高二復(fù)習(xí)-推理及證明

1、推推理理與與證證明明推理推理證明證明合情推理合情推理演繹推理演繹推理直接證明直接證明數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法間接證明間接證明 比較法比較法類比推理類比推理歸納推理歸納推理 分析法分析法 綜合法綜合法 反證法反證法知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu) 1. 1.合情推理合情推理 (1)(1)歸納推理歸納推理 根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這樣性質(zhì)的推理，叫做歸納推事物的所有對象都具有這樣性質(zhì)的推理，叫做歸納推理，歸納是由特殊到一般的推理理，歸納是由特殊到一般的推理 歸納推理的思維過程：實(shí)驗(yàn)觀察歸納推理的思維過程：實(shí)驗(yàn)觀察概括、推廣概括、推廣猜

2、猜測一般性結(jié)論測一般性結(jié)論 (2)2)類比推理類比推理 根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似( (或一致或一致) )性，推性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似測其中一類事物具有與另一類事物類似( (或相同或相同) )的性的性質(zhì)的推理叫做類比推理，類比推理是由特殊到特殊的質(zhì)的推理叫做類比推理，類比推理是由特殊到特殊的推理推理 類比推理的思維過程：觀察、比較類比推理的思維過程：觀察、比較聯(lián)想、類推聯(lián)想、類推猜測新的結(jié)論猜測新的結(jié)論 2 2演繹推理演繹推理 根據(jù)一般性的真命題根據(jù)一般性的真命題( (或邏輯規(guī)則或邏輯規(guī)則) )導(dǎo)出特殊性命題為真的推理導(dǎo)出特殊性命題為真的

3、推理叫做演繹推理演繹推理是由一般性命題到特殊性命題的推叫做演繹推理演繹推理是由一般性命題到特殊性命題的推理理 (1)(1)演繹推理的特點(diǎn)演繹推理的特點(diǎn) 當(dāng)前提為真時，結(jié)論必然為真 (2)(2)演繹推理的一般模式演繹推理的一般模式“三段論三段論” 大前提大前提已知的一般原理；已知的一般原理； 小前提小前提所研究的特殊情況；所研究的特殊情況； 結(jié)論結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷 3 3直接證明直接證明 從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實(shí)性的證明稱為直接證明綜合法和分析直

4、接推證結(jié)論的真實(shí)性的證明稱為直接證明綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種方法，也是解決數(shù)學(xué)問題時常法是直接證明中最基本的兩種方法，也是解決數(shù)學(xué)問題時常用的思維方法用的思維方法 (1)(1)綜合法綜合法 從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等出發(fā)，經(jīng)過逐步從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等出發(fā)，經(jīng)過逐步的推理論證，最后達(dá)到待證的結(jié)論，這種證明方法叫綜合的推理論證，最后達(dá)到待證的結(jié)論，這種證明方法叫綜合法也叫順推證法或由因?qū)Чǚㄒ步许樛谱C法或由因?qū)Ч?(2)2)分析法分析法 從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要

5、證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件( (已知已知的條件、定理、定義、公理等的條件、定理、定義、公理等) )為止這種證明方法叫分析為止這種證明方法叫分析法也叫逆推證法或執(zhí)果索因法法也叫逆推證法或執(zhí)果索因法 4 4間接證明間接證明 (1)1)反證法的定義反證法的定義 一般地，由證明一般地，由證明p pq q轉(zhuǎn)向證明：轉(zhuǎn)向證明：q qr rt t，t t與與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾從而判斷假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾從而判斷q q為假，為假，推出推出q q為真的方法，叫做反證法為真的方法，叫做反證法 (2)(2)反證法的特點(diǎn)反證法的特點(diǎn) 先假設(shè)

6、原命題不成立，再在正確的推理下得出矛盾，先假設(shè)原命題不成立，再在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、公式或已被證明了的結(jié)論，或與定義、公理、定理、公式或已被證明了的結(jié)論，或與公認(rèn)的簡單事實(shí)等矛盾與公認(rèn)的簡單事實(shí)等矛盾 5 5數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法( (理理) ) 一個與自然數(shù)相關(guān)的命題，如果一個與自然數(shù)相關(guān)的命題，如果(1)(1)當(dāng)當(dāng)n n取第一值取第一值n n0 0時命題成立；時命題成立；(2)(2)在假設(shè)當(dāng)在假設(shè)當(dāng)n nk k( (k kN N，且，且k k n n0 0) )時命題成立的前提下

7、，推出時命題成立的前提下，推出當(dāng)當(dāng)n nk k1 1時題命題也成立，那么可以斷定，這個命題對時題命題也成立，那么可以斷定，這個命題對n n取第取第一個值后面的所有正整數(shù)成立一個值后面的所有正整數(shù)成立歸納推理 答案1000 (2014廣州市綜合測試)將正偶數(shù)2、4、6、8、按下表的方式進(jìn)行排列，記aij表示第i行第j列的數(shù)，若aij2014，則ij的值為()第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826第5行34363840 A.257B256 C254D253 答案C 解析依題意，注意到題中的數(shù)表中，奇數(shù)行空置第1列，偶數(shù)行空置第

8、5列；且自左向右，奇數(shù)行的數(shù)字由小到大排列，偶數(shù)行的數(shù)字由大到小排列；2014是數(shù)列2n的第1007項(xiàng)，且100742513，因此2014位于題中的數(shù)表的第252行第2列，于是有ij2522254，故選C. 方法規(guī)律總結(jié) 歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當(dāng)變形，使其具有統(tǒng)一的表現(xiàn)形式，便于觀察發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論類比推理 分析觀察E，F(xiàn)兩點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，E、F兩點(diǎn)的特征類似，E是BP與AC的交點(diǎn)，F(xiàn)是CP與AB的交點(diǎn)，故直線OE與OF的方程應(yīng)具有類似的特征，而y的系數(shù)相同，故只有x的系數(shù)滿足某種“對稱性”，據(jù)此

9、可作猜測 方法規(guī)律總結(jié) 類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對象之間的推理，其中一個對象具有某個性質(zhì)，則另一個對象也具有類似的性質(zhì)在進(jìn)行類比時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后仿照推導(dǎo)類比對象的性質(zhì)直接證明與間接證明 分析解答這類新定義題型，一定要先弄清新定義的含義，由條件知E數(shù)列an任意兩鄰兩項(xiàng)相差1，故可據(jù)此任意構(gòu)造E數(shù)列，同時，E數(shù)列an遞增an1an1. 解析(1)0,1,2,1,0是一個滿足條件的E數(shù)列A5. (答案不唯一.0,1,0,1,0也是一個滿足條件的E數(shù)列A5) (2)必要性：因?yàn)镋數(shù)列an是遞增數(shù)列， 所以ak1ak1(k1,2，1999) 所以an是首項(xiàng)為1

10、2，公差為1的等差數(shù)列 所以a200012(20001)12011. 充分性：由于a2000a19991， a1999a19981， a2a11， 所以a2000a11999，即a2000a11999. 又因?yàn)閍112，a20002011， 所以a2000a11999. 故ak1ak10(k1,2，1999)，即an是遞增數(shù)列 綜上，結(jié)論得證 點(diǎn)評綜合法與分析法是直接證明的兩種基本方法，是高考考查的重點(diǎn)，證題時，通常是運(yùn)用分析法，執(zhí)果索因，探尋使其成立的條件，然后運(yùn)用綜合法理順解題思路，規(guī)范寫出解答過程 方法規(guī)律總結(jié) 1在證明問題時，我們可以使用分析法，尋找解決問題的突破口，然后用綜合法寫出證

11、明過程，有時分析法與綜合法交替使用 2有些命題和不等式，從正面證如果不好證，可以考慮反證法凡是含有“至少”、“唯一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法即“正難則反” 反證法的步驟是： (1)假設(shè)：作出與命題結(jié)論相反的假設(shè)； (2)歸謬：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過合理的推理，導(dǎo)出矛盾的結(jié)果； (3)結(jié)論：肯定原命題的正確性數(shù)學(xué)歸納法(理) 方法規(guī)律總結(jié) 1與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)的整除性、數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問題，都可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明 2數(shù)學(xué)歸納法的主要步驟 (1)歸納奠基 證明當(dāng)n取第一個值n0(例如n01或2等)時結(jié)論正確； (2)歸納遞推 假設(shè)當(dāng)nk(kN N*，kn0)時結(jié)論正確(歸納假設(shè))，證明當(dāng)nk1時結(jié)論也正確 綜合(1)(2)知，對任何nN N*，命題均正確 在用數(shù)學(xué)歸納法證題中，從nk到nk1時一定要用到歸納假設(shè)，可以對nk1時的情況進(jìn)行適當(dāng)變換，突出歸納假設(shè)，這是證題的關(guān)鍵 3歸納推理可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但是其正確性需要通過證明來驗(yàn)證一般情況下，有關(guān)正整數(shù)的歸納、猜想問題，都需要由不完全歸納法得到猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想運(yùn)用“觀察分析歸納”解答歸納推