第一章 無窮小的比較

1、無窮小的比較無窮小的比較一、無窮小的比較一、無窮小的比較例如例如,.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxx 觀察各極限觀察各極限xxx3lim20, 0 ;32要快得多要快得多比比 xxxxxsinlim0, 1 ;sin大致相同大致相同與與xx2201sinlimxxxxxx1sinlim0 .不存在不存在不可比不可比.極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.定義定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個(gè)無是同一過程中的兩個(gè)無設(shè)設(shè));(, 0lim)1( o記作記作高階的無窮小高階的無窮小是比是比就說就說如果如果;)

2、,0(lim)2(是同階的無窮小是同階的無窮小與與就說就說如果如果 CC;, 1lim 記作記作是等價(jià)的無窮小是等價(jià)的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(無窮小無窮小階的階的的的是是就說就說如果如果kkCCk 例例1 1.tan4 ,0:3的的四四階階無無窮窮小小為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證證明明xxxx 解解430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四階階無無窮窮小小為為時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng)xxxx 例例2 2.sintan,0的的階階數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于求求時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 x

3、xxxx ,21 .sintan的三階無窮小的三階無窮小為為xxx 常用等價(jià)無窮小常用等價(jià)無窮小: :,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xx2111 xnxn111 xx 1)1( 注注1. 上述上述10個(gè)等價(jià)無窮小（包括反、對(duì)、冪、個(gè)等價(jià)無窮小（包括反、對(duì)、冪、指、三）必須熟練掌握指、三）必須熟練掌握都成立都成立換成換成將將0)(. 2 xfx用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有)( o 同理也有同理也有一

4、般地有一般地有)( o 即即與與等價(jià)等價(jià) 與與互為主要部分互為主要部分例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx 補(bǔ)充補(bǔ)充高階無窮小的運(yùn)算規(guī)律高階無窮小的運(yùn)算規(guī)律,min)()()().1(nmkxoxoxoknm 其中其中)()()().2(nmnmxoxoxo )()().3(nmnmxoxox 為有界為有界其中其中)()()()().4(xxoxoxnn 二、等價(jià)無窮小替換二、等價(jià)無窮小替換定理定理( (等價(jià)無窮小替換定理等價(jià)無窮小替換定理) ).limlim,lim, 則則存在存在且且設(shè)設(shè)證證 lim)lim( limlimlim.lim 意義意義 求兩個(gè)無窮小之比

5、的極限時(shí)，可將其中的分子求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，可將其中的分子或分母或乘積因子中的無窮小用與其等價(jià)的較簡(jiǎn)單或分母或乘積因子中的無窮小用與其等價(jià)的較簡(jiǎn)單的無窮小代替，以簡(jiǎn)化計(jì)算。具體代換時(shí)，可只代的無窮小代替，以簡(jiǎn)化計(jì)算。具體代換時(shí)，可只代換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時(shí)代換。換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時(shí)代換。例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原式原式. 8 注意注意不能濫用等價(jià)無窮小代換不能濫用等價(jià)無窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換對(duì)于代數(shù)和中各無窮小不能分別

6、替換. .等價(jià)關(guān)系具有：自反性，對(duì)稱性，傳遞性等價(jià)關(guān)系具有：自反性，對(duì)稱性，傳遞性例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 30)2(limxxxx 原式原式. 0 錯(cuò)錯(cuò)解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,22sinxx)cos1(tansintanxxxx ,213x330)2(21limxxx 原式原式.161 例例5 5.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解),(5tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)

7、(3)(21)(5lim20 .35 例例6 求求)1ln()cos1(1cossinlim20 xxxxxx 解一解一xxxxxxxx)1ln()cos1(1cossinlim0 原式原式1201 21 解二解二xxxxxx )cos1(1cossinlim20原式原式 )1cossin(cos11lim0 xxxxxx21 解三解三 xxxxxxxxIx1cos)1ln(cos11)1ln()cos1(sinlim0012121 21 例例7 求求131)1()1()1)(1(lim nnxxxxx解解1 xu令令ux 1則則得得由由uu 1)1( 130)11()11)(11(lim n

8、nuuuuuI1013121lim nuuunuu!1n 關(guān)于關(guān)于1 1型極限的求法型極限的求法)()(limxgxf )(lim, 1)(limxgxf)()(limxgxf)(ln)(limxfxge )(ln)(limxfxge )(1)1)(1lnlim)(ln)(limxgxfxfxg )(11)(limxgxf 1)()(lim xfxg)()(limxgxf1)()(lim xfxge三、小結(jié)三、小結(jié)1.無窮小的比較無窮小的比較:反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度兩無窮小趨于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.高高(低低)階無窮小階無窮小; 等價(jià)無窮小等價(jià)無窮小; 無窮小的階無窮小的階.2.等價(jià)無窮小的替換等價(jià)無窮小的替換: 求極限的又一種方法求極限的又一種方法, 注意適用條件注意適用條件.思考題思考題任何兩個(gè)無窮小量都可以比較嗎？任何兩