1.2高斯公式與斯托克斯公式ppt課件

1、上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁教學(xué)目的：學(xué)會用高斯公式計算第二型曲面積教學(xué)目的：學(xué)會用高斯公式計算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計算第二型曲線積分分，用斯托克斯公式計算第二型曲線積分教學(xué)內(nèi)容：高斯公式；斯托克斯公式；沿空間教學(xué)內(nèi)容：高斯公式；斯托克斯公式；沿空間曲線的第二型積分與路徑無關(guān)的條件曲線的第二型積分與路徑無關(guān)的條件基本要求：學(xué)會用高斯公式計算第二型曲面積基本要求：學(xué)會用高斯公式計算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計算第二型曲線積分分，用斯托克斯公式計算第二型曲線積分掌握沿空間曲線的第二型積分與路徑無關(guān)的條掌握沿空間曲線的第二型積分與路徑無關(guān)的條件件上一頁上一頁 下一頁下一頁 主

2、主 頁頁高斯高斯(Gauss)公式公式斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁定理定理22.3 設(shè)空間閉區(qū)域設(shè)空間閉區(qū)域 V 由分片光滑的由分片光滑的在在V 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則有則有閉曲面閉曲面S 所圍成所圍成, S 的方向取外側(cè)的方向取外側(cè), 函數(shù)函數(shù) P, Q, R VzyxzRyQxPddd)( SyxRxzQzyPdddddd 一、高斯公式一、高斯公式上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁zyxzRdddyxRdd 下面先證下面先證:證明證明yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21設(shè)設(shè)為XY型區(qū)域

3、, 231zyxyxD, ),(:11yxzz ,321),(:22yxzz 那么上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁) ,(yxRyxyxRdd) ,(zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRddyxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁所以zyxzRdddyxRdd 假設(shè) 不是 XY型區(qū)域 , 則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個 XY型區(qū)域, 故上式仍成立 .正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消, 在輔助面類似可證 zyxyQdddyxRx

4、zQzyPdddddd zyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所證 Gauss 公式：上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁例例1 計算計算 Syxxzyxzxzyzxydd)(dddd)(22其中其中 S 是由是由 x = y = z = 0, x = y = z = a 六個平面所六個平面所圍的正立方體表面并取外側(cè)為正向圍的正立方體表面并取外側(cè)為正向.xyaaazo解解 Syxxzyxzxzyzxydd)(dddd)(22 Vzyxxzyzxyzxyxddd)()()(22 Vzyxxyddd)0( aaaxxyyz000d)(dd ayaaya0

5、2d)21(4a 上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁例例計算計算 Syxzxzyzyxdddddd222所圍的空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè)所圍的空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè).解解 VVzzyyxxd)()()(222222yxz 0 hz其中其中 S 為錐面為錐面與平面與平面xyzoh Syxzxzyzyxdddddd222 VVzyxd)(224h zDhyxzzddd20 hzzz02d2 VVzd2z222:zyxDz 上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁設(shè)設(shè) S1 為上半球體的底面，為上半球體的底面，例例計算計算 Syxzxzyzyxdddddd的外側(cè)的外側(cè).解解222yxaz 其中

6、其中 S 是上半球面是上半球面2221, 0:ayxzS VVd)111(取下側(cè)取下側(cè). 1ddddddSyxzxzyzyx SyxzxzyzyxddddddyxzxzyzyxSSSdddddd)(11 1ddddddSSyxzxzyzyx334213a 32 a 于是于是1SxyzSaao 1ddSyxz0 上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁斯托克斯公式建立了沿曲面斯托克斯公式建立了沿曲面 S 的曲面積分與沿的曲面積分與沿 S 的邊界曲線的邊界曲線 L 的曲線積分之間的聯(lián)系的曲線積分之間的聯(lián)系.對曲面對曲面 S 的側(cè)與其邊界曲線的側(cè)與其邊界曲線 L 的方向作如下規(guī)定：的方向作如下規(guī)定：設(shè)

7、人站在曲面設(shè)人站在曲面 S 上的指定一側(cè)，沿邊界曲線上的指定一側(cè)，沿邊界曲線 L 行走，行走，指定的側(cè)總在人的左方，則人前進(jìn)的方向為邊界曲線指定的側(cè)總在人的左方，則人前進(jìn)的方向為邊界曲線 L 的正向的正向.二、斯托克斯公式二、斯托克斯公式這個規(guī)定方法也稱為右手法則這個規(guī)定方法也稱為右手法則.上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁定理定理22.4 設(shè)光滑曲面設(shè)光滑曲面 S 的邊界的邊界 L 是按段光滑曲線是按段光滑曲線, xzxRzPzyzQyRSdddd LzRyQxPddd 同同 L ）上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則有）上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則有 S 的側(cè)與 L 的正向符合右手法則, RQP,在在

8、 S （連（連yxyPxQdd 上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁注意注意: 則斯托克斯公式就是格林公式則斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例故格林公式是斯托克斯公式的特例.假設(shè)假設(shè) S 是是 xoy 坐標(biāo)平面上的一塊平面區(qū)域坐標(biāo)平面上的一塊平面區(qū)域, 上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁為便于記憶為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作斯托克斯公式還可寫作: SRQPzyxyxxzzydddddd LzRyQxPddd 或用第一類曲面積分表示或用第一類曲面積分表示:SRQPzyxSdcoscoscos LzRyQxPddd 上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁yozx證

9、證:情形情形1 與平行與平行 z 軸的直線只交于軸的直線只交于 一點, 設(shè)其方程為yxDyxyxfz),(, ),(:n為確定起見, 不妨設(shè) 取上側(cè) (如圖). yxDC那么xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁yxyzzPyPyxDddSfzPyPydcos,cos2211yxff ,cos221yxyfffcoscosyfyozxnyxDC上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁因而SzPyPxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可證yQdzyzQyxxQddddx

10、RdxzxRzyyRdddd三式相加, 即得斯托克斯公式 ;上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁情形情形2 曲面曲面 與平行與平行 z 軸的直線交點多于一個軸的直線交點多于一個, 則可則可通過作輔助線面把通過作輔助線面把 分成與分成與z 軸只交于一點的幾部分軸只交于一點的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式, 然后相加然后相加, 由于沿輔助由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立類曲面斯托克斯公式仍成立. 證畢證畢上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁zxy111oABC Sz

11、yxxyzxzyyxxzzy2dddddd例例2. 利用斯托克斯公式計算積分利用斯托克斯公式計算積分 Lzxyyzxxzyd)(d)(d)2(其中其中 L 為平面為平面 x+ y+ z = 1 與各坐標(biāo)面的交線，與各坐標(biāo)面的交線，解解取逆時針方向為正向如圖所示取逆時針方向為正向如圖所示. 記三角形記三角形ABC為為 S , 取上側(cè)取上側(cè), 那么那么 Lzxyyzxxzyd)(d)(d)2(上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁zxy111oABC Szyxxyzxzyyxxzzy2dddddd Szydd)11( Syxxzzydddd2dd2 yzDzydd2 zxDxzdd2 xyDyxd

12、d 212212 21 23 xzdd)11( yxdd)21( 上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁 Szyxzyxyxxzzy1dddddd32例例. 利用斯托克斯公式計算積分利用斯托克斯公式計算積分 Lzzyxyxddd32其中其中 L 為為 y2+ z2 = 1 , x = y 所交的橢圓正向所交的橢圓正向.解解記以記以 L 為邊界的橢圓面為為邊界的橢圓面為 S , 其方向按右手法則其方向按右手法則確定，于是有確定，于是有 Lzzyxyxddd32上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁 Szyxzyxyxxzzy1dddddd32 Lzzyxyxddd32 Syxyxxzzydd)3

13、0(dd)00(dd)00(22 Syxyxdd3220 上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁例例. 為柱面為柱面 與平面 y = z 的交線,從 z 軸正向看為順時針, 計算.ddd2zxzyxyxyIoz2yx解解: 設(shè)設(shè) 為平面為平面 z = y 上被上被 所圍橢圓域所圍橢圓域 , 且取下側(cè),0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210則其法線方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理定理22.5 設(shè)設(shè) 是空間單連通區(qū)域是空間單連通區(qū)域, 函數(shù)函數(shù)

14、 P, Q, R 在在上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 則下列四個條件相互等價則下列四個條件相互等價: (1) 對對 內(nèi)任一按段光滑閉曲線內(nèi)任一按段光滑閉曲線 L, 有有0ddd LzRyQxP(2) 對對 內(nèi)任一按段光滑曲線內(nèi)任一按段光滑曲線 L, LzRyQxPddd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁(4) 在在 內(nèi)處處有內(nèi)處處有zPxRyRzQxQyP ,zRyQxPudddd (3) 在在 內(nèi)存在某一函數(shù)內(nèi)存在某一函數(shù) u, 使使上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁zyxyxzxzyd)(d)(d)(與路徑無關(guān), 并求函數(shù)zyxyxzxzyzyxuz

15、yxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0(解解: : 令令yxRxzQzyP,1xQyP,1yRzQyPxR1 積分與路徑無關(guān), ),(zyxuzyxxy)( yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyo),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xxxd00因而 例例3. 驗證曲線積分驗證曲線積分上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 高斯公式高斯公式 SyxRxzQzyPdddddd VzyxzRyQxPddd上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁2. 斯托克斯公式斯托克斯公式 LzRyQxPddd SzyxRQPyxxzzyddddddSRQPSzyx

16、dcoscoscos 上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁例例計算計算 SSxd,dd Szyx其中其中 S 為球面在第一卦限部分為球面在第一卦限部分 , 0, 0, 0, 1222 zyxzyx例例 設(shè)設(shè) S 與上例相同，取球面外側(cè)，與上例相同，取球面外側(cè)，,dd Sxzx Syxxdd分別計算下列積分分別計算下列積分 上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家, 是與阿基米德是與阿基米德, 牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家, 他的數(shù)學(xué)成就遍及各個領(lǐng)域他的數(shù)學(xué)成就遍及各個領(lǐng)域 , 在數(shù)論、在數(shù)論、 級數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng)級數(shù)、復(fù)變函數(shù)