線性空間的應用

1、.衿莃荿薆羈膅芅薅膄莁蚃薄袃芄蕿薃羆葿蒅薃肈節(jié)莁薂膀肅蝕薁袀芀薆蝕羂肅蒂蠆肄羋莈蚈螄肁莄蚇羆莇螞蚇聿膀薈蚆膁蒞蒄蚅袁膈莀蚄羃莃芆螃肅膆薅螂螅莂蒁螁羇膄蕆螁肀蒀莃螀膂芃蟻蝿袂肆薇螈羄芁蒃螇肆肄荿袆螆艿芅裊袈肂薄裊肀羋薀襖膃膀蒆袃袂莆莂袂羅腿蟻袁肇莄薇羀腿膇蒃羀衿莃荿薆羈膅芅薅膄莁蚃薄袃芄蕿薃羆葿蒅薃肈節(jié)莁薂膀肅蝕薁袀芀薆蝕羂肅蒂蠆肄羋莈蚈螄肁莄蚇羆莇螞蚇聿膀薈蚆膁蒞蒄蚅袁膈莀蚄羃莃芆螃肅膆薅螂螅莂蒁螁羇膄蕆螁肀蒀莃螀膂芃蟻蝿袂肆薇螈羄芁蒃螇肆肄荿袆螆艿芅裊袈肂薄裊肀羋薀襖膃膀蒆袃袂莆莂袂羅腿蟻袁肇莄薇羀腿膇蒃羀衿莃荿薆羈膅芅薅膄莁蚃薄袃芄蕿薃羆葿蒅薃肈節(jié)莁薂膀肅蝕薁袀芀薆蝕羂肅蒂蠆肄羋莈蚈螄肁莄

2、蚇羆莇螞蚇聿膀薈蚆膁蒞蒄蚅袁膈莀蚄羃莃芆螃肅膆薅螂螅莂蒁螁羇膄蕆螁肀蒀莃螀膂芃蟻蝿袂肆薇螈羄芁蒃螇肆肄荿袆螆艿芅裊袈肂薄裊肀羋薀襖膃膀蒆袃袂莆莂袂羅腿蟻袁肇莄薇羀腿膇蒃羀衿莃荿薆羈膅芅薅膄莁蚃薄袃芄蕿薃羆葿蒅薃肈節(jié)莁薂膀肅蝕薁袀芀薆蝕羂肅蒂 線性空間的應用1.Durer 魔方1514年，德國著名的藝術家Albrecht Durer（1471-1521）曾鑄造過一枚名為的銅幣，這枚銅幣的畫面充滿了數(shù)學符號、數(shù)字及幾何圖像。這里，我們可以看一下銅幣右上角的數(shù)字問題，這是一個自然數(shù)組成的方塊（可以看作一個矩陣），稱之為 Durer魔方（如果一個數(shù)字矩陣，它的每一行，每一列，每一對角線以每小方塊上的數(shù)

3、字相加）。其形式為此魔方中，每行、每列、對角線上的數(shù)字加在一起其和為34，若用水平線盒垂直線把它四個小方塊每個小方塊的數(shù)字和也是34，若把四個角上的數(shù)字相加，其和仍是34。另外15，14排在最后一行，正好是銅幣的鑄造時間。我們可以經(jīng)過一些換行、列的交換，通過旋轉(zhuǎn)，通過中間軸和對角線的映射，得到一些新的Durer魔方，那么有多少個可定義的Durer魔方？是否有構成所有魔方的方法？我們說有。下面通過用0，1數(shù)字組合的方法構成R=C=D=S=1的所有魔方（這里R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和），稱之為基本魔方。 若我們把每一個Durer魔方看成是一個矩陣，那么Durer可實行矩陣的數(shù)乘

4、、加法運算。因此，可以通過已知的Durer魔方進行線性組合，構成新的Durer魔方，所有Durer魔方構成一個線性空間，記為V。V顯然是一個有限維的線性空間。我們?nèi)菀鬃C明是其一組基，這樣我們就可以用的線性組合來表示Durer魔方，例如改變對Durer魔方數(shù)字和的要求，我們可以利用線性子空間的定義，構造V的子空間或者包含V的子空間。例如求行和，列和及兩條對角線上的元素和相等，得到8維線性空間Q，基向量為，其中是V的基，而 例如： R=C=D=30V是Q的7維子空間。例如要求列和、行和及每條主、次對角上數(shù)字和都相等，得5維向量空間B H=N=R=C=46其中H為主對角線和，N為次對角線和，B的基為

5、Botsch于1967年證明了可以構造大量的V子空間或V的擴張空間，對于116之間的每一個數(shù)K，都存在K維方陣構成的線性空間。2.向量在的調(diào)整氣象觀測站問題中應用某地區(qū)有12個氣象觀測站，10年來各觀測站的年降水量如下表。X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11x121981276.2324.5158.6412.5292.8258.4334.1303.2292.9243.2159.7331.21982251.6287.3349.5297.4227.8453.6321.5451466.2307.5421.1455.11983192.7436.2289.9366.3466.2239.135

6、7.4219.7245.7411.1357353.21984246.2232.4243.7372.5460.4158.9298.7314.5256.6327296.54231985291.7311502.4254245.6324.8401266.5251.3289.9255.4362.11986466.5158.9223.5425.1251.4321315.4317.4246.2277.5304.2410.71987258.6327.4432.1403.9256.6282.9389.7413.2466.5199.3282.1387.61988453.4365.5357.6258.1278.84

7、67.2355.2228.5453.6315.6456.3407.21989158.5271410.2344.2250360.7376.4179.4159.2342.4331.2377.71990324.8406.5235.7288.8192.6284.9290.5343.7283.4281.2243.7411.1為了節(jié)省開支 ，想要適當減少氣象觀測站。問題：減少哪些氣象觀測站可以使所得降水量的信息仍然足夠大？解：用 分別表示氣象觀測站在1981-1990年內(nèi)的降水量的列向量，由于 是含有12個向量的十維向量組，所以該向量組必然相關。若能求出一個最大無關組，則最大無關組所對應的氣象站就可以將其

8、他氣象站的資料表示出來，因而其他氣象站就是可以減少的。因此，最多只需要10個氣象觀測站。由 為列向量組作矩陣A，可以求出一個最大無關組： 故可以減少第11和12個觀測站，可以使得到的降水量信息仍然足夠大。當然，也可以減少另外兩個觀測站，只要這兩個列向量可以由其他列線性表示。注：如果確定只需要8個觀測站，那么我們可以從上表中取某8年的數(shù)據(jù)（比如，最近8年的數(shù)據(jù)），組成含12個向量的向量組，然后求其最大無關組，則必有4個向量可由其他向量線性表示。這4個向量所對應的氣象觀測站就可以減少。3. 向量在基因的“距離”中的應用在ABO血型的人們中，對各種群體的基因頻率進行了研究。如果把四種等位基因A1,A

9、2,B,O區(qū)別開，有人報告了如下的相對頻率：愛斯基摩人f1k班圖人f2k英國人f3k朝鮮人f4kA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合計1111現(xiàn)在的問題是：一個群體與另一個群體的接近程度如何？換句話說，就是要找到一個表示基因距離的合適的度量。解：解決這個問題可以用向量的方法。首先我們用單位向量表示每一個群體，為此對各個群體向量單位化： 由此可見最小的基因“距離”是愛斯基摩人和英國人之間，最大的基因“距離”是愛斯基摩人和班圖人之

10、間。另一種度量方法是考慮在四維向量空間中，這些向量（）都是單位向量，它們的終點都位于一個球心在原點半徑為1的球面上，現(xiàn)在用兩個向量的夾角來表示對應的群體間的基因“距離”是合理的。以上兩種度量方法的結果是一致的。 羋螃羇肇芇蒃螀羃莆薅羆芁蒞蚈螈膇蒞袀羄膃莄薀袇聿莃螞肂羅莂螄裊芄莁蒄肁膀莀薆袃肆蒀蚈聿羂葿螁袂芀蒈蒀蚄芆蕆蚃羀膂蒆螅螃肈蒅蒅羈羄蒄薇螁芃蒄蠆羇腿薃螂蝿肅薂蒁羅羈薁蚄螈荿薀螆肅芅蕿袈袆膁薈薈肁肇膅蝕襖羃膄螂肀節(jié)芃蒂袂膈節(jié)薄肈肄芁螇袁肀芁衿螄荿芀蕿罿芅艿蟻螂膁羋螃羇肇芇蒃螀羃莆薅羆芁蒞蚈螈膇蒞袀羄膃莄薀袇聿莃螞肂羅莂螄裊芄莁蒄肁膀莀薆袃肆蒀蚈聿羂葿螁袂芀蒈蒀蚄芆蕆蚃羀膂蒆螅螃肈蒅蒅羈羄蒄薇螁芃蒄蠆羇腿薃螂蝿肅薂蒁羅羈薁蚄螈荿薀螆肅芅蕿袈袆膁薈薈肁肇膅蝕襖羃膄螂肀節(jié)芃蒂袂膈節(jié)薄肈肄芁螇袁肀芁衿螄荿芀蕿罿芅艿蟻螂膁羋螃羇肇