斂.由比較判別法知級數(shù)收

4、斂.23nn 21,2,3nn 123ni級數(shù)()收斂級數(shù)()收斂解解1P, 設設11p,nn P. 則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散1P, 設設oyx1(1)pypx1234由圖可知由圖可知11nPPndxnx 111123nPPPSn2111nPPndxdxxx 20PP例討論級數(shù)例討論級數(shù)11111234PPPP.n的斂散性的斂散性11nPdxx 1111(1)1PPn 111P nS,即有界即有界P. 則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂11,1,PnPPnP 當時 收斂;當時 收斂;1 1級數(shù)級數(shù)當時 發(fā)散.當時 發(fā)散.重要參考級數(shù)重要參考級數(shù): : 幾何級數(shù)幾何級數(shù), P - -級數(shù)級數(shù), , 調和級數(shù)調和級

5、數(shù). .記住此結論記住此結論證明證明111(1),nn n 111n,n 而級數(shù)發(fā)散而級數(shù)發(fā)散11(1)n.n n 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散 1131n.n n 例證明級數(shù)發(fā)散例證明級數(shù)發(fā)散3. .比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式: :11limnnnnnnnuuvlv 設與都是正項級數(shù)，若，設與都是正項級數(shù)，若， 10l 則當時，二級數(shù)有相同的斂散性.則當時，二級數(shù)有相同的斂散性. 1120nnnnlvu. 當時，若收斂，則收斂當時，若收斂，則收斂 113nnnnlvu. 當時，若發(fā)散，則發(fā)散當時，若發(fā)散，則發(fā)散證明證明(1)limnnnulv 由由02l, 對于對于N , nN, 當時當時

6、22nnlulllv3()22nnnllvuvnN即即由比較判別法的推論由比較判別法的推論, , 得證得證.解解 11sinlim1nnn1, 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.例例4 判定下列級數(shù)的斂散性判定下列級數(shù)的斂散性: 11111sin23nnn,.nn 13lim13nnnn 21lim13nnn 1, 113nn, 且收斂且收斂故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂. .證明證明, 當 為數(shù)時當 為數(shù)時0, 對對N , nN, 當時當時1nnu,u 有有1()nnunNu 即即4. 比值審斂法比值審斂法(達朗貝爾達朗貝爾DAlembert判別法判別法)： 11limnnnnnuuu 設是正項級數(shù)，如果為數(shù)

7、或，設是正項級數(shù)，如果為數(shù)或，111則時級數(shù)收斂；時級數(shù)發(fā)散；時失效.則時級數(shù)收斂；時級數(shù)發(fā)散；時失效.1, 當時當時1, 當時當時1, 取取1r,使使11mNmNuru, 21NNuru, 2321NNNurur u,111mNmru, 而級數(shù)收斂而級數(shù)收斂11Nmumn Nuu, 收斂收斂收斂收斂1,取取1r,使使nN, 當時當時1nnnuruu , lim0nnu. 發(fā)散發(fā)散1. 當當 時比值審斂法失效時比值審斂法失效;1 11nn 例 級數(shù)發(fā)散，例 級數(shù)發(fā)散， 1 211nn 級數(shù)收斂.級數(shù)收斂.2. 條件是充分的條件是充分的, , 而非必要而非必要.注注解解 111(1)!1!nnu

8、nun 11n 0 ()n, 11!n.n 故級數(shù)收斂故級數(shù)收斂例例5 判別下列級數(shù)的收斂性判別下列級數(shù)的收斂性: 111!nn 1!210nnn 113(21) 2nnn ()n, 11(1)! 10!10nnnnunun 110n 1!10nnn. 故級數(shù)發(fā)散故級數(shù)發(fā)散 1!210nnn 解解211(21) 2,nnn 211n,n 級數(shù)收斂級數(shù)收斂112(21)n.nn 故級數(shù)收斂故級數(shù)收斂解解 113(21) 2nnn 1nnnnun 1n 0 ()n 級數(shù)收斂級數(shù)收斂.5. 根值審斂法根值審斂法 (柯西判別法柯西判別法)： 1limnnnnnuu 設是正項級數(shù)，如果為數(shù)或，設是正項級

9、數(shù)，如果為數(shù)或，111.則時級數(shù)收斂；時級數(shù)發(fā)散；時失效則時級數(shù)收斂；時級數(shù)發(fā)散；時失效11nnn 例如級數(shù)，例如級數(shù)，例6討論下列級數(shù)的斂散性:例6討論下列級數(shù)的斂散性: 110 ;1nnanan lim1nnnann 1a 時,時,解解lim,1nanan 11nnann 級數(shù)收斂;級數(shù)收斂;1a 時,時,11nnann 級數(shù)發(fā)散;級數(shù)發(fā)散;11,1nnnan 時, 級數(shù)為時, 級數(shù)為limlim1nnnnnun 1lim11nnn 10,e11，1nnnan 時級數(shù)發(fā)散.時級數(shù)發(fā)散.不滿足級數(shù)收斂的必要條件,不滿足級數(shù)收斂的必要條件, 12,、 、0,nnnnnbaa naaba 其中其

10、中.ab 且且,nnnbua 解解limnnba limlimnnnnnnnbua .ba 111,，1,，nnnnnnbbabaababbabaa 即時收斂;即時收斂;即時發(fā)散.即時發(fā)散.:例7判斷級數(shù)斂散性例7判斷級數(shù)斂散性解解11()nnnnnnunn 121(1)nnn,n 11(1);1()nnnnnnn 21lim(1)nnn01e;2121lim(1) nnnn 11limlimnxnxnx 1limln xexpxx 1limxexpx 01e;lim10nnu,根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散21cos3(2);2nnnn 解解2cos32

11、nnnnu 2nnnv, 令令111 2limlim2nnnnnnvnvn 1lim2nnn 112,12nnn, 收斂收斂根據(jù)比較判別法根據(jù)比較判別法，原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂2nn, 1ln(2)(3)(0)1()nnna.an 解解ln(2)limlim1nnnnnnuan 1limln(2)nnn,a22nn, ne ,時時1ln(2)nnnn, lim1nnn, limln(2)1nnn,1limnnnu.a 1011a,a當即時當即時原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散；1a, 當時當時1ln(2)1(1)nnn,n 原級數(shù)為原級數(shù)為ln(2)lim1(1)nnn,n 原級數(shù)也發(fā)散原級數(shù)也發(fā)散1 1當

12、當a1a1時時，即即0101原原級級數(shù)數(shù)收收斂斂. .a a二、交錯級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法定義定義: : 正、負項相間的級數(shù)稱為正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)交錯級數(shù). .111(1)(1) nnnnnnuu 或或(0)nu 其中其中 12(1 2 3)nnuun, , , 1 lim0nnu ；1nnru. 1Su nr則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂, 且其和且其和 , 其余項其余項 的絕對值的絕對值萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果如果 滿足條件滿足條件: 111nnnu 證明證明212322212()()nnnnSuuuuuu21234212()()()nnnSuuuuuu 且且1u 1

13、0nnuu, 21limnnSSu .2nS,數(shù)列是單調增加的數(shù)列是單調增加的2nS,數(shù)列是有界的數(shù)列是有界的21221limlim()nnnnnSSuS, 1S,Su .級數(shù)收斂于和且級數(shù)收斂于和且 121()nnnnruu, 余項余項12nnnruu,滿足收斂的兩個條件滿足收斂的兩個條件, ,1nnru. 定理證畢定理證畢.21lim0nnu, 11111111234nnn 例8判別級數(shù)例8判別級數(shù)的斂散性,并估計誤差.的斂散性,并估計誤差. 1111nnn 解為交錯級數(shù),解為交錯級數(shù),111;1nnuunn 1limlim0,nnnun 1111nnn 滿足萊布尼茲收斂定理條件,滿足萊布

14、尼茲收斂定理條件,原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂,111nnrun 且且解解2(1)()12(1)xxxx x 0 (2)x 1x,x 故函數(shù)單調遞減故函數(shù)單調遞減1nnuu, limlim1nnnnun 0. 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂. 211nnn.n 例9 判別級數(shù)的斂散性例9 判別級數(shù)的斂散性221sin()nna22sin()na解解：因因為為2222211sin()1sin.nnnananan所所以以nnan22sinnanan 2221sin222,annan 當當時時，002 2而而正正弦弦函函數(shù)數(shù)sinxsinx在在0, 0, 是是單單調調增增大大函函數(shù)數(shù)2 2所所以以又又萊萊布布尼尼茲茲

15、判判別別法法易易知知級級數(shù)數(shù)收收斂斂。三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂定義定義: : 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)任意項級數(shù). .證明證明1() (1 2)2nnnvuun, ,令令0nv, 顯然顯然nnvu , 且且1nnv, 收斂收斂11(2)nnnnnuvu,又又11nnnnuu.定理若收斂，則收斂定理若收斂，則收斂1nnu, 收斂收斂11nnnnuu定義：若收斂，則稱為定義：若收斂，則稱為絕對收斂；絕對收斂；111nnnnnnuuu若發(fā)散，而收斂，則稱若發(fā)散，而收斂，則稱條件收斂.條件收斂.解解22sin1n,nn 211n,n 而收斂而收斂21sinnn,n 收斂收斂故由定故由定義義知原級數(shù)絕對收斂知原級數(shù)絕對收斂. .21sin10nn.n 例判別級數(shù)的斂散性例判別級數(shù)的斂散性 21111nnnn 例判定級數(shù)是否收斂.若收斂,例判