大學(xué)高等數(shù)學(xué)第一章總結(jié)

1、第一章總結(jié)求極限應(yīng)注意的問(wèn)題 在求極限之前，應(yīng)先簡(jiǎn)化表達(dá)式 簡(jiǎn)化的方法： 先有理化 使用無(wú)窮小量的等價(jià)替換 若部分表達(dá)式有非零極限，則可用極限值代替這部分表達(dá)式常用的等價(jià)無(wú)窮小量kxxkxxaxaxxxxxexxxxxxxxxkkxx11,1)1 (ln1,2cos1)1ln(,1arctan,arcsintan,sin02量時(shí)，常用的等價(jià)無(wú)窮小當(dāng)求極限的方法 兩個(gè)重要極限 夾擠定理 單調(diào)有界必有極限（遞推數(shù)列，歸納法）子列 若數(shù)列或函數(shù)有兩個(gè)子列具有不同的極限，則數(shù)列或函數(shù)是發(fā)散的 若有發(fā)散到無(wú)窮大的子列，則數(shù)列是無(wú)界的 若有收斂的子列，則數(shù)列不是無(wú)窮大 數(shù)列的奇序列和偶序列收斂于相同的極限

2、，則數(shù)列也收斂于相同的極限連續(xù)性 連續(xù)性的定義 間斷點(diǎn)的分類 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性 零點(diǎn)存在定理（介值定理）收斂則數(shù)列收斂且若數(shù)列則若則若存在則若下列結(jié)論正確的是, 0)(lim, 4)(lim,lim,lim, 31limlimlim,lim, 2lim, 1lim, 1()1222111nnnnnBbnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaAaBbAallaaaalaaaan例121x)2x(2lim12sin2limcos)cos1 (sinlimsincossinlimsintanlim320 x320 x30 x30 x30 xxxxxxxxxxxxxxxx例2. 3)3

3、21 (,331)32()31(33,1)32()31(3)321 ()321 (111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnlimlim應(yīng)用夾擠定理得到解：331)32()31(31)32()31(3)321 ()321 ()32()31()32()31()32()31(1111nlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnelimlimlimlim另解：., 8)2(limaaxaxxx求例3.2301.23)3(21)3(02301.23)3(21)3(03 ,),2, 1()3(, 301111121111nkkkkkknnnnxnxxxxxxkxxxxxxxxnxxxx時(shí)

4、，由數(shù)學(xué)歸納法知，則時(shí)，設(shè)皆為正數(shù)，故解：由題設(shè)知限。的極限存在，并求此極證明數(shù)列設(shè))(0,23)3()3(,03)23()3()3(111舍去或由設(shè)極限存在。所以數(shù)列單調(diào)增加，故時(shí)，又當(dāng)aaaaaxxlimxlimaxlimxxxxxxxxxxxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnNkxxxxkxkx1)1 (lim1)1 (lim100例40) !()3() 1, 0(0)2()0(0!) 1 (. 01| ,21nnlimapanlimanalimxlimqqxxlimxnnnpnnnnnnnnn，則滿足設(shè)數(shù)列例5.25)21(2)1ln(2(. 1010)1ln(0)()1ln(

5、)()1ln(:, 2)()1ln(200202220 xxxlimbaabxaxxlimxbxaxxlimxbxaxxbaxbxaxxlimxxxx的高階無(wú)窮小，故是顯然，解求例6.41161511411)1)(1(1)1)(1()1 ()(11.1010.,1112121121baaaaxxlimaaxxaaxlimxaaxlimabbabaxlimbaxbaxlimxxxxx，從而原式，即解：顯然，求已知例7. 112)/1) 1(2() 1(2()2) 12(. 2) 12() 12() 12(/1/111111xxxxxxxxxxxxexelimeexlimxexlimbxxlimx

6、exlimkbkxyexy，解：設(shè)斜漸近線為的斜漸近線。求曲線nnn) 1arctan(lim2nnnnnaAa1)(lim, 0lim求nnnnknaka112)(lim,1求設(shè)例8)0, 0)()()()4()0)()()()3()0, 0)()()()2()0)()()() 1 (nmxOxOxOnmxOxOxOnmxoxoxonmxoxoxonmmnnmnnmmnnmn例9無(wú)窮小的階)0(1)3()0(1,1tan)0(11tan1)(tan)2()0(11211) 1 (8/12/12/12/14/38/1332232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

7、x的值，并求極限。且不為零，確定存在，如果極限設(shè)。求存在，并且設(shè)paaxaxfexxfxfxxpxxxxx)(lim0)2)(lim, 2112sin)(1lim)(lim) 1) 1/(1/ 10300例10.)0(0sin, 0.)0(sinsin, 0,00,sin0,)(0000003baafxbxlimbafbbxbxlimbxbxlimbbaxxxbxxbxaxfxxx綜上所述，若則解：若的關(guān)系。求處連續(xù)在設(shè).,11,41,313)(BAxxxxxBAxxf確定連續(xù)，在設(shè)例11. 0)()2 , 0(0)2(, 01)0(2 , 0)(, 2)()2 , 0(22feffxfxex

8、fexxx使得至少存在一點(diǎn)根據(jù)零點(diǎn)存在定理知，。上連續(xù)，且在解：設(shè)內(nèi)至少有一個(gè)根。在區(qū)間求證方程例12)()0()()2()(),0()()0(, 0)(,),()()().()(, 0),2()0(,2 , 0)(affafafaFfafFaxFxfaxfxFfafaaffaxf上連續(xù)，且在顯然解：作輔助函數(shù)使得必有一點(diǎn)證明且上連續(xù)在設(shè)綜上所述，結(jié)論成立。使得必有若或可取則若).()(0)(), 0(, 0)()0(),()0(.0, 0)()0(),()0(fafFaaFFaffaaFFaff例13至少有一個(gè)零點(diǎn)。上定理知，在由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在使知存在因?yàn)槭怪嬖谝驗(yàn)榻猓涸O(shè)為常數(shù)，且，其

9、中至少有一個(gè)根，求證：方程),(0)(,)(; 0)(,)(,cos)(. 100cosbaafaxflimbfbxflimxqpxxfqqpxqpxxx例14必為無(wú)窮?。粸闊o(wú)窮小，則若必為無(wú)窮小；有界，則若必有界；無(wú)界，則若必發(fā)散；發(fā)散，則若則正確的是滿足與設(shè)數(shù)列1)4() 3()2() 1 ()., 0nnnnnnnnnnnnnyxyxyxyxyxlimyx正確。,1)()4(1,1sin)3(12, 02,12,2, 0)2(;1,) 1() 1 (nnnnnnnnnnnxxyyynxknknnyknnknxnyx例15必有間斷點(diǎn)必有間斷點(diǎn)必有間斷點(diǎn)必有間斷點(diǎn)則有間斷點(diǎn)且連續(xù)函數(shù)為內(nèi)有定

10、義，在和設(shè))()()4()()3()()2()() 1 (),)(, 0)(,)(),()()(2xfxgxgfxgxfgxgxfxfxgxf1, 01, 1)(, 1)()3(1, 11, 1)()2(1, 01, 1)(, 2sin)() 1 (xxxgxfxxxgxxxgxxf練習(xí))1.121(lim)3()2ln() 1ln(lim)2(tan1sin1lim) 1 (222230nnnnnxxxbxaxnxx)1).(1)(1 (lim, 1|)6()cos1 (cos1lim)5()sincos2ln(121lim)4(22030nnxxxxxxxxxxxx求設(shè)baxbaxxcbacbxaxxbabaxxxaaaaxxxinnmnnn和求設(shè)和求設(shè)。試確定，若其中 , 51lim)10(, , 2)5(lim)9(,0)1(lim)8()0( lim )7(212221 )(lim, )(lim, 0 , 1sin10 , 10 , )()12(1lim, 1 , 0, )1(21, 0 (11)10110 xfxfxxxxexfxxnxxxxxxxnnnnnn求設(shè)并且收斂證明設(shè)).1()() 1 , 0() 1 ()0(,1 , 0)14(4,4,4212)()13(3n