高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)蘇教版5.3平面向量的數(shù)量積名師精編教案(江蘇專用)

1、名校名師推薦5.3平面向量的數(shù)量積14基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)ET知識梳理1 .向量的夾角已知兩個非零向量a和b,作OA=a,Ob=b,則/AOBt是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是0,兀.2.平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a,b的夾角為0,則數(shù)量|a|b|cos0叫做a與b的數(shù)量積，記作a-b幾何意義數(shù)里積a-b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos6的乘積3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b都是非零向量，e是單位向量，0為2與仇或e)的夾角.則(1) ea=ae=|a|cos0.(2) a±b?a-b=0.當(dāng)a與b同向時，a-b=|a|b|;當(dāng)a與b反向時，a-b=-|a

2、|b|.特另1J地，aa=|a|2或|a|=aa.ab(4)cos0=;ttt.|a|b|(5)|a-b|<|a|b|.4 .平面向量數(shù)量積滿足的運算律(1) ab=ba;(2)(入a)b=a(入b)=入(ab)=入ab(入為實數(shù))；(3)(a+b),c=a,c+b,c.5 .平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a=(xi,yi),b=(X2,y2),則a-b=xiX2+yiy2,由此得到(1)若a=(x,y),則|a|2=x2+y2或|a|=/x2+y2.(2)設(shè)A(xi,y1),B(x2,y2),則A,B兩點間的距離AB=|前="x2xi2+、2T(3)設(shè)兩個非零向量a,

3、b,a=(xi,yi),b=(X2,y2),則a±b?xiX2+yiy2=0.(4)若a, b都是非零向量,。是a與b的夾角，則cos 0 =a bI a| b|X1X2 + yiy2【知識拓展】1 .兩個向量a,b的夾角為銳角？ab>0且a,b不共線;兩個向量a,b的夾角為鈍角？a-b<0且a,b不共線.2 .平面向量數(shù)量積運算的常用公式(i)(a+b)(ab)=a2b2.(2)(a+b)2=a2+2a-b+b2.(3)(a-b)2=a22a-b+b2.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打或“x”)(I)若a=(Xi,yi),b=(X2,y2),則a,b?Xi

4、X2+yiy2=0.(x)(2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量.(V)(3)由ab=0可得a=0或b=0.(x)(4)在四邊形ABCDAB=DCfiAC：-BD=0,則四邊形ABC時矩形.(x)一，一一一一兀(5)兩個向量的夾角的范圍是0,5.(X)考點自測1 .設(shè)a,b,c為平面向量，有下面幾個命題：a(b-c)=a-b-a-c；(ab)c=a(bc);(ab)2=|a|22|a|b|+|b|2；若a-b=0,則a=0,b=0.其中正確的有個.答案i解析由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知正確；由向量的數(shù)量積的運算不滿足結(jié)合律知不正確；由(ab)2=a22ab+b2=|

5、a|22|a|b|cos。+|b|2知不正確；對于，:a-b=|a|b|-cos0=0,，|a|=0或|b|=0或cos0=0.，a=0或b=0或a±b,故不正確.2 .(教材改編)已知ABC43,BC=4,AC=8,ZC=60°,則BC-CA=.答案-I6解析畫圖可知向量BbwCA夾角為角C的補角(圖略)，故BbCA=BCXAQos(兀C)=14X8X(2)=16.3 .(教材改編)已知向量a=(1,>/3),b=(3,n).若向量a,b的夾角為"6，則實數(shù)f.答案3解析ab=(1,審)(3,n)=3+73mi又ab=.12+忑2x332+m2xcos-6

6、-,-3+/3m=N12+2x小'2+nxcos-6-,.m=木.4 .(教材改編)已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b±(a+入b),則實數(shù)入的值是答案3解析b（a+入b）=ba+入bb=2X1+4X1+2入=0?入=3.5 .如圖，在平行四邊形ABC珅，E為DC的中點，AE與BD交于點MAB=2,AD=1,且MaMb=二，則危.Ab=6答案34解析因為Az2AE=2(AM1屆3322一1一=-AD-A33Mb=|db=|(AB-ad,33所以AUMb=(2超1A-2(AB-AD)=1,所以AB-AD=3.33364題型分類深度剖析題型一平面向量數(shù)量積的運算例1

7、（1）（2016江蘇南京開學(xué)測試）已知在？ABCW,AD=2,/BAD=60°.若E為DC的中點，且ALBb=1,則Bb-BE的值為.(2)已知正方形ABCD勺邊長為1,點E是AB邊上的動點，則De-麗勺值為；De-Dc的最大值為.答案(1)3(2)11解析(1)設(shè)AB=rn(n>0),以向量AB,?；祝?？ABC珅，AB=印AD=2,/BAD=60°,則AE.Bb=(AD>2aB)(AD-昭=AD2-1Ab-Ab-2廟=4；正；M，因為AE.Bb=1,得吊6=0,因為n>0,所以亦2,所以BbBE=Bb-(BC，CE=(Ab-Ab(Ab-1Ab=Ad一

8、1一一一AN2Ag=4-3+2=3,故BD-BE=3.(2)方法一以射線AB,AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則PDiCA(0,0),B(1,0),Q1,1),D(0,1),設(shè)E(t,0),tC0,1,則De=(t,一百Eff1),CB=(0,1),所以DECB=(t,-1)(0,1)=1.因為DC=(1,0),所以DEDC(t,1)(1,0)=t<1,故DEDC勺最大值為1.方法二由圖知，無論e點在哪個位置，Dee前向上的投影都是cb=1,.-.De-Cb=|Cb-i=1,當(dāng)E運動到B點時，DEeDC方向上的投影最大，即為DC=1,，一三一一三一(DE,DCmax=|DC1

9、=1.思維升華平面向量數(shù)量積的三種運算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a-b=|a|b|cosa,b>.(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a=(X1,y1),b=(X2,y2),則a-b=X1X2+yy.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2016.全國丙卷改編)已知向量BA=忙，步),Bb=*"，則/ABC=（2）（2015四川改編）設(shè)四邊形ABCD；平行四邊形，|AB=6,|AD=4,若點MN滿足BUNM=3MC答案(1)30(2)9解析=1,I 的=1,cos/ABC=|BA國又.0°<ZABC180

10、76;,./ABC=30°.(2)am/i=XB+3Ah11NM=CM-CN=-4ad"3ABAM.NMi=1(4超3Ad)8Ab-3AD)=418(16Ag-9AD)=48(16X62-9X42)=9.題型二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題點i求向量的模（2016南京、鹽城調(diào)研）在ABC,A=120°,AB=4.若點D在邊BC上，且Bb=2DCAD=早，則AC的長為I答案解析令A(yù)C= b,由題意得AB- AC= 4bcos 120=-2b,因為點D在邊BC上,且BD=2DC所以Ab=AB+Bb=AB+2Bc3= AB+1( AC-AB =12"AE3+ &qu

11、ot;AG33從而而=（1根|ac2,又因為AD=彳,28164b28b所以T9整理得b22b3=0,解之得b=3(b=1舍去)，即AC的長為3.(2)(2016江蘇啟東中學(xué)階段測試)已知向量a,b,c滿足a+b+c=0,且a與b的夾角等于150°,b與c的夾角等于120°,|c|=2,求|a|,|b|.解由a+b+c=0,/a+b=c,a2+b2+2a-b=c2,得b+c=a.b2+c2+2b-c=a2,|a|2+|b|2+2|a|b|cos150°=4,-1b|2+4+22|b|cos120°=|a|2,解之得|a|=23,|b|=4.命題點2求向量

12、的夾角例3(1)(2016南京、鹽城調(diào)研)已知向量a,b滿足a=(4,3),|b|=1,|ab|=",則向量a,b的夾角為.(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是.99、9答案(1)6(2)(8,2卜卜2,3)解析(1)設(shè)向量a,b的夾角為0,由|ab|=42i得，21=(ab)2=a2+b22a-b=25+1-10cos0,即cos。所以向量a,b的夾角為。.23(2) 2a3b與c的夾角為鈍角,.(2a3b)c<0,即(2k3,-6)-(2,1)v0,4k-6-6<0,k<3.一一9又若(2a3

13、b)/c,則2k-3=-12,即k=-.,9,當(dāng)k=2時，2a3b=(12,-6)=-6c,即2a3b與c反向.綜上，k的取值范圍為一oo,92 JU92'3.思維升華平面向量數(shù)量積求解問題的策略，一，一一一ab一、一求兩向重的夾角：cos0=,要汪息00,兀.同1b|(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a±b?a-b=0?|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：a2=a-a=|a|2或|a|=aa.Ia±b|=7a±b2=>Ja2±2a-b+b2.若a=(x,y),則|a|=x2+y2

14、.跟蹤訓(xùn)統(tǒng)2(1)(2015湖北)已知向量血麗|OA=3,則OA-OB=.(2)在ABC43,若A=120°,AB-Ab=1,則|的的最小值是.答案(1)9(2)6解析(1)因為OAl屆所以O(shè)AAb=0.所以O(shè)Aob=OA-(OAf而=OA+Oa-Ab=|OA2+0=32=9.(2) -.Ab-Ab=-1,IAB|ACcos120°=-1,即iAb-iAcc=2,22>2> .IBC2=|ACAB2=AC2ABAOA百> 2|AB-IAC-2AB-AC=6,> .I的min=m.題型三平面向量與三角函數(shù)I,、一、一一，一，、,J,一兀兀例4(2016

15、南通倜研)已知ABC是銳角二角形，向重m=(cos(A+),sin(A+),n=(cosB,sinB),且mln.(1)求AB的值；(2)若cosB=7,AC=8,求BC的長.5解(1)因為mln,所以m-n=cos(A+-)cosB+sin(A+)sinB兀=cos(A+E)=0.又A,BC(0,y),所以A+-y-B(-6,等),所以北三B=3,即A-E5=4.326(2)因為cosE=I，BC(0,三),所以sinE=4.525所以 sin A= sin( B+?) = sinc兀Bcos 十6D . 兀 cos Bsin 64一+3,、一，rsinA10由正弦定理，得80=前一b。AJ

16、4x8=43+3.5思維升華平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解.(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等濕蹤訓(xùn)練3在ABC43,已知C=-6,m=(sinA,1),n=(1,cosB),且mln.(1)求A的值；(2)若點D在邊BC上，且3BE>BCAD=5,求ABC勺面積.解(1)由題意知mrn=sinA+cosB=0,因為C=卷，A+B+C=%,所以sinA+cos(

17、6-A)=0,即sinA蟲cosA+-sinA=0,22即3sin(A-6)=0.又。爪子，所以A£(-6,午)，-兀一兀所以A-至=°,即A=3(2)設(shè)|BD|=x,由3Bb=BC彳#|的=3x,由(1)知八=C=a，所以|BA=3x,B=2.在ABD中，由余弦定理，得(/I)2=(3x)2+x223xxcos葭，解得x=1(舍負(fù))，所以AB=BC3.1月SABC"BGinB1= X3X3Xsin2 U 9 3 丁= 4現(xiàn)場糾錯系列5.利用數(shù)量積求向量夾角典例已知直線y=2x上一點P的橫坐標(biāo)為a,直線外有兩個點A(-1,1),B(3,3).求使向量國與玩夾角為鈍

18、角的充要條件.錯解展示用例睡意為F2初設(shè)演后災(zāi)財。網(wǎng)納火%六需帶工乙二(T一入|一從J«-次/%_認(rèn))二5及一o/1。4優(yōu)£2/徐而¥宿與布夫向方鈍國的完耍現(xiàn)場糾錯解錯解中，cos0<0包含了0=%,即PAPte向的情況，此時a=1,故PAPB夾角為鈍角的充要條件是0<a<2且aw1.糾錯心得利用數(shù)量積的符號判斷兩向量夾角的范圍時，不要忽視兩向量共線的情況課時作業(yè)1.(2016蘇州期末)已知向量a=(1,2),b=(x,2),且a±(a-b),則實數(shù)x=答案9解析先由a±(a-b),得a-(a-b)=0,即a2=a-b,再代入

19、數(shù)據(jù).把a=(1,2),b=(x,-2),代入a2=a-b,得5=x4,所以x=9.2 .若向量a,b滿足|a|=|b|=2,a與b的夾角為60°,則|a+b|=.答案23解析|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a|b|cos60°1=4+4+2X2X2><2=12,|a+b|=2服3 .已知平面向量a,b滿足a(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,則向量a與b夾角的正弦值為.答案-23解析:a(a+b)=a2+ab=22+2x1xcosa,b>=4+2cosa,b>=3,1-cosa,b>=2又a,bC0,兀,sina,b>=1c

20、os2a,b=坐Ixx2x-2_一4 .(2016常州期末)已知平面向量a=(4N),b=(1,-2L),xCR若a,b,則|ab|=答案2解析因為a±b,9x_9所以4+2X2=4+2-2=0,解得2x=-2(舍)或2x=1,故a=(1,1),b=(1,1),故a-b=(0,2),故|ab|=2.5 .(2017江蘇揚州中學(xué)質(zhì)檢)在ABC43,若AB=1,BC=2,C/=4,貝uXB-覦的靛CKABm直是.答案5解析Ab+Bc>CA=0兩邊平方得而+BC+CA+2ABBC升2BbCav2CA-Ab=0,又AB=1,BC=2,CA=5,從而有2ABBc>2BbCa2CA-

21、AB=-10,故ABBOBC-CNCA-AB=5.6 .如圖，在矩形ABC用，AB=啦，BC=2,點E為BC的中點，點F在CDk,若AB-Af=6,則AE-BF的值是EHA答案,2解析依題意得AE-BF=(Ab+BE)-(AF-A=AB-Af-Ay+Be-AF-Be-Ab=J2-2+2-0落7 .(2016南京調(diào)研)如圖，在梯形ABC用,AB/CQAB=4,AD=3,CD=2,AM2而13若AC-BM=-3,則AB-Ad=.答案I解析方法一設(shè)A屋4a,Ab=3b,其中|a|=|b|=1,則QC=2a,AU2b.由AC-BM=3得(3b+2a)(2b4a)=3,化簡得a,b=-,所以AB-AD=

22、12a,b=-.o2方法二建立平面直角坐標(biāo)系，使得A(0,0),B(4,0),設(shè)D(3cos&,3sina),則C(3cosa+2,3sina),M2cosa,2sina).由AC。BM=3,得(3cosa+2,3sina)-(2cosa4,2sina)=3,化簡得cosa=18所以Afe-AD>12cosa=2.f1ff1>8.(2016南通調(diào)研)已知邊長為6的正三角形ABCBD-BCAE="AC；A%BE交于點P,23貝uPfe.PD勺值為答案274解析如圖，以BC為x軸，AD為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)R3,0),C(3,0),A(0,3 小),E(1

23、,2 小)A則口0,0)所以電水27.9.已知在直角三角形ABC,ZACB=90°,AOBO2,點P是斜邊AB上的中點，則Cb十和.CA=.答案4解析由題意可建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得A(2,0),R0,2),P(1,1),C(0,0),則CP-CB+CP-CA=CP-(超CA=2柞=4.k1f-10.(2016南東、鹽城倜研)如圖，在ABC43,AB=AC=3,cos/BAC=-,DC=2BD則AD。BC3的值為.答案2解析AD-BC=(AC>Cd-BC=(AC>3cb-BC=AC>|(Ab-AC)-Bb=4AB+；AC-(Ab-A=-|AB2+1Ab-AC+1|

24、麗2333=-6+1+3=-2.x24.一,11.(2016辦錫常鎮(zhèn)倜研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)M是函數(shù)f(x)=(x>0)的圖象x上任意一點，過M點向直線y=x和y軸作垂線，垂足分別是AB,則MA-MB=.答案22解析設(shè)Mxo,y。）為函數(shù)f（x）（x>0）的圖象上任意一點，由題設(shè)知R0,y°），葭。y,x22,X0 X0y0 4苫當(dāng)），從而Ma=（ys，t）,Mb=（x0,0）,故MAMb=x0"x0y0,因為Mx0,y。）為函x4數(shù)f（x）=（x>0）的圖象上任息一點，所以xoyo=xo+4,從而有MAMB=x-2.*12.（2016蘇北四市調(diào)研）已知|Oa=iOb=小,且OA-ob=1,若點C滿足|Oafcb=1,則|O（p的取值范圍是.答案m-1,#+1解析因為OA-Ob=iO/axiobxcos<oaOb=1,|OA=|Ob=