高等數(shù)學(xué)a一D3習(xí)題課

1、二、二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題課一、一、 微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第三三章 拉格朗日中值定理 )()(bfaf一、一、 微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用1. 微分中值定理及其相互關(guān)系微分中值定理及其相互關(guān)系 羅爾定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF10) 1(! ) 1(1)(nnnxxf 柯西中值定理 xxF)(xyoab)(xfy 泰勒中值定理 )()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)(!10n

2、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 微分中值定理的主要應(yīng)用微分中值定理的主要應(yīng)用(1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2) 證明恒等式或不等式(3) 證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 有關(guān)中值問(wèn)題的解題方法有關(guān)中值問(wèn)題的解題方法利用逆向思維逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) .一般解題方法:(1)證明含一個(gè)中值的等式或根的存在 ,(2) 若結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù) ,(3) 若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值 ,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .多用羅爾定理羅爾定理,可考慮用柯西中值定理柯西中值定理 .必須多次應(yīng)用多次應(yīng)用中值定理中值定理 .(4) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多

3、考慮用泰勒公式泰勒公式 ,(5) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當(dāng)適當(dāng)放大放大或縮小縮小的技巧.有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 設(shè)函數(shù)在)(xf),(ba內(nèi)可導(dǎo), 且,)(Mxf證明在)(xf),(ba內(nèi)有界. 證證: 取點(diǎn), ),(0bax 再取異于0 x的點(diǎn), ),(bax對(duì)xxxf,)(0在以為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理, 得)()()(00 xxfxfxf)(0之間與界于xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0abMxfK(定數(shù))可見(jiàn)對(duì)任意, ),(bax,)(Kxf即得所證 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下

4、頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè)在)(xf 1 ,0內(nèi)可導(dǎo), 且,0) 1 (f證明至少存在一點(diǎn))(f, ) 1 ,0(使上連續(xù), 在) 1 ,0()(2 f證證: 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證.0)(2)(ff設(shè)輔助函數(shù))()(2xfxx 顯然)(x在 0 , 1 上滿足羅爾定理?xiàng)l件, 故至, ) 1 ,0(使0)()(2)(2ff即有)(f)(2 f少存在一點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.,)(,)(內(nèi)可導(dǎo)，在，上連續(xù)在設(shè)babaxf且,0ba 試證存在).(2)(fbaf使, ),(,ba證證: 欲證,2)()(fbaf因 f ( x ) 在 a , b 上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,故有),(,

5、)()()(baabfafbf,)(2上滿足柯西定理?xiàng)l件在及又因baxxf),(,2)()()(22bafabafbf將代入 , 化簡(jiǎn)得故有),(2)(fbaf),(,ba即要證.2)()(22fababf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 設(shè)實(shí)數(shù)滿足下述等式naaa,1001210naaan證明方程在 ( 0 , 1) 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 .010nnxaxaa證證: 令,)(10nnxaxaaxF則可設(shè)121012)(nnxnaxaxaxF, 1,0)(,上連續(xù)在顯然xF且)0(F由羅爾定理知存在一點(diǎn), ) 1 ,0(使,0)(F即.10010內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根），（在nnxaxaa

6、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,) 1,0(內(nèi)可導(dǎo)在,0) 1 (F例例5.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)函數(shù) f (x) 在0, 3 上連續(xù), 在(0, 3) 內(nèi)可導(dǎo), 且 , 1)3(, 3)2() 1 ()0(ffff使, )3, 0(. 0)(f分析: 所給條件可寫(xiě)為1)3(, 13)2() 1 ()0(ffff(03考研) 試證必存在 想到找一點(diǎn) c , 使3)2() 1 ()0()(fffcf證證: 因 f (x) 在0, 3上連續(xù), 所以在0, 2上連續(xù), 且在0, 2上有最大值 M 與最小值 m, 故Mfffm)2(),1 (),0(Mmfff3)2() 1 ()

7、0(由介值定理, 至少存在一點(diǎn) 使, 2, 0c3)2() 1 ()0()(fffcf1, 1)3()( fcf,)3,(,3,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在且ccxf由羅爾定理知, 必存在 . 0)(, )3, 0()3,(fc使,2)( xf例例6. 設(shè)函數(shù)在)(xf 1 ,0上二階可導(dǎo), ) 1 ()0(ff且證明. 1)( xf證證:, 1,0 x由泰勒公式得)0(f) 1 (f兩式相減得221221)()1)()(0 xfxfxf 221221)()1)()(xfxfxf 221221)()1 ()(xfxf 22)1 (xx)1 (21xx 1,0,1x)(xfxxf)( 221)(xf )

8、 10() 10()1)()1)()(221 xfxxfxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1. 研究函數(shù)的性態(tài):增減 , 極值 , 凹凸 , 拐點(diǎn) , 漸近線 ,曲率2. 解決最值問(wèn)題 目標(biāo)函數(shù)的建立與簡(jiǎn)化 最值的判別問(wèn)題3. 其他應(yīng)用 :求不定式極限 ;幾何應(yīng)用 ;相關(guān)變化率;證明不等式 ;研究方程實(shí)根等.4. 補(bǔ)充定理 (見(jiàn)下頁(yè))機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)函數(shù))(, )(xgxf在上具有n 階導(dǎo)數(shù),),(a且) 1,2, 1 ,0()()() 1 ()()(nkagafkk)()()()2()()(axxgxfnn則當(dāng)ax 時(shí). )()(xgxf

9、證證: 令, )()()(xgxfx則; ) 1, 1 ,0(0)()(nkak)(0)()(axxn利用)(x在ax 處的 n 1 階泰勒公式得)(x)(xa因此ax 時(shí). )()(xgxf0nnaxn)(!)()(定理定理.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例例7. 填空題填空題(1) 設(shè)函數(shù)上連續(xù)，在),()(xf的則)(xf其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 單調(diào)減區(qū)間為 ;極小值點(diǎn)為 ;極大值點(diǎn)為 .)(xf ),0(),(21xx),(),0,(21xx21, xx0 x提示提示:)(xf根據(jù)的正負(fù)作 f (x) 的示意圖. 單調(diào)增區(qū)間為 ;o

10、2x1xyxox)(xf1x2xo)(xfx .在區(qū)間 上是凸弧 ;拐點(diǎn)為 ),0(),(21xx)0(, 0( ,)(,( ,)(,(2211fxfxxfx提示提示:)()(xfxf 的可導(dǎo)性及根據(jù)的正負(fù)作 f (x) 的示意圖. 形在區(qū)間 上是凹弧; 則函數(shù) f (x) 的圖 (2) 設(shè)函數(shù)上可導(dǎo)，在),()(xf的圖形如圖所示,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(),0,(21xx)(xf o2x1xyx2x)(xf 1xln)1ln()()(1xxxfxf例例8. 證明在xxxf)1 ()(1),0(上單調(diào)增加.證證:)1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1l

11、n()11()(xxxxxfx令,ln)(ttF在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 111xxx) 10(1ln)1ln(xxxxx11故當(dāng) x 0 時(shí),0)( xf從而)(xf在),0(上單調(diào)增.得例例9. 設(shè)在)(xf),(上可導(dǎo), 且證明 f ( x ) 至多只有一個(gè)零點(diǎn) . 證證: 設(shè))()(xfexx則 )()()(xfxfexx0,0)()(xfxf故)(x在),(上連續(xù)單調(diào)遞增, 從而至多只有一個(gè)零點(diǎn) .又因,0 xe因此)(xf也至多只有一個(gè)零點(diǎn) .思考思考: 若題中0)()(xfxf改為,0)()(xfxf其它不變時(shí), 如何設(shè)輔助函數(shù)

12、?)()(xfexx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例10. 求數(shù)列nn的最大項(xiàng) .證證: 設(shè)),1()(1xxxfx用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法得)ln1()(21xxxfx令,0)( xf得, ex x)(xf )(xfe), 1e),(e0ee1因?yàn)?(xf在),1只有唯一的極大點(diǎn),ex 因此在ex 處)(xf也取最大值 .又因,32 e442 且,33nn為數(shù)列故33中的最大項(xiàng) .極大值機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 列表判別:例例11. 證明. )0(1arctan)1ln(xxxx證證: 設(shè)xxxxarctan)1ln()1 ()(, 則0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故

13、0 x時(shí), )(x單調(diào)增加 , 從而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx思考思考: 證明) 10(arcsin)1ln(11xxxxx時(shí), 如何設(shè)輔助函數(shù)更好 ?xxxxxarcsin1)1ln()1 ()(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 提示提示:例例12. 設(shè),0)0(f且在),0上)(xf 存在 , 且單調(diào)遞減 , 證明對(duì)一切0,0ba有)()()(bfafbaf證證: 設(shè), )()()()(xfafxafx則0)0()()()(xfxafx)0(0 x所以當(dāng)時(shí)，0 x)(x0)0(令,bx 得0)()()()(bfafbafb即所證不等式成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

14、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例13. ,10:時(shí)當(dāng)證明 x.112xxex證證: 只要證) 10(01)1 (2xxexx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,1)1 ()(2xexxfx設(shè)0)0(f則, 1)21 ()(2xexxf0)0( f) 10(04)(2 xexxfx利用一階泰勒公式, 得2!2)()0()0()(xfxffxf ) 10(0222xxe故原不等式成立.例例14. 證明當(dāng) x 0 時(shí),.) 1(ln) 1(22xxx證證: 令,) 1(ln) 1()(22xxxxf則0) 1 (fxxxfln2)(0) 1 ( fxxfln2)( ,121x02) 1 ( f32) 1(

15、2)(xxxf xx1, ) 1(2x法法1 由)(xf在1x處的二階泰勒公式 , 得)(xf2) 1(!2) 1 ( xf3) 1(!3)( xf2) 1( x332) 1(31xxx在, 0( 0故所證不等式成立 .與 1 之間)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 法法2 列表判別:,) 1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f2ln2)(1xxxxf0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf x)(xf )(xf )(xf )(xf1)1,0(), 1(0020,0)(0 xfx時(shí)故當(dāng)即.) 1(ln) 1(22xxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

16、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 法法3 利用極值第二判別法極值第二判別法.,0)(1的唯一根是易知xfx的唯一為)(1xfx 故0) 1 (f也是最小值 ,因此當(dāng)0 x時(shí),0)(xf即22) 1(ln) 1(xxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,) 1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f2ln2)(1xxxxf0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf02) 1 ( f，極小點(diǎn),0) 1 ( f且1yox22) 1(ln) 1(xxxy例例15. 求)0()1arctan(arctanlim2ananann解法解法1 利用中值定理求極限原式)1(11lim22nanann之間）與在1(nana221) 1(limannnna機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解法解法2 利用泰勒公式令,arctan)(xxf則,11)(2xxf22)1 (2)(xxxf )()0()0()0()(22!21xoxfxffxf )(2xox原式2lim nn)0()1arcta