函數(shù)的單調(diào)性

1、函數(shù)的單調(diào)性程國(guó)賢 教學(xué)流程： 復(fù)習(xí)引入 -問題-建模-探究-歸納總結(jié)-例題精講-練習(xí)-布置作業(yè) 流程設(shè)計(jì)依據(jù)教育學(xué)心理學(xué)有關(guān)理論。教材分析重點(diǎn)、難點(diǎn)確定和突破 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，它反映了自變量的變化和函數(shù)值的變化關(guān)系在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，從圖像的直觀性的角度研究了一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的增減性這節(jié)內(nèi)容是初中有關(guān)內(nèi)容的深化、延伸和提高這節(jié)通過對(duì)具體函數(shù)圖像的歸納和抽象，概括出函數(shù)的文字定義，用數(shù)學(xué)符號(hào)語言刻畫了函數(shù)的增減性教材中判斷函數(shù)的增減性，既有從圖像上進(jìn)行觀察的直觀方法，又有根據(jù)其定義進(jìn)行邏輯推理的嚴(yán)格方法，最后將兩種方法統(tǒng)一起來，形成根據(jù)觀察圖像得出猜想結(jié)論，進(jìn)而用推理證明猜想的體系這

2、節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是理解函數(shù)單調(diào)性的概念以及利用函數(shù)的單調(diào)性的概念證明函數(shù)的單調(diào)性，難點(diǎn)是理解函數(shù)單調(diào)性的概念從初中數(shù)學(xué)的y隨x的增大而增大或減小及函數(shù)圖像引導(dǎo)、啟發(fā)進(jìn)而突破難點(diǎn)。 教學(xué)目標(biāo) 1. 通過對(duì)增函數(shù)、減函數(shù)概念的歸納、抽象和概括，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和形成過程，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的抽象概括能力 2. 掌握增函數(shù)、減函數(shù)等函數(shù)單調(diào)性的概念，理解函數(shù)增減性的幾何意義，并能初步運(yùn)用所學(xué)知識(shí)判斷或證明一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解能力和邏輯推理能力 3. 通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用的過程，培養(yǎng)學(xué)生形成科學(xué)的思維 任務(wù)與教法分析 這節(jié)內(nèi)容學(xué)生在初中已有了較為粗

3、略的認(rèn)識(shí)，即主要根據(jù)觀察圖像得出結(jié)論這節(jié)函數(shù)增減性的定義，是運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)將自然語言的描述提升到形式化的定義，學(xué)生接受起來可能比較困難在引入定義時(shí)，要始終結(jié)合具體函數(shù)的圖像來進(jìn)行，以增強(qiáng)直觀性，采用由具體到抽象，再由抽象到具體的思維方法，便于學(xué)生理解對(duì)于定義，要注意對(duì)區(qū)間上所取兩點(diǎn)x1，x2的“任意性”的理解，多給學(xué)生操作與思考的時(shí)間和空間因此選用發(fā)現(xiàn)法和探究法相結(jié)合較好。 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問題情境 1. 如圖為某市一天內(nèi)的氣溫變化圖： （1）觀察這個(gè)氣溫變化圖，說出氣溫在這一天內(nèi)的變化情況 （2）怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫在這一天內(nèi)“隨著時(shí)間的增大，氣溫逐漸升高或下降”這一特征？ 2. 分別作出下列函數(shù)

4、的圖像： （1）y2x（2）yx2（3）yx2 根據(jù)三個(gè)函數(shù)圖像，分別指出當(dāng)x（，）時(shí)，圖像的變化趨勢(shì)？ 二、建立模型 1. 首先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題2進(jìn)行探討觀察分析 觀察函數(shù)y2x，yx2，yx2圖像，可以發(fā)現(xiàn)：y2x在（，）上、yx2在（，）上的圖像由左向右都是上升的；yx2在（，）上、yx2在（，）上的圖像由左向右都是下降的函數(shù)圖像的“上升”或“下降”反映了函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)單調(diào)性那么，如何描述函數(shù)圖像“上升”或“下降”這個(gè)圖像特征呢？ 以函數(shù)yx2，x（，）為例，圖像由左向右下降，意味著“隨著x的增大，相應(yīng)的函數(shù)值yf（x）反而減小”，如何量化呢？取自變量的兩個(gè)不同的值，如x15，x23，

5、這時(shí)有x1x2，f（x1）f（x2），但是這種量化并不精確因此，x1，x2應(yīng)具有“任意性”所以，在區(qū)間（，0）上，任取兩個(gè)x1，x2得到f（x1） ，f（x2） 當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1）f（x2）這時(shí)，我們就說f（x）x2在區(qū)間（，0）上是減函數(shù) 注意：在這里，要提示學(xué)生如何由直觀圖像的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，即自變量變化時(shí)對(duì)函數(shù)值y的影響必要時(shí)，對(duì)x，y可舉出具體數(shù)值，進(jìn)行引導(dǎo)、歸納和總結(jié)這里的“都有”是對(duì)應(yīng)于“任意”的 2. 在學(xué)生討論歸納函數(shù)單調(diào)性定義的基礎(chǔ)上，教師明晰抽象概括 設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮： 如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)

6、，都有f（x1）f（x2），那么我們就說函數(shù)f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)如圖8-2（1） 如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1）f（x2），那么我們就說函數(shù)f（x）在區(qū)間上是減函數(shù)如圖8-2（2） 如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么我們就說函數(shù)yf（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫作yf（x）的單調(diào)區(qū)間 3. 提出問題，組織學(xué)生討論 （1）定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（2）f（1），能否判斷函數(shù)f（x）在R是增函數(shù)？ （2）定義在R上函數(shù)f（x）在區(qū)間（，0上是增函數(shù)，在區(qū)間（0，）上也是增函數(shù)，判斷函數(shù)f（s）在

7、R上是否為增函數(shù) （3）觀察問題情境1中氣溫變化圖像，根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù) 強(qiáng)調(diào)：定義中x1，x2是區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量；函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)于某一區(qū)間而言的 三、解釋應(yīng)用 例題 1. 證明函數(shù)f（x）2x1，在（，）是增函數(shù) 注：要規(guī)范解題格式 2. 證明函數(shù)f（x） ，在區(qū)間（，0）和（0，）上都是減函數(shù) 思考：能否說，函數(shù)f（x） 在定義域（，0）（0，）上是減函數(shù)？ 3. 設(shè)函數(shù)yf（x）在區(qū)間D上保號(hào)（恒正或恒負(fù)），且f（x）在區(qū)間D上為增函數(shù)，求證：f（x） 在區(qū)間D上為減函數(shù) 證明：設(shè)x1，x2，且x1x2， f（x）在區(qū)間D上

8、保號(hào)，f（x1）f（x2）0 又f（x）在區(qū)間D上為增函數(shù)，f（x1）f（x2）0，從而g（x1）g（x2）0，g（x）在D上為減函數(shù) 練習(xí) 1. 證明：（1）函數(shù)f（x） 在（0，）上是增函數(shù) （2）函數(shù)f（x）x2x在（， 上是減函數(shù) 2. 判斷函數(shù)的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間 3. 如果函數(shù)yf（x）是R上的增函數(shù)，判斷g（x）kf（x），（k0）在R上的單調(diào)性 四、拓展延伸 1. 根據(jù)圖像，簡(jiǎn)要說明近150年來人類消耗能源的結(jié)構(gòu)變化情況，并對(duì)未來100年能源結(jié)構(gòu)的變化趨勢(shì)作出預(yù)測(cè) 2. 判斷二次函數(shù)f（x）ax2bxc，（a0）的單調(diào)性，并用定義加以證明 3. 如果自變量的改變量xx2x10，函數(shù)值的改變量yf（x2）f（x1）0，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函數(shù)？ 4. 函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比 叫作函數(shù)f（x）在x1，x2之間的平均變化率 （1）根據(jù)函數(shù)的平均變化率 判斷yf（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函