第2章1初等模型

1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 公平的席位分配公平的席位分配 2.2 錄像機計數(shù)器的用途錄像機計數(shù)器的用途 2.3 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效 2.4 汽車剎車距離汽車剎車距離2.5 劃艇比賽的成績劃艇比賽的成績2.6 實物交換實物交換2.7 核軍備競賽核軍備競賽2.8 啟帆遠航啟帆遠航2.9 量綱分析與無量綱化量綱分析與無量綱化 2.1 席位分配問題 某校有200名學生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學生代表會議設20個席位，問三系各有多少個席位？按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則Npqm 表示某單位的席位數(shù)m 表示某單位的人數(shù)p 表示總?cè)藬?shù)N 表示總席位數(shù)q1

2、 問題的提出問題的提出2020個席位的分配結(jié)果個席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲100100/200(50/100)20=10乙6060/200(30/100)20=6丙40 40/200(20/100)20=4現(xiàn)丙系有6名學生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5% 51.5 %20 =10.3乙6363/200=31.5%31.5%20=6.3丙34 34/200=17.0%17.0%20=3.410641064現(xiàn)象現(xiàn)象1 1 丙系雖少了丙系雖少了6 6人，但席位仍為人，但席位仍為4 4個。（不公平?。﹤€。（不公平?。榱嗽诒頉Q

3、提案時可能出現(xiàn)10：10的平局，再設一個席位。2121個席位的分配結(jié)果個席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5% 51.5 %21 =10.815乙6363/200=31.5%31.5%21=6.615丙34 34/200=17.0%17.0%21=3.5701173現(xiàn)象現(xiàn)象2 2 總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平?。┛傁辉黾右幌?，丙系反而減少一席。（不公平?。T例分配方法慣例分配方法：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。按慣例分給小數(shù)部分較大者。存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的

4、分配席位的方案？存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？2 建模分析建模分析目標：建立公平的分配方案。反映公平分配的數(shù)量指標可用每席位代表的人數(shù)每席位代表的人數(shù)來衡量。系別 人數(shù) 席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲1031031010103/10=10.3103/10=10.3中中乙63636 663/6=10.563/6=10.5差差丙34 34 4 434/4=8.534/4=8.5好好系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)甲1001001010100/10=10100/10=10乙60606 660/6=1060/6=10丙40 40 4 440/4=1040/4=10系別人數(shù)席位數(shù)每席位

5、代表的人數(shù)公平程度甲1031031111103/11=9.36103/11=9.36中中乙63637 763/7=963/7=9好好丙34 34 3 334/3=11.3334/3=11.33差差一般地，單位人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)A AB B1p2p1n2n11np22np當2211npnp席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標準來判斷。準。稱為“絕對不公平”標 ) 12211npnp此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個好的衡量標準。單位人數(shù)p席位數(shù)n每席位代表的人數(shù)絕對不公平標準A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D1

6、00010100C,DC,D的不公平程度大為改善！2） 相對不公平np表示每個席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時，此值越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。2211npnp則A吃虧,或?qū) 是不公平的。定義“相對不公平”則稱，若 2211npnp1),(122122221121npnpnpnpnpnnrA對A 的相對不公平值；同理，可定義對B 的相對不公平值為：則稱，若 2211npnp1),(211211112221npnpnpnpnpnnrB對B 的相對不公平值；建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標BArr ,制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。3 3 建模建模若A、B兩方已占有席位數(shù)

7、為,21nn用相對不公平值討論當席位增加1 個時，應該給A 還是B 方。不失一般性， 2211，若npnp有下面三種情形。情形情形1 1 1 2211，npnp說明即使給A 單位增加1席，仍對A 不公平，所增這一席必須給A單位。情形情形2 2 1 2211，npnp說明當對A 不公平時，給A 單位增加1席，對B 又不公平。計算對B 的相對不公平值1) 1() 1() 1(), 1(211211112221npnpnpnpnpnnrB情形情形3 3 1 2211，npnp說明當對A 不公平時，給B 單位增加1席，對A 不公平。計算對A 的相對不公平值1) 1() 1() 1() 1,(12212

8、2221121npnpnpnpnpnnrA),1,(), 1(2121nnrnnrAB若則這一席位給A 單位，否則給B 單位。1) 1(), 1(211221npnpnnrB1) 1() 1,(122121npnpnnrA12212112) 1() 1(npnpnpnp(*) ) 1() 1(11222212nnpnnp結(jié)論結(jié)論：當（當（* *）成立時，增加的一個席位應分配給）成立時，增加的一個席位應分配給A A 單位，單位，反之，應分配給反之，應分配給 B B 單位。單位。記記21 ) 1(2, innpQiiii則增加的一個席位應分配給則增加的一個席位應分配給QQ值值 較大的一方。較大的一

9、方。這樣的分配席位的方法稱為QQ值方法值方法。若A、B兩方已占有席位數(shù)為,21nn4 4 推廣推廣 有m 方分配席位的情況設iA方人數(shù)為ip，已占有in個席位，mi,2, 1當總席位增加1 席時，計算m, innpQiiii, 21 ) 1(2則1 席應分給Q值最大的一方。從1in開始，即每方至少應得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，則把它排除在外。）5 舉例舉例甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個席位，如何分配？按按Q值方法：值方法：3 , 21 ) 1(2, innpQiiii1, 1, 1321nnn785) 11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 163 5

10、304.5,) 11 ( 1103232221QQQ785) 11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 1632 .7681) 12(2103232221QQQ甲1乙1丙1785)11 (1345 .661)12(2632 .7681)12(2103232221QQQ785)11 (1345 .661)12(2634 .888)13(3103232221QQQ45678910111213141516 1718192021甲：11，乙：6，丙：4練習練習學校共1000學生，235人住在A樓，333人住在B樓，432住在C樓。學生要組織一個10人委員會，試用慣例分配方法， dHondt方法和

11、Q值方法分配各樓的委員數(shù)，并比較結(jié)果。公平分配的公理化研究公平分配的公理化研究: 1974年年,兩位學者兩位學者M.L.Balinsky和和H.R.young關(guān)于名關(guān)于名額分配問題提出了五條公理額分配問題提出了五條公理.1982年年,他們證明了他們證明了“不存在滿足公理不存在滿足公理IV的名額分配方法的名額分配方法”.從而為這從而為這一爭論畫上了句號一爭論畫上了句號. dHondt方法有k個單位，每單位的人數(shù)為 pi ，總席位數(shù)為n。做法：用自然數(shù)1,2,3,分別除以每單位的人數(shù)，從所得的數(shù)中由大到小取前 n 個，（這n 個數(shù)來自各個單位人數(shù)用自然數(shù)相除的結(jié)果），這n 個數(shù)中哪個單位有幾個所分

12、席位就為幾個。 1 2 3 4 5ABC235 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4問問題題在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩下的一段還能否錄下，問剩下的一段還能否錄下1小時的節(jié)目？小時的節(jié)目？要求要求不僅回答問題，而且建立計數(shù)器讀數(shù)與不僅回答問題，而且建立計數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時間的關(guān)系。錄像帶轉(zhuǎn)過時間的關(guān)系。思考思考計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？2.2 錄像機計數(shù)器的用途錄像機計數(shù)器的用途經(jīng)試驗，一盤標明經(jīng)試驗，一盤標明18

13、0分鐘的錄像帶分鐘的錄像帶從頭走到尾，時間用了從頭走到尾，時間用了184分，計數(shù)分，計數(shù)器讀數(shù)從器讀數(shù)從0000變到變到6061。錄像機計數(shù)器的工作原理錄像機計數(shù)器的工作原理主動輪主動輪壓輪壓輪0000左輪盤左輪盤右輪盤右輪盤磁頭磁頭計數(shù)器計數(shù)器錄像帶錄像帶錄像帶運動方向錄像帶運動方向錄像帶運動錄像帶運動右輪盤半徑增大右輪盤半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄像帶運動速度是常數(shù)錄像帶運動速度是常數(shù)計數(shù)器讀數(shù)增長變慢計數(shù)器讀數(shù)增長變慢問題分析問題分析觀察觀察 計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！模型假設模型假設 錄像帶的運動速度是常數(shù)錄像帶的運動速度是常數(shù) v ； 計數(shù)器讀數(shù)計

14、數(shù)器讀數(shù) n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)與右輪轉(zhuǎn)數(shù) m成正比，記成正比，記 m=kn； （k為比例系數(shù)）為比例系數(shù)） 錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù) w； 空右輪盤半徑記作空右輪盤半徑記作 r ； 時間時間 t=0 時讀數(shù)時讀數(shù) n=0 .建模目的建模目的建立建立時間時間t與讀數(shù)與讀數(shù)n之間的關(guān)系之間的關(guān)系（設（設v, ,k, ,w , ,r為已知參數(shù)）為已知參數(shù)）模型建立模型建立建立建立t與與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法的函數(shù)關(guān)系有多種方法1. 右輪盤轉(zhuǎn)第右輪盤轉(zhuǎn)第 i 圈的半徑為圈的半徑為r+wi, m圈的總長度圈的總長度等于錄像帶在時間等于錄像帶在時間t內(nèi)移動的長度內(nèi)移動的長度

15、vt, 所以所以knm nvrknvwkt222mivtwir1)(22. 考察右輪盤面積的考察右輪盤面積的變化，等于錄像帶厚度變化，等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過的長度，即乘以轉(zhuǎn)過的長度，即wvtrwknr)(22nvrknvwkt2223. 考察考察t到到t+dt錄像帶在錄像帶在右輪盤纏繞的長度，有右輪盤纏繞的長度，有vdtkdnwknr2)(模型建立模型建立思思 考考nvrknvwkt2223 3種建模方法得到同一結(jié)果種建模方法得到同一結(jié)果但仔細推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別，請解釋。但仔細推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別，請解釋。模型中有待定參數(shù)模型中有待定參數(shù),kvwr一種確定參數(shù)的辦法是測量或調(diào)查，請設計測量方法。

16、一種確定參數(shù)的辦法是測量或調(diào)查，請設計測量方法。mivtwir1)(2wvtrwknr)(22vdtkdnwknr2)(思思 考考參數(shù)估計參數(shù)估計另一種確定參數(shù)的方法另一種確定參數(shù)的方法測試分析測試分析將模型改記作將模型改記作,2bnant只需估計只需估計 a,b理論上，已知理論上，已知t=184, n=6061, 再有一組再有一組(t, n)數(shù)據(jù)即可數(shù)據(jù)即可實際上，由于測試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合實際上，由于測試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合現(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù)：現(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù)： t 0 20 40 60 80n 0000 1141 2019 2760 3413 t 100 120

17、140 160 184n 4004 4545 5051 5525 6061用最小二乘法可得用最小二乘法可得.1045.1,1061.226ba模模 型型 檢檢 驗驗應該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗模型：應該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗模型：bnant2)1045.1,1061.2(26ba模模 型型 應應 用用回答提出的問題：由模型算得回答提出的問題：由模型算得 n = 4450 時時 t = 116.4分，分，剩下的錄像帶能錄剩下的錄像帶能錄 184-116.4= 67.6分鐘的節(jié)目。分鐘的節(jié)目。揭示了揭示了“t 與與 n 之間呈二次函數(shù)關(guān)系之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，這一普遍規(guī)律，當錄像帶的狀態(tài)改變

18、時，只需重新估計當錄像帶的狀態(tài)改變時，只需重新估計 a,b 即可。即可。2d墻墻室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2問問題題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失玻璃窗相比，減少多少熱量損失假假設設熱量傳播只有傳導，沒有對流熱量傳播只有傳導，沒有對流T1,T2不變，熱傳導過程處于穩(wěn)態(tài)不變，熱傳導過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導系數(shù)為常數(shù)材料均勻，熱傳導系數(shù)為常數(shù)建建模模熱傳導定律熱傳導定律dTkQQ1Q2Q 單位時間單位面積傳導的熱量單位時間單位面積傳導的熱量 T溫差溫差, d材料厚度材料厚度, k熱傳導系數(shù)熱傳導系數(shù)2.3 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導的熱量記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度內(nèi)層玻璃的外側(cè)