1.2多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(3)ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則 一、鏈?zhǔn)椒▌t一、鏈?zhǔn)椒▌t 二、全微分形式的不變性二、全微分形式的不變性 三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題證證),()(tttu 則則);()(tttv 定理定理 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(tu 及及)(tv 都在點(diǎn)都在點(diǎn) t可導(dǎo)，函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)),(vufz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(vu具有連續(xù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù))(),(ttfz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算： dtdvvzdtduuzdtdz ，獲獲得得增增量量設(shè)設(shè)tt 一、鏈?zhǔn)椒▌t一、鏈?zhǔn)椒▌t1 1、復(fù)合

2、函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)由由于于函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(vu有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),21vuvvzuuzz 當(dāng)當(dāng)0 u，0 v時(shí)時(shí)，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 當(dāng)當(dāng)0 t時(shí)時(shí)， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為全導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).dtdz 定理定理 2 2 如果如果),(yxu 及

3、及),(yxv 都在點(diǎn)都在點(diǎn)),(yx具有對(duì)具有對(duì)x和和y的偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)),(vufz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(vu具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)),(),(yxyxfz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(yx的兩個(gè)偏的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算存在，且可用下列公式計(jì)算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz . 2 2、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)uvxzy上述法則如圖示上述法則如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 類似地再推廣，設(shè)類似地再推廣，設(shè)),(yxu 、),(yxv 、 ),(

4、yxww 都在點(diǎn)都在點(diǎn)),(yx具有對(duì)具有對(duì)x和和y的偏導(dǎo)數(shù)，復(fù)合的偏導(dǎo)數(shù)，復(fù)合 函數(shù)函數(shù)),(),(),(yxwyxyxfz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(yx的的 兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz . zwvuyx特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù),),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)把把),

5、(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似例例 1 1 設(shè)設(shè)vezusin ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例 2 2 設(shè)設(shè)tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costtte

6、t 例例 3 3 設(shè)設(shè)),(xyzzyxfw ，f具具有有二二階階 連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，求求xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(vufz 具具有有連連

7、續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有全全微微分分dvvzduuzdz ;當(dāng)當(dāng)),(yxu 、),(yxv 時(shí)時(shí)，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)：全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)： 無(wú)論無(wú)論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間的函數(shù)或中間變量變量 的函數(shù)，它的全微分形式是的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的一樣的.zvu、vu、二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 例例 4 4 已已知知02 zxyeze，求求xz 和和yz .解解, 0)2( zxyezed, 02)( d

8、zedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe1、鏈?zhǔn)椒▌t分三種情況）、鏈?zhǔn)椒▌t分三種情況）2、全微分形式不變性、全微分形式不變性（特別要注意課中所講的特殊情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）（理解其實(shí)質(zhì)）（理解其實(shí)質(zhì)）三、小結(jié)三、小結(jié)設(shè)設(shè)),(xvufz ，而，而)(xu ，)(xv ， 則則xfdxdvvfdxduufdxdz ， 試問試問dxdz與與xf 是否相同？為什么？是否相同？為什么？ 思考題思考題思考題解答思考題解答不不相相同同.等等式式左左端端的的z是是作作為為一一

9、個(gè)個(gè)自自變變量量 x的的函函數(shù)數(shù)， 而而等等式式右右端端最最后后一一項(xiàng)項(xiàng)f是是作作為為xvu,的的三三元元函函數(shù)數(shù)， 寫寫出出來(lái)來(lái)為為 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 一、填空題一、填空題: : 1 1、設(shè)、設(shè)xyyxzcoscos , ,則則 xz_； yz_. . 2 2、 設(shè)設(shè)22)23ln(yyxxz , ,則則 xz_； yz_._. 3 3、設(shè)、設(shè)32sinttez , ,則則 dtdz_._. 二二、設(shè)設(shè)uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . . 練練 習(xí)習(xí) 題題三、設(shè)三、設(shè))arctan(xyz , ,

10、而而xey , ,求求dxdz. .四、設(shè)四、設(shè)),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一階連續(xù)偏導(dǎo)有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)數(shù)) ), ,求求yzxz ,. .五、設(shè)五、設(shè))(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一階連續(xù)偏導(dǎo)有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)數(shù)),),求求.,zuyuxu 六、設(shè)六、設(shè)),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)),),求求 22222,yzyxzxz . .七、設(shè)七、設(shè),)(22yxfyz 其中為可導(dǎo)函數(shù)其中為可導(dǎo)函數(shù), , 驗(yàn)證驗(yàn)證: :211yzyzyxzx . . 八、設(shè)八、設(shè) ,),(其其中中yyxxz 具有二階導(dǎo)數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù), ,求求 .,2222yzxz 一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案三、三、xxexxedxdz221)1(