數(shù)學(xué)-南京市2015屆高三9月學(xué)情調(diào)研卷-數(shù)學(xué)

1、 南京市2015屆高三年級學(xué)情調(diào)研卷 數(shù) 學(xué) 2014.09注意事項(xiàng)：1本試卷共3頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校寫在答題卡上試題的答案寫在答題卡上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題卡一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1函數(shù)f(x)cos2xsin2x的最小正周期為 2已知復(fù)數(shù)z，其中i是虛數(shù)單位，則|z| 3某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為4：3：3，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級的學(xué)生中抽取容量為80的樣本，則應(yīng)從

2、高一年級抽取 名學(xué)生S0SSk2開始輸出S結(jié)束YNk5（第6題圖）k1kk24從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中隨機(jī)選出2名代表參加學(xué)校會(huì)議，則甲被選中的概率是 5已知向量a(2，1)，b(0，1)若(ab)a，則實(shí)數(shù) 6右圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出S的值是 7已知雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為y±x，則該雙曲線的離心率為 8已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓，則這個(gè)圓錐的高是 9設(shè)f(x)x23xa若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，3)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 10在ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c已知ac2b，sinBsinC，則cosA 11若f(x)是R上的

3、單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 12記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn若a11，Sn2(a1an)(n2，nN*)，則Sn 13在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2y26x50，點(diǎn)A，B在圓C上，且AB2，則|的最大值是 14已知函數(shù)f(x)x1(e1)lnx，其中e為自然對數(shù)的底，則滿足f(ex)0的x的取值范圍為 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)2sin(2x)(02)的圖象過點(diǎn)(，2)（1）求的值；（2）若f()，0，求sin(2)的值16（本小題滿分14分）如圖，三棱柱ABCA1

4、B1C1中，M，N分別為AB，B1C1的中點(diǎn)（1）求證：MN平面AA1C1C；（2）若CC1CB1，CACB，平面CC1B1B平面ABC，求證：AB平面CMNA1ABCB1C1MN（第16題圖）17（本小題滿分14分）已知an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為Sn， bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b421，S4b430（1）求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；（2）記cnanbn，nN*，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和18（本小題滿分16分）給定橢圓C：1(ab0)，稱圓C1：x2y2a2b2為橢圓C的“伴隨圓”已知橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)(0，1)（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若過點(diǎn)P(0，m)(m0)的直線l

5、與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且l被橢圓C的伴隨圓C1所截得的弦長為2，求實(shí)數(shù)m的值19（本小題滿分16分）如圖（示意），公路AM、AN圍成的是一塊頂角為的角形耕地，其中tan2在該塊土地中P處有一小型建筑，經(jīng)測量，它到公路AM，AN的距離分別為3km，km現(xiàn)要過點(diǎn)P修建一條直線公路BC，將三條公路圍成的區(qū)域ABC建成一個(gè)工業(yè)園為盡量減少耕地占用，問如何確定B點(diǎn)的位置，使得該工業(yè)園區(qū)的面積最小？并求最小面積·AMNP（第19題圖）CB20（本小題滿分16分）已知函數(shù)f(x)ax3|xa|，aR（1）若a1，求函數(shù)yf(x) (x0，)的圖象在x1處的切線方程；（2）若g(x)x4，試討

6、論方程f(x)g(x)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)a0時(shí)，若對于任意的x1a，a2，都存在x2a2，)，使得f(x1)f(x2)1024，求滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合南京市2015屆高三年級學(xué)情調(diào)研卷 數(shù)學(xué)附加題 2014.09注意事項(xiàng)：1附加題供選修物理的考生使用2本試卷共40分，考試時(shí)間30分鐘3答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校寫在答題卡上試題的答案寫在答題卡上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題卡21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分請?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講CAPOQ（第21題A圖）

7、B如圖，PA是圓O的切線，A為切點(diǎn)，PO與圓O交于點(diǎn)B、C，AQOP，垂足為Q若PA4，PC2，求AQ的長B選修42：矩陣與變換已知矩陣A屬于特征值l的一個(gè)特征向量為 （1）求實(shí)數(shù)b，l的值；（2）若曲線C在矩陣A對應(yīng)的變換作用下，得到的曲線為C¢：x22y22，求曲線C的方程C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù) )，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))若點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值D選修45：不等式選講已知a，b是正數(shù)，且ab1，求證：(axby)(bxay)xy【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分請?jiān)诖鹁?/p>

8、卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22如圖，已知長方體ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC2，CC15，E是棱CC1上不同于端點(diǎn)的點(diǎn)，且（1） 當(dāng)BEA1為鈍角時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2） 若，記二面角B1A1BE的的大小為，求|cos|（第22題圖）ABCDEA1B1C1D123某商店為了吸引顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)摸球小游戲，顧客從裝有1個(gè)紅球，1個(gè)白球，3個(gè)黑球的袋中一次隨機(jī)的摸2個(gè)球，設(shè)計(jì)獎(jiǎng)勵(lì)方式如下表：結(jié)果獎(jiǎng)勵(lì)1紅1白10元1紅1黑5元2黑2元1白1黑不獲獎(jiǎng)（1）某顧客在一次摸球中獲得獎(jiǎng)勵(lì)X元，求X的概率分布表與數(shù)學(xué)期望；（2）某顧客參與兩次摸球，求他能中獎(jiǎng)的概率20

9、15屆高三年級學(xué)情調(diào)研卷 數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2014.09說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則2對計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給中間分?jǐn)?shù)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分 1 2 332 4 55 635 72 8 9(0， 10 11，) 1222n1 13

10、8 14(0，1)二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分15（本小題滿分14分）解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2sin(2x)(02)的圖象過點(diǎn)(，2)，所以f()2sin()2，即sin1 4分因?yàn)?2，所以 6分（2）由（1）得，f(x)2cos2x 8分因?yàn)閒()，所以cos又因?yàn)?，所以sin 10分所以sin22sincos，cos22cos21 12分從而sin(2)sin2coscos2sin 14分16（本小題滿分14分）證明：（1）取A1C1的中點(diǎn)P，連接AP，NPA1ABCB1C1MN（第16題圖）P因?yàn)镃1NNB1，C1PPA1，所以NPA1B1，NPA1B1 2分在三棱柱A

11、BCA1B1C1中，A1B1AB，A1B1AB故NPAB，且NPAB 因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以AMAB所以NPAM，且NPAM所以四邊形AMNP為平行四邊形所以MNAP 4分因?yàn)锳PÌ平面AA1C1C，MNË平面AA1C1C，所以MN平面AA1C1C 6分（2）因?yàn)镃ACB，M為AB的中點(diǎn)，所以CMAB 8分因?yàn)镃C1CB1，N為B1C1的中點(diǎn)，所以CNB1C1 在三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，所以CNBC因?yàn)槠矫鍯C1B1B平面ABC，平面CC1B1B平面ABCBCCNÌ平面CC1B1B，所以CN平面ABC 10分因?yàn)锳BÌ平面ABC，所以

12、CNAB 12分因?yàn)镃MÌ平面CMN，CNÌ平面CMN，CMCNC，所以AB平面CMN 14分17（本小題滿分14分）解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q由a1b12，得a423d，b42q3，S486d 3分由條件a4b421，S4b430，得方程組解得所以ann1，bn2n，nN* 7分（2）由題意知，cn(n1)×2n記Tnc1c2c3cn則Tnc1c2c3cn 2×23×224×23n×2n1 (n1)×2n，2 Tn 2×223×23(n1)×2n1n&

13、#215;2n (n1)2n1，所以Tn2×2(22232n )(n1)×2n1， 11分即Tnn·2n1，nN* 14分18（本小題滿分16分）解：（1）記橢圓C的半焦距為c由題意，得b1，c2a2b2，解得a2，b1 4分（2）由（1）知，橢圓C的方程為y21，圓C1的方程為x2y25顯然直線l的斜率存在設(shè)直線l的方程為ykxm，即kxym0 6分因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故方程組 （*） 有且只有一組解由（*）得(14k2)x28kmx4m240從而(8km)24(14k2)( 4m24)0化簡，得m214k2 10分因?yàn)橹本€l被圓x2y25所截

14、得的弦長為2，所以圓心到直線l的距離d即 14分由，解得k22，m29 因?yàn)閙0，所以m3 16分19（本小題滿分16分）解：（方法一）·(A)xNPyOBC（第19題圖1）如圖1，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系因?yàn)閠an2，故直線AN的方程是y2x設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)因?yàn)辄c(diǎn)P到AM的距離為3，故y03由P到直線AN的距離為，得，解得x01或x04(舍去)，所以點(diǎn)P(1，3) 4分顯然直線BC的斜率存在設(shè)直線BC的方程為y3k(x1)，k(2，0)令y0得xB1 6分由解得yC 8分設(shè)ABC的面積為S，則S×xB×yC1 10分 由S¢ 0得

15、k或k3當(dāng)2k時(shí)，S¢0，S單調(diào)遞減；當(dāng)k0時(shí)，S¢0，S單調(diào)遞增 13分所以當(dāng)k時(shí)，即AB5時(shí)，S取極小值，也為最小值15 答：當(dāng)AB5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km2 16分（方法二）如圖1，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系因?yàn)閠an2，故直線AN的方程是y2x設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)因?yàn)辄c(diǎn)P到AM的距離為3，故y03由P到直線AN的距離為，得，解得x01或x04(舍去)，所以點(diǎn)P(1，3) 4分顯然直線BC的斜率存在設(shè)直線BC的方程為y3k(x1)，k(2，0)令y0得xB1 6分由解得yC 8分設(shè)ABC的面積為S，則S×xB

16、5;yC1 10分 令8k9t，則t(25，9)，從而k 因此S111 13分因?yàn)楫?dāng)t(25，9)時(shí)，t(34，30，當(dāng)且僅當(dāng)t15時(shí)，此時(shí)AB5，34t的最大值為4從而S有最小值為15答：當(dāng)AB5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km2 16分（方法三）如圖2，過點(diǎn)P作PEAM，PFAN，垂足為E、F，連接PA設(shè)ABx，ACy·AMNPBC（第19題圖2）EF因?yàn)镻到AM，AN的距離分別為3， 即PE3，PF由SABCSABPSAPC×x×3×y× (3xy) 4分因?yàn)閠ana2，所以sina 所以SABC×x×

17、y× 8分由可得×x×y× (3xy)即3x5y2xy 10分因?yàn)?x5y2，所以 2xy2解得xy15 13分當(dāng)且僅當(dāng)3x5y取“”，結(jié)合解得x5，y3 所以SABC×x×y× 有最小值15答：當(dāng)AB5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km2 16分20（本小題滿分16分）解：（1）當(dāng)a1，x0，)時(shí)，f(x)x3x1，從而f (x)3x21當(dāng)x1時(shí)，f(1)1，f (1)2，所以函數(shù)yf(x) (x0，)的圖象在x1處的切線方程為y12(x1)，即2xy30 3分（2）f(x)g(x)即為ax3|xa|x4所以

18、x4ax3|xa|，從而x3(xa)|xa|此方程等價(jià)于xa或或 6分所以當(dāng)a1時(shí)，方程f(x)g(x)有兩個(gè)不同的解a，1；當(dāng)1a1時(shí)，方程f(x)g(x)有三個(gè)不同的解a，1，1；當(dāng)a1時(shí)，方程f(x)g(x)有兩個(gè)不同的解a，1 9分（3）當(dāng)a0，x(a，)時(shí)，f(x)ax3xa，f (x)3ax210，所以函數(shù)f(x)在(a，)上是增函數(shù)，且f(x)f(a)a40所以當(dāng)xa，a2時(shí)，f(x)f(a)，f(a2)，當(dāng)xa2，)時(shí)，f(x) f(a2)，) 11分因?yàn)閷θ我獾膞1a，a2，都存在x2a2，)，使得f(x1)f(x2)1024，所以， f(a2)，) 13分從而f(a2)所以

19、f 2(a2)1024，即f(a2)32，也即a(a2)3232因?yàn)閍0，顯然a1滿足，而a2時(shí)，均不滿足所以滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合為1 16分2015屆高三年級學(xué)情調(diào)研卷 數(shù)學(xué)附加題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2014.09說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則2對計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)21【選做題

20、】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分CAPOQ（第21題A圖）BA選修41：幾何證明選講證明：連接AO設(shè)圓O的半徑為r因?yàn)镻A是圓O的切線，PBC是圓O的割線， 所以PA2PC·PB 3分 因?yàn)镻A4，PC2，所以422×(22r)，解得r3 5分所以POPCCO235，AOr3由PA是圓O的切線得PAAO，故在RtAPO中，因?yàn)锳QPO，由面積法可知，×AQ×PO×AP×AO，即AQ 10分B選修42：矩陣與變換解：（1）因?yàn)榫仃嘇屬于特征值l的一個(gè)特征向量為， 所以l，即 3分從而解得b0，l2 5分（

21、2）由（1）知，A設(shè)曲線C上任一點(diǎn)M(x，y)在矩陣A對應(yīng)的變換作用后變?yōu)榍€C¢上一點(diǎn)P(x0，y0)，則， 從而 7分因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C¢上，所以x022y022，即(2x)22(x3y)22，從而3x26xy9y21 所以曲線C的方程為3x26xy9y21 10分C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：（方法一）直線l的普通方程為xy0 3分因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C上，故設(shè)P(cos，sin)，從而點(diǎn)P到直線l的距離d 7分所以dmin1即點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為1 10分(方法二) 直線l的普通方程為xy0 3分圓C的圓心坐標(biāo)為(，0)，半徑為1從而圓心C到直線l的距離為d 6分所以點(diǎn)P到直