有限元分析—溫度場(chǎng)與熱變形問(wèn)題專(zhuān)題

1、 第九章 溫度場(chǎng)與熱變形問(wèn)題 9-1 溫度場(chǎng)與熱變形問(wèn)題 9-2 溫度場(chǎng)問(wèn)題的基本方程 9-3 平面穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的有限元法 9-4 熱變形的計(jì)算2.1 直梁直梁 2.1.1梁有限元模型梁有限元模型 2.1.2節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)載荷節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)載荷 2.1.3單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?2.1.4單元?jiǎng)偠染仃嚨寞B加單元?jiǎng)偠染仃嚨寞B加 2.1.5邊界條件邊界條件 2.1.6工程實(shí)例工程實(shí)例2.2 平面剛架平面剛架 2.2.1有限元法基本思想節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)載荷有限元法基本思想節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)載荷 2.2.2單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?2.2.3單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換 2.2.4總的剛度矩

2、陣疊加總的剛度矩陣疊加 2.2.5位移法基本方程位移法基本方程2.3工程實(shí)例工程實(shí)例 2.2.1有限元法基本思想節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)載荷有限元法基本思想節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)載荷 2.2.2單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?2.2.3單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換 2.2.4總的剛度矩陣疊加總的剛度矩陣疊加 2.2.5位移位移9-1 溫度場(chǎng)與熱變形問(wèn)題 工程中的許多結(jié)構(gòu)在高溫條件下工作或由于工作過(guò)程中運(yùn)動(dòng)工程中的許多結(jié)構(gòu)在高溫條件下工作或由于工作過(guò)程中運(yùn)動(dòng)副的摩擦發(fā)熱，都會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生溫度升高，產(chǎn)生熱變形或溫副的摩擦發(fā)熱，都會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生溫度升高，產(chǎn)生熱變形或溫度應(yīng)力，因此，減少或控制熱變形度應(yīng)力，因

3、此，減少或控制熱變形/ /溫度應(yīng)力是設(shè)計(jì)中不可忽溫度應(yīng)力是設(shè)計(jì)中不可忽視的問(wèn)題。視的問(wèn)題。 工程設(shè)計(jì)中，常期望準(zhǔn)確地計(jì)算出結(jié)構(gòu)各個(gè)部位的溫升工程設(shè)計(jì)中，常期望準(zhǔn)確地計(jì)算出結(jié)構(gòu)各個(gè)部位的溫升或熱變形量，分析結(jié)構(gòu)的熱平衡狀況，從而達(dá)到改進(jìn)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)或熱變形量，分析結(jié)構(gòu)的熱平衡狀況，從而達(dá)到改進(jìn)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)或環(huán)境設(shè)計(jì)，減少熱變形對(duì)工作精度的影響。或環(huán)境設(shè)計(jì)，減少熱變形對(duì)工作精度的影響。 本章介紹：本章介紹： 1 1、溫度場(chǎng)問(wèn)題的基本方程、溫度場(chǎng)問(wèn)題的基本方程 2 2、平面穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的有限元法、平面穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的有限元法 3 3、熱變形的計(jì)算、熱變形的計(jì)算9-2 溫度場(chǎng)問(wèn)題的基本方程 一般三維問(wèn)題，物體各點(diǎn)的

4、一般三維問(wèn)題，物體各點(diǎn)的溫度是坐標(biāo)和時(shí)間變化的，溫度是坐標(biāo)和時(shí)間變化的，即即 熱平衡原理：任一熱平衡原理：任一dt時(shí)間內(nèi)，時(shí)間內(nèi)，物體內(nèi)任一微元體所積蓄的物體內(nèi)任一微元體所積蓄的熱量（即溫度升高所需的熱熱量（即溫度升高所需的熱量）等于傳入該微元體的熱量）等于傳入該微元體的熱量與微元體內(nèi)熱源所產(chǎn)生的量與微元體內(nèi)熱源所產(chǎn)生的熱量之和。即熱量之和。即xxqqdxxxyzdxdzdyy Qzzqqdzzyyqqdyyzqyqxq( , , , )TT x y z t 微元溫度微元溫度 傳入微元傳入微元 微元內(nèi)微元內(nèi) 升高升高 = 的的 + 產(chǎn)生產(chǎn)生 所需熱量所需熱量 凈熱量?jī)魺崃?的熱量的熱量 設(shè)微元

5、在設(shè)微元在dt內(nèi)，溫度升高為：內(nèi)，溫度升高為： 相應(yīng)所積蓄的熱量為：相應(yīng)所積蓄的熱量為： 同一時(shí)間內(nèi)，微元體沿同一時(shí)間內(nèi)，微元體沿x方向方向傳入和傳出的熱量之差，即凈傳入和傳出的熱量之差，即凈熱量為：熱量為： 類(lèi)似，類(lèi)似，y，z方向的凈熱量：方向的凈熱量： 即傳入微元體的凈熱量為：即傳入微元體的凈熱量為： 由熱傳導(dǎo)定律：熱流密度與溫由熱傳導(dǎo)定律：熱流密度與溫度梯度成正比，而方向相反，度梯度成正比，而方向相反，即：即： 代入上式得傳入微元體凈熱量代入上式得傳入微元體凈熱量為：為：TTTdttTc dxdydzdtt ()xxxxqqq dydzdtqdx dydzdtdxdydzdtxx , y

6、zqqdxdydzdtdxdydzdtyz()yxzqqqdxdydzdtxyz, , xxyyzzTTTqkqkqkxyz ()()()xyzTTTkkkdxdydzdtxxyyzz 設(shè)微元體內(nèi)有熱源，其熱源密度為設(shè)微元體內(nèi)有熱源，其熱源密度為Q(x,y,z,t)，則該熱源在，則該熱源在dt內(nèi)所共給的熱量為：內(nèi)所共給的熱量為： 據(jù)熱平衡得一般熱傳導(dǎo)微分方程：據(jù)熱平衡得一般熱傳導(dǎo)微分方程：()()()xyzTTTTc dxdydzdtkkkdxdydzdtQdxdydzdttxxyyzzQdxdydzdt微元體溫度升微元體溫度升高所需的熱量高所需的熱量三個(gè)方向傳入微三個(gè)方向傳入微元體的凈熱量元

7、體的凈熱量微元體內(nèi)熱源微元體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量產(chǎn)生的熱量 物體密度物體密度 c 比熱，單位質(zhì)量物體溫度升高比熱，單位質(zhì)量物體溫度升高一度所需的熱量一度所需的熱量 熱傳導(dǎo)系數(shù)熱傳導(dǎo)系數(shù),xyzk kk 整理得：整理得： 滿(mǎn)足上述熱傳導(dǎo)方程的解有無(wú)限多個(gè)，為了確定真滿(mǎn)足上述熱傳導(dǎo)方程的解有無(wú)限多個(gè)，為了確定真實(shí)的溫度場(chǎng)，必須知道物體初始瞬態(tài)的溫度分布，實(shí)的溫度場(chǎng)，必須知道物體初始瞬態(tài)的溫度分布，即初始條件，稱(chēng)為第一類(lèi)邊界條件即初始條件，稱(chēng)為第一類(lèi)邊界條件 同時(shí)，還需知道物體表面與周?chē)橘|(zhì)間進(jìn)行熱交換同時(shí)，還需知道物體表面與周?chē)橘|(zhì)間進(jìn)行熱交換的規(guī)律，即邊界條件，稱(chēng)為第二類(lèi)邊界條件。的規(guī)律，即邊界條件

8、，稱(chēng)為第二類(lèi)邊界條件。()()()0 xyzTTTTckkkQtxxyyzz0( , , , )( , , )tT x y z tT x y z111( , , , )|(, ) T x y z tTt在邊界上()aTkTTn 1、三維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程及邊界條件、三維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程及邊界條件 2、二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程及邊界條件、二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程及邊界條件112()()()0 ( , , , )(, ) () xyzaTTTTckkkQtxxyyzzT x y z tTtTkTTn在 內(nèi)在 上在上112()()0 ( , , )(, ) () xyaTTkkQxxyyT x y tTtTkTTn在

9、 內(nèi)在上在上若物體內(nèi)無(wú)熱源，則方程退化為二維無(wú)熱源穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程9-3 平面穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的有限元法 1、泛函與變分、泛函與變分 函數(shù)函數(shù) y=f(x) 求求y 的極值，即求微分，由的極值，即求微分，由dy=0 可得?？傻谩?泛函泛函J=J y(x) 函數(shù)函數(shù)y(x)為自變量，為自變量，J為函數(shù)為函數(shù)y的函數(shù)，稱(chēng)的函數(shù)，稱(chēng)J為為y的泛函，求泛函的極值，即求變分，的泛函，求泛函的極值，即求變分， 由由 可得。可得。 例：平面上例：平面上AB兩點(diǎn)，連接兩點(diǎn)，連接AB的曲線(xiàn)很多，要求一條曲線(xiàn)使重的曲線(xiàn)很多，要求一條曲線(xiàn)使重物靠自重由物靠自重由A沿此曲線(xiàn)滑到沿此曲線(xiàn)滑到B所需的時(shí)間最短，即求最速下降所需的

10、時(shí)間最短，即求最速下降曲線(xiàn)。曲線(xiàn)。 顯然，顯然，AB間直線(xiàn)路徑最短，但重物運(yùn)動(dòng)的速度增長(zhǎng)并不是最間直線(xiàn)路徑最短，但重物運(yùn)動(dòng)的速度增長(zhǎng)并不是最大，即下滑的時(shí)間并非最短。大，即下滑的時(shí)間并非最短。0JxyvpBA( ) 1,2,.iy xin 1,2,.iT in 2、平面穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的泛函、平面穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的泛函 求滿(mǎn)足平面溫度場(chǎng)方程及邊界條件的溫度場(chǎng)求滿(mǎn)足平面溫度場(chǎng)方程及邊界條件的溫度場(chǎng)T(x,y),設(shè)設(shè)k為為常數(shù)常數(shù) 據(jù)變分原理，此問(wèn)題等價(jià)于求泛函據(jù)變分原理，此問(wèn)題等價(jià)于求泛函JT(x,y)的極值函數(shù)，的極值函數(shù)，參考相關(guān)教材，可得上述熱傳導(dǎo)作為歐拉方程的相應(yīng)泛參考相關(guān)教材，可得上述熱傳導(dǎo)作為歐

11、拉方程的相應(yīng)泛函：函：222210 () aTTxyTkTTn在 內(nèi)在 上12221 ( , )()() ()22akTTJ T x ydxdyTTT dsxy 求解域內(nèi)部溫度場(chǎng)相應(yīng)的泛函求解域邊界部分溫度場(chǎng)相應(yīng)的泛函 3、溫度場(chǎng)單元分析、溫度場(chǎng)單元分析 圖示求解域離散為若干三角形單元，圖示求解域離散為若干三角形單元，含有邊界的單元，稱(chēng)為邊界單元，含有邊界的單元，稱(chēng)為邊界單元，任取一個(gè)單元任取一個(gè)單元i,j,k,如圖。如圖。 A、溫度插值函數(shù)、溫度插值函數(shù) 在邊界線(xiàn)在邊界線(xiàn)(如如ij)上的任一點(diǎn)的溫度上的任一點(diǎn)的溫度T，可用兩個(gè)端點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)溫度線(xiàn)性插值可用兩個(gè)端點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)溫度線(xiàn)性插值表示：表示：x

12、yo123( , )T x yxy ( , )eiijjkkT x yNTN TN TN T1() i,j,k2iiiiNab xc yA輪換(1)ijKKSSTTTSSxy o T(x,y)j ik s B、單元溫度剛度矩陣、單元溫度剛度矩陣 從溫度場(chǎng)插值函數(shù)可知，溫度場(chǎng)已離散到全部節(jié)點(diǎn)上，從溫度場(chǎng)插值函數(shù)可知，溫度場(chǎng)已離散到全部節(jié)點(diǎn)上，即求溫度場(chǎng)實(shí)際是求節(jié)點(diǎn)的溫度值。因而，泛函式實(shí)際即求溫度場(chǎng)實(shí)際是求節(jié)點(diǎn)的溫度值。因而，泛函式實(shí)際已成為描述未知節(jié)點(diǎn)溫度的多元函數(shù)，而不是溫度場(chǎng)已成為描述未知節(jié)點(diǎn)溫度的多元函數(shù)，而不是溫度場(chǎng)T(x,y)的函數(shù)，即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)的極值的函數(shù)，即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求

13、多元函數(shù)的極值 設(shè)求解域有設(shè)求解域有n個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度未知量，則泛函個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度未知量，則泛函JT(x,y)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為為 的形式，極值條件為：的形式，極值條件為： 設(shè)單元只有三節(jié)點(diǎn)溫度，設(shè)單元只有三節(jié)點(diǎn)溫度，jk為邊界，將溫度插值函數(shù)代為邊界，將溫度插值函數(shù)代入前述的泛函，并求導(dǎo)得極值條件：入前述的泛函，并求導(dǎo)得極值條件：0 1,2,.eemmJJmnTT12 ,. nJ T TT()() () 0eiiieajjkJTTTTkdxdyTxTxyTyTTTT上式第一部分為內(nèi)部單元的溫度剛陣：上式第一部分為內(nèi)部單元的溫度剛陣：對(duì)于內(nèi)部單元的溫度剛陣，對(duì)于內(nèi)部單元的溫度剛陣，i,j,k三點(diǎn)輪換，記為矩陣形

14、式：三點(diǎn)輪換，記為矩陣形式：第二部分：第二部分：記為矩陣形式：記為矩陣形式：兩部分相加可得邊界單元的溫度剛陣：兩部分相加可得邊界單元的溫度剛陣：22()()()4eiiiijijjikikkiJkbc Tbbcc Tbbcc TTA 22222204eiiiijiji ki kieeejjj kj kjjkkkekJTbcbbccbbccTJkbcb bc cTHTTAbcTJT()362iiiajkajjksssTTTTTTT 1000036223ieeeiiijakiiaTsssTTHTpTssT 1()0 eeeeeeeHHTpHTp即3、整體溫度場(chǎng)方程、整體溫度場(chǎng)方程為為n個(gè)線(xiàn)性方程組

15、，對(duì)于每個(gè)方程而言，是對(duì)繞節(jié)個(gè)線(xiàn)性方程組，對(duì)于每個(gè)方程而言，是對(duì)繞節(jié)點(diǎn)點(diǎn)m的所有單元求和，如圖，節(jié)點(diǎn)的所有單元求和，如圖，節(jié)點(diǎn)5，則繞節(jié)點(diǎn)，則繞節(jié)點(diǎn)5的單元為的單元為1，2，3，而其它單元不含節(jié)點(diǎn)，而其它單元不含節(jié)點(diǎn)5，即它，即它們的泛函對(duì)們的泛函對(duì) 的偏導(dǎo)為的偏導(dǎo)為0，可不考慮，即，可不考慮，即如單元如單元1，3為邊界單元，則按邊界單元?jiǎng)傟囉?jì)算；為邊界單元，則按邊界單元?jiǎng)傟囉?jì)算；如單元如單元2為內(nèi)部單元，則按內(nèi)部單元?jiǎng)傟囉?jì)算。為內(nèi)部單元，則按內(nèi)部單元?jiǎng)傟囉?jì)算。如此整理可得整體代數(shù)方程組：如此整理可得整體代數(shù)方程組：對(duì)于其他帶熱源的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)或三維溫度場(chǎng)計(jì)算對(duì)于其他帶熱源的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)或三維溫度

16、場(chǎng)計(jì)算其方法相似。其方法相似。0 1,2,.eemmJJmnTTxyo123154612355550JJJJTTTT111211122222nnnnnnhhhTphhTphTp HTp5T9-4 熱變形的計(jì)算 當(dāng)彈性體的溫度改變時(shí)，體內(nèi)各部分將隨溫度變化而產(chǎn)當(dāng)彈性體的溫度改變時(shí)，體內(nèi)各部分將隨溫度變化而產(chǎn)生變形，這種變形常稱(chēng)為熱變形?？紤]到彈性體實(shí)際工生變形，這種變形常稱(chēng)為熱變形。考慮到彈性體實(shí)際工作中都受到外界和體內(nèi)各個(gè)部分間的約束，故熱變形往作中都受到外界和體內(nèi)各個(gè)部分間的約束，故熱變形往往不能自由發(fā)生，從而將導(dǎo)致體內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力，這種應(yīng)力往不能自由發(fā)生，從而將導(dǎo)致體內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力，這種應(yīng)力常稱(chēng)為

17、熱應(yīng)力。與之對(duì)應(yīng)的溫度的改變常稱(chēng)為熱載荷。常稱(chēng)為熱應(yīng)力。與之對(duì)應(yīng)的溫度的改變常稱(chēng)為熱載荷。 設(shè)二維平面問(wèn)題的彈性體兩個(gè)瞬時(shí)的溫度變化設(shè)二維平面問(wèn)題的彈性體兩個(gè)瞬時(shí)的溫度變化為為 ，材料的線(xiàn)膨脹系數(shù)為，材料的線(xiàn)膨脹系數(shù)為 ，對(duì)各向，對(duì)各向同性材料，熱膨脹只產(chǎn)生正應(yīng)變，不伴隨產(chǎn)生剪應(yīng)變。同性材料，熱膨脹只產(chǎn)生正應(yīng)變，不伴隨產(chǎn)生剪應(yīng)變。即即 若將物體由熱變形產(chǎn)生的應(yīng)變可視為物體的若將物體由熱變形產(chǎn)生的應(yīng)變可視為物體的初應(yīng)變初應(yīng)變，則，則計(jì)算熱應(yīng)力只需算出計(jì)算熱應(yīng)力只需算出熱變形熱變形引起的初應(yīng)變，求得相應(yīng)初引起的初應(yīng)變，求得相應(yīng)初應(yīng)變引起的等效節(jié)點(diǎn)載荷（溫度等效節(jié)點(diǎn)載荷），然后應(yīng)變引起的等效節(jié)點(diǎn)載荷（溫度等效節(jié)點(diǎn)載荷），然后按通常求解剛度方程計(jì)算出節(jié)點(diǎn)位移即可。按通常求解剛度方程計(jì)算出節(jié)點(diǎn)位移即可。000 0 x