動量定理與其應(yīng)用

1、動量定理與其應(yīng)用 用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程解決質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)問題在數(shù)學(xué)上會遇到很大困用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程解決質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)問題在數(shù)學(xué)上會遇到很大困難。在許多工程問題中并不需要求出每個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，而是只需知難。在許多工程問題中并不需要求出每個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，而是只需知道質(zhì)點(diǎn)系整體的運(yùn)動特征就夠了。道質(zhì)點(diǎn)系整體的運(yùn)動特征就夠了。 動力學(xué)普遍定理包括動量定理、動量矩定理、動能定理。這動力學(xué)普遍定理包括動量定理、動量矩定理、動能定理。這些定理建立了表現(xiàn)運(yùn)動特征的量（動量、動量矩、動能）和表現(xiàn)些定理建立了表現(xiàn)運(yùn)動特征的量（動量、動量矩、動能）和表現(xiàn)力作用效果的量（沖量、沖量矩、功）之間的關(guān)系。力作用效果的量（沖

2、量、沖量矩、功）之間的關(guān)系。 在應(yīng)用普遍定理解決實際問題時，不僅運(yùn)算簡單，而且各個在應(yīng)用普遍定理解決實際問題時，不僅運(yùn)算簡單，而且各個量都具有明確的物理意義，便于更深入地研究機(jī)械運(yùn)動的規(guī)律。量都具有明確的物理意義，便于更深入地研究機(jī)械運(yùn)動的規(guī)律。 質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)動量的矢質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)動量的矢量和，稱為質(zhì)點(diǎn)系的動量，又稱量和，稱為質(zhì)點(diǎn)系的動量，又稱為質(zhì)點(diǎn)系動量的主矢。即：為質(zhì)點(diǎn)系動量的主矢。即： 質(zhì)點(diǎn)系的動量是自由矢，是度量質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動的基本特質(zhì)點(diǎn)系的動量是自由矢，是度量質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動的基本特征之一。具體計算時可采用其在直角坐標(biāo)系的投影形式。征之一。具體計算時可采用其在直角坐標(biāo)系的投影形式

3、。 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心位矢公式對時間的一質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心位矢公式對時間的一階導(dǎo)數(shù)：階導(dǎo)數(shù)： 式中，式中，rC為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的位矢；為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的位矢； vC為質(zhì)心的速度為質(zhì)心的速度；m為質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量。據(jù)此，質(zhì)點(diǎn)系的動量可改寫為為質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量。據(jù)此，質(zhì)點(diǎn)系的動量可改寫為： 這一結(jié)果表明，質(zhì)點(diǎn)系的動量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的這一結(jié)果表明，質(zhì)點(diǎn)系的動量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。這相當(dāng)于將質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量集中于質(zhì)心一點(diǎn)的動量，這也表乘積。這相當(dāng)于將質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量集中于質(zhì)心一點(diǎn)的動量，這也表明，質(zhì)點(diǎn)系的動量描述了質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動。明，質(zhì)點(diǎn)系的動量描述了質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動。 上述動量表達(dá)式對于剛體系也是正

4、確的。上述動量表達(dá)式對于剛體系也是正確的。 動量所描述的并不是質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動全部，因為它不能描述動量所描述的并不是質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動全部，因為它不能描述質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。 試求下列物體或系統(tǒng)的動量試求下列物體或系統(tǒng)的動量v60剛體：剛體：eR0F eaFCiimeaFCiim0Cv1Cr CeeR0 xixiFF0Cxa2CxvC解：解：1. 1. 確定系統(tǒng)的動量表達(dá)式。建立坐標(biāo)系如確定系統(tǒng)的動量表達(dá)式。建立坐標(biāo)系如圖示。根據(jù)圖示。根據(jù) 取四棱柱為動系，四棱柱體的速度為取四棱柱為動系，四棱柱體的速度為v，各物塊相，各物塊相對四棱柱體的速度為對四棱柱體的速度為vr，則，則 例9-1

5、解：解：2. 2. 確定四棱柱體的速度和四棱柱體相對地確定四棱柱體的速度和四棱柱體相對地面的位移。面的位移。 因不計一切摩擦，系統(tǒng)在水平方向上動量守恒因不計一切摩擦，系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，即，即 由此解得由此解得 2. 確定四棱柱體的速度和四棱柱體相對地確定四棱柱體的速度和四棱柱體相對地面的位移。面的位移。 又因為系統(tǒng)初始靜止，故在水平方向上質(zhì)心守恒。對上式積分，得到又因為系統(tǒng)初始靜止，故在水平方向上質(zhì)心守恒。對上式積分，得到四棱柱體的位移。四棱柱體的位移。 解解：3.3.確定對凸起部分的作用力，可以采確定對凸起部分的作用力，可以采用質(zhì)心運(yùn)動定理。用質(zhì)心運(yùn)動定理。 設(shè)物塊相對四棱柱體的加速

6、度為設(shè)物塊相對四棱柱體的加速度為a ar r，由于凸，由于凸起部分的作用，四棱柱體不動，起部分的作用，四棱柱體不動，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理，并注意到根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理，并注意到 得到四棱柱體對于地面凸起部分的水平作用力得到四棱柱體對于地面凸起部分的水平作用力故，四棱柱體的加速度故，四棱柱體的加速度a 極易由牛頓定律求出。極易由牛頓定律求出。 例例9-2 電動機(jī)的外殼和定子的總質(zhì)量為電動機(jī)的外殼和定子的總質(zhì)量為 m1 ,質(zhì)心質(zhì)心C1與轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 O1 重合；轉(zhuǎn)子質(zhì)量為重合；轉(zhuǎn)子質(zhì)量為 m2 ，質(zhì)心質(zhì)心 O2 與轉(zhuǎn)軸不重合，偏與轉(zhuǎn)軸不重合，偏心距心距 O1O2 = e 。若轉(zhuǎn)子以等角速度若轉(zhuǎn)子以等

7、角速度 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) （1） 求：電動機(jī)底座所求：電動機(jī)底座所受的水平和鉛垂約束力。受的水平和鉛垂約束力。解：解：1. 選擇包括外殼、定子、轉(zhuǎn)選擇包括外殼、定子、轉(zhuǎn)子的電動機(jī)作為研究對象。子的電動機(jī)作為研究對象。 2. 系統(tǒng)所受的外力：系統(tǒng)所受的外力：定子所受重力定子所受重力m1g;轉(zhuǎn)子所受重力轉(zhuǎn)子所受重力m2g;底座所受約束力底座所受約束力 Fx、Fy、M。FxFyM 2. 系統(tǒng)所受的外力系統(tǒng)所受的外力定子所受重力定子所受重力m1g;轉(zhuǎn)子所受重力轉(zhuǎn)子所受重力m2g;底座所受約束力底座所受約束力 Fx、Fy、M。3. 各剛體質(zhì)心的加速度各剛體質(zhì)心的加速度aC1 aO1=0 ;aC2 aO2e 2(

8、向心加速度向心加速度)FxFyMaO2 3. 各剛體質(zhì)心的加速度各剛體質(zhì)心的加速度aC1=aO1=0 ;aC2=aO2=e2(向心加速度向心加速度) 4. 應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理FxFyMaO2 OA3012BCRevavrvA30BCO1例例2 OA桿繞桿繞O軸逆時針轉(zhuǎn)動，均質(zhì)圓軸逆時針轉(zhuǎn)動，均質(zhì)圓盤沿盤沿OA桿桿純滾動純滾動。已知圓盤的質(zhì)量。已知圓盤的質(zhì)量m20 kg，半徑，半徑R100 mm。在圖示位。在圖示位置時，置時，OA桿的傾角為桿的傾角為30o，其角速度，其角速度 1 11 rad/s，圓盤相對，圓盤相對OA桿轉(zhuǎn)動的角桿轉(zhuǎn)動的角速度速度 2 24 rad/s，, 求求圓

9、盤圓盤的動量。的動量。100 3mmOB 于是于是所以所以p方向水平向右。方向水平向右。解解:取取C為動點(diǎn)，動系與為動點(diǎn)，動系與OA固連固連例例3 兩均質(zhì)桿兩均質(zhì)桿OA和和AB質(zhì)量為質(zhì)量為m，長為，長為l，鉸接于，鉸接于A。圖示位置時，。圖示位置時，OA桿桿的角速度為的角速度為 ，AB桿相對桿相對OA桿的角速度亦為桿的角速度亦為 。求此瞬時系統(tǒng)的動。求此瞬時系統(tǒng)的動量。量。解：由剛體系統(tǒng)的動量公式解：由剛體系統(tǒng)的動量公式其中：其中：方向水平向右。方向水平向右。mvC1mvC2OABC1C2r=ACACvvv22AB作平面運(yùn)動作平面運(yùn)動 例例4 圖示系統(tǒng)，重物圖示系統(tǒng)，重物A和和B的質(zhì)量分別為的

10、質(zhì)量分別為m1、m2。若。若A下降的加速度為下降的加速度為a，滑輪質(zhì)量不計。求支座，滑輪質(zhì)量不計。求支座O的反力。的反力。ABOaAvBvABOxyOxFOyFgm1gm2解：以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。解：以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。設(shè)設(shè)A下下降的速度為降的速度為vA，B上升的速度為上升的速度為vB，則由運(yùn)動學(xué)關(guān)系得，則由運(yùn)動學(xué)關(guān)系得系統(tǒng)的動量在坐標(biāo)軸上的投影為系統(tǒng)的動量在坐標(biāo)軸上的投影為由質(zhì)點(diǎn)系的動量定理由質(zhì)點(diǎn)系的動量定理注意到注意到adtdvA可得可得121201()2OxOyFFm gm gmm a注意方程中均以向右為正注意方程中均以向右為正 習(xí)題習(xí)題2 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 長為長為 2l 的均質(zhì)桿的均質(zhì)桿OA繞水平固定軸繞水平固定軸O在鉛在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動，如圖。已知在圖示位置桿的角速度為垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動，如圖。已知在圖示位置桿的角速度為 ，角，角加速度為加速度為a a 。試求此時桿在。試求此時桿在O軸的約束反力。軸的約束反力。xymgtCanCa解解1 1：用質(zhì)心運(yùn)動定理。：用質(zhì)心運(yùn)動定理。以桿為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。以桿為研究對象，受力如圖，