四點共圓基本性質(zhì)及證明

1、四點共圓基本性質(zhì)及證明四點共圓如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”。四點共圓有三個性質(zhì)：（1） 共圓的四個點所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等； （2）圓內(nèi)接四邊形的對角互補；（3） 圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對弧的度數(shù)的一半進行證明。定理判定定理方法1： 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓。（可以說成：若線段同側(cè)二點到線段兩端點連線夾角相等，那么這二點和線段二端點四點共圓）方法2 ：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一

2、個外角等于其鄰補角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點共圓。（可以說成：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其內(nèi)對角，那么這四點共圓）托勒密定理若ABCD四點共圓（ABCD按順序都在同一個圓上），那么ABDC+BCAD=ACBD。例題：證明對于任意正整數(shù)n都存在n個點使得所有點間兩兩距離為整數(shù)。解答：歸納法。我們用歸納法證明一個更強的定理：對于任意n都存在n個點使得所有點間兩兩距離為整數(shù)，且這n個點共圓，并且有兩點是一條直徑的兩端。n=1，n=2很輕松。當(dāng)n=3時，一個邊長為整數(shù)的勾股三角形即可：比如說邊長為3，4，5的三角形。我們發(fā)現(xiàn)這樣的三個點共圓，邊長最長的邊是一條直徑。假設(shè)對于n大于等

3、于3成立，我們來證明n+1。假設(shè)直徑為r（整數(shù)）。找一個不跟已存在的以這個直徑為斜邊的三角形相似的一個整數(shù)勾股三角形ABC（邊長a<b<c）。把原來的圓擴大到原來的c倍，并把一個邊長為ra<rb<rc的三角形放進去，使得rc邊和放大后的直徑重合。這個三角形在圓上面對應(yīng)了第n+1個點，記為P。于是根據(jù)Ptolomy定理，P和已存在的所有點的距離都是一個有理數(shù)。（考慮P，這個點Q和直徑兩端的四個點，這四點共圓，于是PQ是一個有理數(shù)因為Ptolomy定理里的其它數(shù)都是整數(shù)。）引入一個新的點P增加了n個新的有理數(shù)距離，記這n個有理數(shù)的最大公分母為M。最后只需要把這個新的圖擴大到

4、原來的M倍即可。歸納法成立，故有這個命題。反證法證明現(xiàn)就“若平面上四點連成四邊形的對角互補。那么這個四點共圓”證明如下（其它畫個證明圖如后）已知：四邊形ABCD中，A+C=180°求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓（A，B，C，D四點共圓）證明：用反證法過A，B，D作圓O，假設(shè)C不在圓O上，點C在圓外或圓內(nèi)，若點C在圓外，設(shè)BC交圓O于C，連結(jié)DC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得A+DCB=180° ，A+C=180° DCB=C這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。C在圓O上，也即A，B，C，D四點共圓。2證明方法方法1從被證共圓的四點中先

5、選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓周上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓方法2把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點共圓。幾何描述：四邊形ABCD中，BAC=BDC，則ABCD四點共圓。證明：過ABC作一個圓，明顯D一定在圓上。若不在圓上，可設(shè)射線BD與圓的交點為D'，那么BD'C=BAC=BDC，與外角定理矛盾。方法3把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點共圓。證法見上方法4把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，

6、若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓（割線定理的逆定理）上述兩個定理統(tǒng)稱為圓冪定理的逆定理，即ABCD四個點，分別連接AB和CD,它們（或它們的延長線）交點為P，若PAPB=PCPD，則ABCD四點共圓。證明：連接AC,BD，PAPB=PCPDPA/PC=PD/PBAPC=BPDAPCDPB當(dāng)P在AB,CD上時，由相似得A=D，且A和D在BC同側(cè)。根據(jù)方法2可知ABCD四點共圓。當(dāng)P在AB,

7、CD的延長線上時，由相似得PAC=D，根據(jù)方法3可知ABCD四點共圓。方法5 證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓即連成的四邊形三邊中垂線有交點，可肯定這四點共圓方法6四邊形ABCD中，若有ABCD+ADBC=ACBD，即兩對邊乘積之和等于對角線乘積，則ABCD四點共圓。該方法可以由托勒密定理逆定理得到。托勒密定理逆定理：對于任意一個凸四邊形ABCD，總有ABCD+ADBCACBD,等號成立的條件是ABCD四點共圓。如圖，在四邊形內(nèi)作APBDCB（只需要作PAB=CDB,PBA=CBD即可）由相似得ABP=DBC，BAP=BDCABP+PBD=DBC+PBD即ABD=PBC又

8、由相似得AB:BD=PB:CB=AP:CDABCD=BDAP，ABDPBCAD:BD=PC:BC，即ADBC=BDPC兩個等式相加，得ABCD+ADBC=BD(PA+PC)BDAC,等號成立的充要條件是APC三點共線而APC共線意味著BAP=BAC，而BAP=BDC，BAC=BDC根據(jù)方法2，ABCD四點共圓方法7若一點在一三角形三邊上的射影共線，則該點在三角形外接圓上。設(shè)有一ABC，P是平面內(nèi)與ABC不同的點，過P作三邊垂線，垂足分別為L,M,N，若L,M,N共線，則P在ABC的外接圓上。如圖，PMAC,PNAB,PLBC，且L,N,M在一條線上。連接PB,PC，PLB+PNB=90

9、6;+90°=180°PLBN四點共圓PLN=PBN，即PLM=PBA同理，PLM=PCM，即PLM=PCA=PBA根據(jù)方法2，P在ABC外接圓上3判定與性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的對角和為180°,并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角?！救鐖DA：四點共圓的圖片】圖A：四點共圓的圖片四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長AB和DC交至E，過點E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則有：（1）A+C=，B+D=（即圖中DAB+DCB=, ABC+ADC=）（2）DBC=DAC（同弧所對的圓周角相等）。（3）ADE=CBE（外角等于內(nèi)對角，可通過（1）、（2）得到）（4）ABPDCP（兩三角形三個內(nèi)角對應(yīng)相等，可由（2）得到）（5）APCP=BPDP（相交弦定理）（6）EBEA=ECE