二重積分計算方法

1、1.1積分區(qū)域為X型或Y型區(qū)域時二重積分的計算對于一些簡單區(qū)域上的二重積分，可以直接化成二次積分來解決.在直角坐標(biāo)系下, 被積分函數(shù)f（x,y）在積分區(qū)域D上連續(xù)時，若D為x型區(qū)域（如圖1）,即D (x, y)| 1(x) x 2(x), a x b ,其中1(x), 2(x)在a,b上連續(xù)，則有f (x,y)dDb 2(x)adx (x)f(x,y)dy；a1 (x)(1)若D為y型區(qū)域（如圖2）,即D(x,y) 1(y) y 2(y),c y d ,其中(y), 2(y)在c,d上連續(xù),則有f (x, y)dDd2(y)1cdy ) f(x，y)dx (2)2例1計算 ydxdy,其中D是

2、由x 2 , y x ,及xy 1所圍成.D x分析 積分區(qū)域如圖3所示，為x型區(qū)域D=x,y 1 x 2,- y xx確定了積分區(qū)域然后可以利用公式（1）進(jìn)行求解.算，這是可以將復(fù)雜的積分區(qū)域劃分為若干 x型或y型區(qū)是簡單行計域，然后利用公式f(x, y)d f(x,y)d f(x,y)dDDiD2f (x,y)dD3(3)進(jìn)行計算,例2計算二重積分d，其中D為直線y 2x,x 2y及x y 3所圍成的區(qū)域.分析：積分區(qū)域D如圖5所示，區(qū)域D既不是x型區(qū)域也不是y型區(qū)域，但是將可D劃分為DiD2_ x _x, y 0 x 1,- y 2x2 y 均為x型x,y 1 x 3,2y y 3 x進(jìn)

3、而通過公式（3）和（1）可進(jìn)行計算.解D劃分為_-， X_，一 一D1x, y 0 x 1,- y 2x , D2x, y 1 x 3,2y y 3 x則1.3被積函數(shù)較為復(fù)雜時二重積分的計算二重積分化為二次定積分后的計算可以按定積分的求解進(jìn)行，但是當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù) 雜，雖然能定出積分限，但被積函數(shù)的原函數(shù)不易求出或根本求不出，這時可根據(jù)被積函 數(shù)劃分積分區(qū)域，然后進(jìn)行計算.例3計算二重積分4y x2 dxdy ,其中D為區(qū)D，0 y 2.分析由于被積函數(shù)含有絕對值，其原函數(shù)不能直以至于不能直接化為二次積分進(jìn)行計算，觀察函數(shù)本發(fā)現(xiàn)當(dāng)我們把積分區(qū)域劃分為Dix2 y 21 x 12 x兩部分后，

4、被積函數(shù)在每一個積分區(qū)域都可以化為基本函數(shù)，其原函數(shù)很 1容易求得.解區(qū)域D如圖6可分為D1 U D2 ,其中D1D20 y x21 x 1由公式（3）則2利用變量變換法計算定理1設(shè)f (x,y)在有界區(qū)域D上可積，變換T :x x u,v , y y u,v ,將u,v平面按段光滑封閉曲線所圍成的區(qū)域一對一地映成x,y平面上的區(qū)域D,函數(shù)x u,v , y u,v在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的雅克比行列式J u,v 匕0, u,v ,則u,vf(x, y)d f x u, v , y u,v J u, v dudv(4)D(4)式叫做二重積分的變量變換公式，2.1 根據(jù)被積函數(shù)選取新變量

5、使被積函數(shù)簡化當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜，這時可以考慮利用變量變換化被積函數(shù)為簡單函數(shù)，原積分區(qū)域相應(yīng)的轉(zhuǎn)化為新的積分區(qū)域，進(jìn)而利用公式進(jìn)行計算.x y例4求 ex ydxdy ,其中D是由x 0, y 0, x y 1所圍曲線(圖7) D分析 由于被積函數(shù)含有e的指數(shù)，且較為復(fù)雜，這時可以考慮替換變量，簡化被積函數(shù)，如果做替換T : u x y,v x y.在變換T作用下區(qū)域D的原像 如圖8所示，根據(jù)二重積分的變量變換公式，積分計算就簡單了.1 x - u v解做變換T:2J u,v 1 012y - u v2所以x yex ydxdyD-1ev dudv21 v u duevdu0 v2.2 根據(jù)

6、積分區(qū)域選擇新變量計算二重積分當(dāng)被積函數(shù)比較簡單，積分區(qū)域卻比較復(fù)雜時，可考慮積分區(qū)域，若有u f x, y ,v g x, y且m u n, v ，則把xy平面上的積分區(qū)域 D對應(yīng)到uv平面上簡單的矩形區(qū)域，然后根據(jù)二重積分的變量變換公式（4）進(jìn)行計算.例5求拋物線yu -,v ,則有 mx x mx, y2 nx和直線y x, yx所圍區(qū)域D的面積 D .分析D的面積 D dxdy.實際是計算二重積分dxdy,其被積函數(shù)很簡單，但DD22是積分區(qū)域卻比較復(fù)雜，觀察積分區(qū)域不難發(fā)現(xiàn)m L,n工；），），如果設(shè)u n,xxxx解D的面積 Ddxdy作變換uxvvyuT :m,n所以D dxdy

7、Du .dudv vdv-4 vnudu =m2233n m3-36dxdy .xyD : xy 1,xy3,y22x, y3x所圍區(qū)域.分析 積分區(qū)域的處理與上題類似,可以做變量替換T:u xy, v它把xy平面上的區(qū)域D對應(yīng)到uv平面上的矩形區(qū)域在變換T作用下，區(qū)域D的原像u,v 1 uu,v13v所以3x -3dxdyd y xyv uv 3vi .一 dudv3dv idu1 v v uv2.3利用極坐標(biāo)變換計算二重積分當(dāng)被積函數(shù)含有f xrirr2那么2f x, y dxdy rdrDL y2、f二或f Y形式或積分區(qū)域的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來表示比較方便，如圓形及圓形區(qū)域的一部分，

8、可考慮用極坐標(biāo)變換,02x r cosT :, 0y rsin這個變換除原點和正實軸外是一一對應(yīng)的（嚴(yán)格來說極坐標(biāo)變換在原點和正實軸上不 是一對一的，但可以證明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式為r .（1）如果原點0 D,且xy平面上射線常數(shù)與積分區(qū)域D的邊界至多交于兩點,則必可表小為rir則有f x, y dxdy dDf r cos ,r sin rdr(5)類似地，若xy平面上的圓r常數(shù)與積分區(qū)域D的邊界至多交于兩點，則 必可表示r cos ,r sin d(6)(2)如果原點。為積分區(qū)域D的內(nèi)點，D的邊界的極坐標(biāo)方程為r r ，則 可表示成0 r r , 0則有f x, y dxd

9、yDf r cos , r sin rdr(3)如果原點。在積分區(qū)域D的邊界上，則 為那么rf x, y dxdy d f r cos , r sin rdr(8)D例7計算I , d 其中d為圓域：x2 y2 1 d ,1 x2 y2分析 觀察到積分區(qū)域為圓域，被積函數(shù)的形式為f(x2 y2),且原點為D的內(nèi)點，故x r cos 0 r 1可采用極坐標(biāo)變換丁： x rcos ,0 r 1 ,可以達(dá)到簡化被積函數(shù)的目的. y r sin ,02解作變換x rcos ,0 r 1T：,y r sin ,02則有 1,1 r2ydxdy dx dy 4,D Di又故原式 d0例8計算二重積分ydx

10、dy ,其中D是由直線x 2, y 0, y 2 ,以及曲線D積分區(qū)圓區(qū)區(qū)域，X 2V y2所圍成的平面區(qū)域.分析 首先根據(jù)題意，畫出積分區(qū)域，由于域D與Di一起圍成規(guī)則圖形正方形，且 Di為半 域，根據(jù)極坐標(biāo)變換簡化被積函數(shù).解 積分區(qū)域如圖15所示，D Di為正方形Di為半圓區(qū)域，則有ydxdy ydxdy ydxdy ,DD DiDi_ i 2cos 22i cos222.4利用廣義極坐標(biāo)變換計算一些二重積分與極坐標(biāo)類似，作如下廣義極坐標(biāo)變換: 并且雅可比行列式J u,v abr同樣有(9)f x, y dxdy f ar cos , br sin abrdrdDx,y 0 y bJ1

11、0T,022例9計算I c. 1 35dxdy ,其中D d a b分析根據(jù)給出被積函數(shù)和積分區(qū)域的形式，我們可以確定采用廣義極坐標(biāo)變換x ar cos ,0r 1T:,可以達(dá)到簡化積分區(qū)域和被積函數(shù)的目的.y brsin ,02解作廣義極坐標(biāo)變換x ar cos ,0r 1T :, J u, v abry br sin ,0 一2由（9）知3某些特殊函數(shù)的計算3.1利用積分區(qū)域的對稱性簡化二重積分的計算如果D可以分為具有某種對稱性（例如關(guān)于某直線對稱，關(guān)于某點對稱）的兩部分5 和D2,那么有如果f x,y在Di上各點處的值與其在D2上各對稱點處的值互為相反數(shù)，那么如果f x,y在Di上各點處

12、的值與其在D2上各對稱點處的值恒相等，那么3fx,yd 2 fx, yd 2 fx, ydDDiD2例10計算 x2ydxdy,其中D為雙曲線x2 y2 1及y 0, y 1所圍成區(qū)域.D分析 首先根據(jù)題意，在坐標(biāo)系中劃出積分區(qū)域，觀察到 f x, y x2y為x的偶函數(shù)，另一方面D關(guān)于y軸對稱，且f x,y在Di在D2上各點處的值與其在D?上各對稱點處的值 恒相等，然后再化為累次積分計算.解 積分區(qū)域如圖11所示：D1為D在第一象限內(nèi)的部分，D關(guān)于y軸對稱，又宜選擇先對x后對y的積分次序f x,y x2y為x的偶函數(shù)，由對稱性有故原式o 32”2 222 2y 2 dy 1 y 2153.2

13、分段函數(shù)和帶絕對值函數(shù)的二重積分計算分段函數(shù)：首先畫出被被積函數(shù)和積分區(qū)域的圖形，然后根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式將積分 區(qū)域劃分成若干個子區(qū)域，是在每個子區(qū)域上的被積函數(shù)的表達(dá)式是唯一的，最后再由性 質(zhì)加以討論.被積函數(shù)帶絕對值時，首先去掉絕對信號，同樣也將積分區(qū)域劃分成若干個子區(qū)域,使每個子區(qū)域上被積函數(shù)的取值不變號.例11求Dx2 y2 4 dxdy ,其中 D 為x2 y2 9圍成的區(qū)域.分析 被積函數(shù)表達(dá)式含有絕對值，為了去掉絕對值符號，應(yīng)將積分區(qū)域分成使得4 0及x2 y2 4 0的兩部分，在兩部分上分別積分后，再相加.為去絕對信號，將D分成若干個子區(qū)域,y2 4在Di內(nèi)在D2內(nèi)故原式利用極坐標(biāo)計算有412例12求 fx ye ,xx, y0,其他