常用分布與統(tǒng)計分析方法

1、Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction

2、 to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling在自然界中，有些變量在每次觀察前，不可能事先確定其取值；經(jīng)過在自然界中，有些變量在每次觀察前，不可能事先確定其取值；經(jīng)過在自然界中，有些變量在每次觀察前，不可能事先確定其取值；經(jīng)過在自然界中，有些變量在每次觀察前，不可能事先確定其取值；經(jīng)過在自然界中，有些變量在每次觀察前，不可能事先確定其取值；經(jīng)過在自然界中，有些變量在每次觀察前，不

3、可能事先確定其取值；經(jīng)過大量反復觀察，其取值又有一定的規(guī)律，這種變量稱為大量反復觀察，其取值又有一定的規(guī)律，這種變量稱為大量反復觀察，其取值又有一定的規(guī)律，這種變量稱為大量反復觀察，其取值又有一定的規(guī)律，這種變量稱為大量反復觀察，其取值又有一定的規(guī)律，這種變量稱為大量反復觀察，其取值又有一定的規(guī)律，這種變量稱為。例例例例例例 (1). (1). (1). 擲骰子出現(xiàn)某點數(shù)的概率為擲骰子出現(xiàn)某點數(shù)的概率為擲骰子出現(xiàn)某點數(shù)的概率為擲骰子出現(xiàn)某點數(shù)的概率為擲骰子出現(xiàn)某點數(shù)的概率為擲骰子出現(xiàn)某點數(shù)的概率為1/61/61/6，若擲，若擲，若擲，若擲，若擲，若擲100100100次，則出現(xiàn)該點數(shù)的次，則出

4、現(xiàn)該點數(shù)的次，則出現(xiàn)該點數(shù)的次，則出現(xiàn)該點數(shù)的次，則出現(xiàn)該點數(shù)的次，則出現(xiàn)該點數(shù)的次數(shù)次數(shù)次數(shù)次數(shù)次數(shù)次數(shù)X X X是隨機變量是隨機變量是隨機變量是隨機變量是隨機變量是隨機變量; ; ; (2). 1 (2). 1 (2). 1路公車每路公車每路公車每路公車每路公車每路公車每101010分鐘發(fā)一趟車，某人在隨機的時間到達車站等車，分鐘發(fā)一趟車，某人在隨機的時間到達車站等車，分鐘發(fā)一趟車，某人在隨機的時間到達車站等車，分鐘發(fā)一趟車，某人在隨機的時間到達車站等車，分鐘發(fā)一趟車，某人在隨機的時間到達車站等車，分鐘發(fā)一趟車，某人在隨機的時間到達車站等車，則等車時間則等車時間則等車時間則等車時間則等車時

5、間則等車時間X X X是隨機變量。是隨機變量。是隨機變量。是隨機變量。是隨機變量。是隨機變量。 X X X的所有可能取值是有限個或可列個。的所有可能取值是有限個或可列個。的所有可能取值是有限個或可列個。的所有可能取值是有限個或可列個。的所有可能取值是有限個或可列個。的所有可能取值是有限個或可列個。 最常見的一類非離散型隨機變量。最常見的一類非離散型隨機變量。最常見的一類非離散型隨機變量。最常見的一類非離散型隨機變量。最常見的一類非離散型隨機變量。最常見的一類非離散型隨機變量。 Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroductio

6、n to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling 對連續(xù)型隨機變量，考察事件對連續(xù)型隨機變量，考察事件對連續(xù)型隨機變量，考察事件對連續(xù)型隨機變量，考察事件對連續(xù)型隨機變量，考察事件對連續(xù)型隨機變量，考察事件aaaX X Xbbb的概率。若存在非負的可的概率。若存在非負的可的概率。若存在非負的可的概率。若存在非負的可的概率。若存在非負的可的概率。若存在非負的可積函數(shù)積函數(shù)積函數(shù)積函數(shù)積函數(shù)積函數(shù)p(x)p(x)p(x)，使得：對任意的，使得：對任意的，使得：對任意的，使得：對

7、任意的，使得：對任意的，使得：對任意的a, b(ab)a, b(ab)a, b(ab)，都有，都有，都有，都有，都有，都有badxxpbXaP)( 則稱則稱則稱則稱則稱則稱p(x)p(x)p(x)為隨機變量為隨機變量為隨機變量為隨機變量為隨機變量為隨機變量X X X的的的的的的 對所有隨機變量對所有隨機變量對所有隨機變量對所有隨機變量對所有隨機變量對所有隨機變量X X X，可以定義以下的概率分布函數(shù)，可以定義以下的概率分布函數(shù)，可以定義以下的概率分布函數(shù)，可以定義以下的概率分布函數(shù)，可以定義以下的概率分布函數(shù)，可以定義以下的概率分布函數(shù)F(x)F(x)F(x): : : xdttpxXPxF)

8、( xFxp)(1)(0)(dxxpxpP(x)P(x)P(x)的性質(zhì)：的性質(zhì)：的性質(zhì)：的性質(zhì)：的性質(zhì)：的性質(zhì)：Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling：連續(xù)：連續(xù)：連續(xù)：連續(xù)：連續(xù)：連續(xù)n n n次獨立地重復一個試驗，每次試驗結(jié)果只有兩次獨立地重復一個試驗，每次試驗結(jié)果只有兩次獨立地重復一個試驗，每次試驗結(jié)果只有兩次獨立地重復一個試驗，每次試驗結(jié)果

9、只有兩次獨立地重復一個試驗，每次試驗結(jié)果只有兩次獨立地重復一個試驗，每次試驗結(jié)果只有兩個不同的結(jié)果個不同的結(jié)果個不同的結(jié)果個不同的結(jié)果個不同的結(jié)果個不同的結(jié)果A A A和和和和和和B B B，它們出現(xiàn)的概率分別是，它們出現(xiàn)的概率分別是，它們出現(xiàn)的概率分別是，它們出現(xiàn)的概率分別是，它們出現(xiàn)的概率分別是，它們出現(xiàn)的概率分別是p p p和和和和和和q q q，且，且，且，且，且，且p p p+ + +q q q=1=1=1。 設設設設設設n n n重重重重重重BernoulliBernoulliBernoulli試驗中事件試驗中事件試驗中事件試驗中事件試驗中事件試驗中事件A A A出現(xiàn)的次數(shù)為出現(xiàn)的

10、次數(shù)為出現(xiàn)的次數(shù)為出現(xiàn)的次數(shù)為出現(xiàn)的次數(shù)為出現(xiàn)的次數(shù)為X X X，顯然，顯然，顯然，顯然，顯然，顯然X X X為離散型隨為離散型隨為離散型隨為離散型隨為離散型隨為離散型隨機變量。則機變量。則機變量。則機變量。則機變量。則機變量。則X X X的概率分布為：的概率分布為：的概率分布為：的概率分布為：的概率分布為：的概率分布為：nkqpCkXPknkkn,.,2 , 1 , 0稱稱稱稱稱稱，記為，記為，記為，記為，記為，記為X X XB(B(B(n n n, , , p p p) ) )。nkkXP,.,2 , 1 , 0010nnkknkknqpqpCIntroduction to Statist

11、ics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling設設設設設設X X X為離散型隨機變量，為離散型隨機變量，為離散型隨機變量，為離散型隨機變量，為離散型隨機變量，為離散型隨機變量，X X X的概率分布為：的概率分布為：的概率分布為：的概率分布為：的概率分布為：的概率分布為：,.2 , 1 , 00,!kkekXPk為常數(shù)，稱稱稱稱稱稱，記為，記為，記為，記為，記為，記為X X XP(P(P( ) ) )。

12、Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling設設設設設設X X X為連續(xù)型隨機變量，為連續(xù)型隨機變量，為連續(xù)型隨機變量，為連續(xù)型隨機變量，為連續(xù)型隨機變量，為連續(xù)型隨機變量，X X X的概率密度為：的概率密度為：的概率密度為：的概率密度為：的概率密度為：的概率密度為： 其它值01bxaabxp稱稱稱稱稱稱，記為，記為，記為，記為，記為，記為X X X U

13、 U U(a, b)(a, b)(a, b)。 顯然有：顯然有：顯然有：顯然有：顯然有：顯然有：abxxdxxpxXxPxx122121)(其中其中其中其中其中其中x x x1 1 1, x, x, x2 2 2 a, b, xa, b, xa, b, x1 1 1xx p=0.27 p=0.27 (=0.05)(=0.05)(=0.05)，故硬幣勻稱假設成立；，故硬幣勻稱假設成立；，故硬幣勻稱假設成立；，故硬幣勻稱假設成立；，故硬幣勻稱假設成立；，故硬幣勻稱假設成立； 對于第二個試驗結(jié)果，對于第二個試驗結(jié)果，對于第二個試驗結(jié)果，對于第二個試驗結(jié)果，對于第二個試驗結(jié)果，對于第二個試驗結(jié)果，p=

14、0.04 p=0.04 p=0.04 (=0.05)(=0.05)(=0.05)，故硬幣勻稱假設不成立；，故硬幣勻稱假設不成立；，故硬幣勻稱假設不成立；，故硬幣勻稱假設不成立；，故硬幣勻稱假設不成立；，故硬幣勻稱假設不成立；Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling設隨機變量設隨機變量設隨機變量設隨機變量設隨機變量設隨機變量X X X的概率密度為：的概

15、率密度為：的概率密度為：的概率密度為：的概率密度為：的概率密度為：xexpx22221)(其中其中其中其中其中其中- - - + + 000均為常數(shù)。稱均為常數(shù)。稱均為常數(shù)。稱均為常數(shù)。稱均為常數(shù)。稱均為常數(shù)。稱，記，記，記，記，記，記作作作作作作 ：均值；：均值；：均值；：均值；：均值；：均值； ：方差：方差：方差：方差：方差：方差 =0=0=0； 2 2 2=1=1=1時，稱為標準正態(tài)分布，記為時，稱為標準正態(tài)分布，記為時，稱為標準正態(tài)分布，記為時，稱為標準正態(tài)分布，記為時，稱為標準正態(tài)分布，記為時，稱為標準正態(tài)分布，記為遵從正態(tài)分布的隨機變量遵從正態(tài)分布的隨機變量遵從正態(tài)分布的隨機變量遵

16、從正態(tài)分布的隨機變量遵從正態(tài)分布的隨機變量遵從正態(tài)分布的隨機變量X X X，其正態(tài)分布函數(shù)為：，其正態(tài)分布函數(shù)為：，其正態(tài)分布函數(shù)為：，其正態(tài)分布函數(shù)為：，其正態(tài)分布函數(shù)為：，其正態(tài)分布函數(shù)為：xdtexXPxt22221)(Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling正態(tài)分布完全由其均值正態(tài)分布完全由其均值正態(tài)分布完全由其均值正態(tài)分布完全由其均值正態(tài)分

17、布完全由其均值正態(tài)分布完全由其均值 和方差和方差和方差和方差和方差和方差 2 2 2決定決定決定決定決定決定；正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線呈對稱的正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線呈對稱的正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線呈對稱的正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線呈對稱的正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線呈對稱的正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線呈對稱的“鐘形鐘形鐘形鐘形鐘形鐘形”；經(jīng)驗規(guī)則（經(jīng)驗規(guī)則（經(jīng)驗規(guī)則（經(jīng)驗規(guī)則（經(jīng)驗規(guī)則（經(jīng)驗規(guī)則（3 3 3 準則）：準則）：準則）：準則）：準則）：準則）：9973.039545.026826.0 xPxPxPIntroduction to Statistics-Mathematical M

18、odelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling686868959595999999 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 p(x) p(x) p(x)x x x21Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematic

19、al ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling變量與變量的關系：變量與變量的關系：變量與變量的關系：變量與變量的關系：變量與變量的關系：變量與變量的關系：確定性關系確定性關系確定性關系確定性關系確定性關系確定性關系U=IRU=IRU=IRv=gtv=gtv=gt變量與變量的關系：變量與變量的關系：變量與變量的關系：變量與變量的關系：變

20、量與變量的關系：變量與變量的關系：非確定性關系非確定性關系非確定性關系非確定性關系非確定性關系非確定性關系（具有統(tǒng)計規(guī)律）（具有統(tǒng)計規(guī)律）（具有統(tǒng)計規(guī)律）（具有統(tǒng)計規(guī)律）（具有統(tǒng)計規(guī)律）（具有統(tǒng)計規(guī)律）Y=f(xY=f(xY=f(x1 1 1, x, x, x2 2 2, , , , x, x, xn n n)+)+)+ Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Mo

21、deling RegressionRegressionRegression: : : the relation between selected values of x and the relation between selected values of x and the relation between selected values of x and observed values of y (from which the most probable value of y observed values of y (from which the most probable value

22、of y observed values of y (from which the most probable value of y can be predicted for any value of x)can be predicted for any value of x)can be predicted for any value of x) 尋求表達尋求表達尋求表達尋求表達尋求表達尋求表達Y Y Y與與與與與與x x x1 1 1, x, x, x2 2 2, , , , x, x, xn n n的相關關系的的相關關系的的相關關系的的相關關系的的相關關系的的相關關系的，簡稱簡稱簡稱簡稱

23、簡稱簡稱； 利用回歸方程，在一定可靠度的要求下，預估當自變利用回歸方程，在一定可靠度的要求下，預估當自變利用回歸方程，在一定可靠度的要求下，預估當自變利用回歸方程，在一定可靠度的要求下，預估當自變利用回歸方程，在一定可靠度的要求下，預估當自變利用回歸方程，在一定可靠度的要求下，預估當自變量量量量量量x x x1 1 1, x, x, x2 2 2, , , , x, x, xn n n取確定值時，隨機變量取確定值時，隨機變量取確定值時，隨機變量取確定值時，隨機變量取確定值時，隨機變量取確定值時，隨機變量Y Y Y的取值，稱為的取值，稱為的取值，稱為的取值，稱為的取值，稱為的取值，稱為； 為使為

24、使為使為使為使為使Y Y Y在給定的范圍內(nèi)取值，利用回歸方程，控制自變在給定的范圍內(nèi)取值，利用回歸方程，控制自變在給定的范圍內(nèi)取值，利用回歸方程，控制自變在給定的范圍內(nèi)取值，利用回歸方程，控制自變在給定的范圍內(nèi)取值，利用回歸方程，控制自變在給定的范圍內(nèi)取值，利用回歸方程，控制自變量量量量量量x x x1 1 1, x, x, x2 2 2, , , , x, x, xn n n的取值范圍，稱為的取值范圍，稱為的取值范圍，稱為的取值范圍，稱為的取值范圍，稱為的取值范圍，稱為。Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction

25、to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modelingx x x：可控制或可精確觀測得到的數(shù)據(jù)的變量；：可控制或可精確觀測得到的數(shù)據(jù)的變量；：可控制或可精確觀測得到的數(shù)據(jù)的變量；：可控制或可精確觀測得到的數(shù)據(jù)的變量；：可控制或可精確觀測得到的數(shù)據(jù)的變量；：可控制或可精確觀測得到的數(shù)據(jù)的變量；Y Y Y：與：與：與：與：與：與x x x具有相關關系的隨機變量。具有相關關系的隨機變量。具有相關關系的隨機變量。具有相關關系的隨機變量。具有相關關系的隨機變量。具有相關關系的隨機變量。x x

26、xi i i (i=1, 2, , n) (i=1, 2, , n) (i=1, 2, , n)y y yi i i (i=1, 2, , n)(i=1, 2, , n)(i=1, 2, , n)數(shù)據(jù)對（樣本值）：數(shù)據(jù)對（樣本值）：數(shù)據(jù)對（樣本值）：數(shù)據(jù)對（樣本值）：數(shù)據(jù)對（樣本值）：數(shù)據(jù)對（樣本值）：( ( (x x xi i i, , , y y yi i i) i=1, 2, , n ) i=1, 2, , n ) i=1, 2, , n 散點圖散點圖散點圖散點圖散點圖散點圖(Scatter Graph)(Scatter Graph)(Scatter Graph)不妨假定不妨假定不妨假定

27、不妨假定不妨假定不妨假定Y Y Y與與與與與與x x x具有線性相關關系：具有線性相關關系：具有線性相關關系：具有線性相關關系：具有線性相關關系：具有線性相關關系：( ( (x x xi i i, , , y y yi i i) ) )bxaY其中，其中，其中，其中，其中，其中， 是數(shù)學期望為是數(shù)學期望為是數(shù)學期望為是數(shù)學期望為是數(shù)學期望為是數(shù)學期望為0 0 0的隨機變量，假的隨機變量，假的隨機變量，假的隨機變量，假的隨機變量，假的隨機變量，假設設設設設設 滿滿滿滿滿滿足正態(tài)分布，于是：足正態(tài)分布，于是：足正態(tài)分布，于是：足正態(tài)分布，于是：足正態(tài)分布，于是：足正態(tài)分布，于是：bxaYEIntr

28、oduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling 根據(jù)數(shù)據(jù)對（樣本值）根據(jù)數(shù)據(jù)對（樣本值）根據(jù)數(shù)據(jù)對（樣本值）根據(jù)數(shù)據(jù)對（樣本值）根據(jù)數(shù)據(jù)對（樣本值）根據(jù)數(shù)據(jù)對（樣本值）( ( (x x xi i i, , , y y yi i i), i=1, 2, ), i=1, 2, ), i=1, 2, , n, n, n對系數(shù)對系數(shù)對系數(shù)對系數(shù)對系數(shù)對系數(shù)a a a、b

29、b b作出估計，作出估計，作出估計，作出估計，作出估計，作出估計，并求得并求得并求得并求得并求得并求得E(Y)E(Y)E(Y)的估計值：的估計值：的估計值：的估計值：的估計值：的估計值：xbay稱為稱為稱為稱為稱為稱為。1. 1. 1.求求求求求求a a a、b b b的估計值，從而求的估計值，從而求的估計值，從而求的估計值，從而求的估計值，從而求的估計值，從而求出線性回歸方程；出線性回歸方程；出線性回歸方程；出線性回歸方程；出線性回歸方程；出線性回歸方程；2. 2. 2.作線性相關性檢驗。作線性相關性檢驗。作線性相關性檢驗。作線性相關性檢驗。作線性相關性檢驗。作線性相關性檢驗。回歸直線回歸直

30、線回歸直線回歸直線回歸直線回歸直線回歸值回歸值回歸值回歸值回歸值回歸值回歸系數(shù)回歸系數(shù)回歸系數(shù)回歸系數(shù)回歸系數(shù)回歸系數(shù)Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling平面直線平面直線平面直線平面直線平面直線平面直線L L L：y=a+bxy=a+bxy=a+bx樣本點樣本點樣本點樣本點樣本點樣本點( ( (x x xi i i, , , y y yi i i

31、), i=1, 2, , n), i=1, 2, , n), i=1, 2, , n令：令：令：令：令：令：niiiniibxaybaQ1212,Q(a, b)Q(a, b)Q(a, b)表示點表示點表示點表示點表示點表示點( ( (x x xi i i, , , y y yi i i), i=1, 2, ), i=1, 2, ), i=1, 2, , n, n, n與直線與直線與直線與直線與直線與直線L L L的偏離程度。的偏離程度。的偏離程度。的偏離程度。的偏離程度。的偏離程度。 滿足：滿足：滿足：滿足：滿足：滿足：baQbaQ,min,的的的的的的 稱為稱為稱為稱為稱為稱為a, ba,

32、ba, b的的的的的的。ba, Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling根據(jù)多元函數(shù)達到極值的條件，令：根據(jù)多元函數(shù)達到極值的條件，令：根據(jù)多元函數(shù)達到極值的條件，令：根據(jù)多元函數(shù)達到極值的條件，令：根據(jù)多元函數(shù)達到極值的條件，令：根據(jù)多元函數(shù)達到極值的條件，令：020211niiiiniiixbxaybQbxayaQ化為方程組：化為方程組：化為方程

33、組：化為方程組：化為方程組：化為方程組：niiiniiyxbxaxnynbxnna112其中：其中：其中：其中：其中：其中：niiniiynyxnx1111可以證明，當可以證明，當可以證明，當可以證明，當可以證明，當可以證明，當x x xi i i不全相同時，上述方程組有且存在唯一解。不全相同時，上述方程組有且存在唯一解。不全相同時，上述方程組有且存在唯一解。不全相同時，上述方程組有且存在唯一解。不全相同時，上述方程組有且存在唯一解。不全相同時，上述方程組有且存在唯一解。Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction t

34、o Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling解得：解得：解得：解得：解得：解得：xxxySSbxbyaniiniiynyxnx1111niixxniiixyxxSyyxxS121可以證明，可以證明，可以證明，可以證明，可以證明，可以證明， 是是是是是是a, ba, ba, b的最小方差無偏估計。的最小方差無偏估計。的最小方差無偏估計。的最小方差無偏估計。的最小方差無偏估計。的最小方差無偏估計。線性回歸方程可改寫為：線性回歸方程可改寫為：線性回歸方程可改寫為：線性回歸方程可改寫

35、為：線性回歸方程可改寫為：線性回歸方程可改寫為：ba, )(xxbyyIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistic

36、s-Mathematical Modeling考慮考慮考慮考慮考慮考慮：niiiiiniiiniiiniiiiiniiyyyyyyyyyyyyyyyyS1121212122 niiixxxyxxniiyyyyQSSSbyyUQUS122212)(xxbyyU U U：回歸值的離差平方和，由：回歸值的離差平方和，由：回歸值的離差平方和，由：回歸值的離差平方和，由：回歸值的離差平方和，由：回歸值的離差平方和，由n n n個個個個個個x x xi i i的離散性通過的離散性通過的離散性通過的離散性通過的離散性通過的離散性通過x x x對對對對對對Y Y Y的相關關系造成；的相關關系造成；的相關關系造

37、成；的相關關系造成；的相關關系造成；的相關關系造成； 稱為稱為稱為稱為稱為稱為Q Q Q：x x x對對對對對對Y Y Y的非線性影響以及試驗的隨機誤差造成的非線性影響以及試驗的隨機誤差造成的非線性影響以及試驗的隨機誤差造成的非線性影響以及試驗的隨機誤差造成的非線性影響以及試驗的隨機誤差造成的非線性影響以及試驗的隨機誤差造成 稱為稱為稱為稱為稱為稱為Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-M

38、athematical Modeling 考慮回歸和考慮回歸和考慮回歸和考慮回歸和考慮回歸和考慮回歸和U U U相對于總和相對于總和相對于總和相對于總和相對于總和相對于總和S S Syyyyyy的比：的比：的比：的比：的比：的比：12yyxxxyyySSSSU：yyxxxySSSr 稱為稱為稱為稱為稱為稱為。相關系數(shù)相關系數(shù)相關系數(shù)相關系數(shù)相關系數(shù)相關系數(shù)r r r：|r|r|r| 1 1 1 |r| |r| |r|越大，線性相關關系越顯著；越大，線性相關關系越顯著；越大，線性相關關系越顯著；越大，線性相關關系越顯著；越大，線性相關關系越顯著；越大，線性相關關系越顯著； r=0r=0r=0，Y

39、 Y Y與與與與與與x x x不存在線性相關關系；不存在線性相關關系；不存在線性相關關系；不存在線性相關關系；不存在線性相關關系；不存在線性相關關系； |r|=1|r|=1|r|=1，Y Y Y與與與與與與x x x完全線性相關（完全正完全線性相關（完全正完全線性相關（完全正完全線性相關（完全正完全線性相關（完全正完全線性相關（完全正/ / /負相關）負相關）負相關）負相關）負相關）負相關）Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntrodu

40、ction to Statistics-Mathematical Modeling采用相關系數(shù)采用相關系數(shù)采用相關系數(shù)采用相關系數(shù)采用相關系數(shù)采用相關系數(shù)r r r為統(tǒng)計量，當：為統(tǒng)計量，當：為統(tǒng)計量，當：為統(tǒng)計量，當：為統(tǒng)計量，當：為統(tǒng)計量，當：2nrr時，認為在顯著性水平時，認為在顯著性水平時，認為在顯著性水平時，認為在顯著性水平時，認為在顯著性水平時，認為在顯著性水平 下，線性回歸顯著。下，線性回歸顯著。下，線性回歸顯著。下，線性回歸顯著。下，線性回歸顯著。下，線性回歸顯著。數(shù)據(jù)點數(shù)目數(shù)據(jù)點數(shù)目數(shù)據(jù)點數(shù)目數(shù)據(jù)點數(shù)目數(shù)據(jù)點數(shù)目數(shù)據(jù)點數(shù)目n-2 0.100.050.020.010.00110

41、.987690.996920.9995070.9998770.999998870.58220.66640.74980.79770.898280.54940.63190.71550.76460.87211000.16380.19460.23010.25400.3211Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling計算計算計算計算計算計算F F F值：值：值：

42、值：值：值：2nQUF顯然，顯然，顯然，顯然，顯然，顯然，F(xiàn) F F值越大，值越大，值越大，值越大，值越大，值越大，U U U在總和中所占比例越大，回歸性也越顯著。在總和中所占比例越大，回歸性也越顯著。在總和中所占比例越大，回歸性也越顯著。在總和中所占比例越大，回歸性也越顯著。在總和中所占比例越大，回歸性也越顯著。在總和中所占比例越大，回歸性也越顯著。 當：當：當：當：當：當：2,11nFF時，認為在顯著性水平時，認為在顯著性水平時，認為在顯著性水平時，認為在顯著性水平時，認為在顯著性水平時，認為在顯著性水平 下，線性回歸顯著。下，線性回歸顯著。下，線性回歸顯著。下，線性回歸顯著。下，線性回歸

43、顯著。下，線性回歸顯著。數(shù)據(jù)點數(shù)目數(shù)據(jù)點數(shù)目數(shù)據(jù)點數(shù)目數(shù)據(jù)點數(shù)目數(shù)據(jù)點數(shù)目數(shù)據(jù)點數(shù)目查表：查表：查表：查表：查表：查表：F F F分布表（略）分布表（略）分布表（略）分布表（略）分布表（略）分布表（略）Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modelingxi0410152129365168yi66.771.076.380.685.792.999.4113.612

44、5.1根據(jù)散點圖，確定回歸方程形式：根據(jù)散點圖，確定回歸方程形式：根據(jù)散點圖，確定回歸方程形式：根據(jù)散點圖，確定回歸方程形式：根據(jù)散點圖，確定回歸方程形式：根據(jù)散點圖，確定回歸方程形式：xbay計算得到：計算得到：計算得到：計算得到：計算得到：計算得到：5078.678706. 0308440608 .35341 .900 .26abSSSyxyyxxxyxy8706.05078.67Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroducti

45、on to Statistics-Mathematical Modeling線性相關性檢驗：線性相關性檢驗：線性相關性檢驗：線性相關性檢驗：線性相關性檢驗：線性相關性檢驗：99896.0yyxxxySSSr查表得：查表得：查表得：查表得：查表得：查表得：8982.0)7(7977.0)7(001.001.0rr顯然，在顯然，在顯然，在顯然，在顯然，在顯然，在顯著性水平顯著性水平顯著性水平顯著性水平顯著性水平顯著性水平 =0.001=0.001=0.001下，下，下，下，下，下，Y Y Y與與與與與與x x x的線性相關關系高度顯著。的線性相關關系高度顯著。的線性相關關系高度顯著。的線性相關關系

46、高度顯著。的線性相關關系高度顯著。的線性相關關系高度顯著。Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modelingbuayxuxbay得到令,1buavyvxuxbay得到1,11令方法：變量替換方法：變量替換方法：變量替換方法：變量替換方法：變量替換方法：變量替換Introduction to Statistics-Mathematical ModelingInt

47、roduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modelingbxaey 若若若若若若a0a0a0，則令，則令，則令，則令，則令，則令v=lnyv=lnyv=lny，得到：，得到：，得到：，得到：，得到：，得到：bxav ln若若若若若若a0a0a0a0a0，則令，則令，則令，則令，則令，則令v=lnyv=lnyv=lny，u=lnxu=lnxu=lnx，得到（，得到（，得到（，得到（，得到（，得到（a0a0arnrnr）：）：）：）：）：）：x x xi1i1 i1,

48、, , x x xi2i2 i2, , , , , , x x xir ir ir (i=1, 2, , n) (i=1, 2, , n) (i=1, 2, , n)y y yi i i (i=1, 2, , n)(i=1, 2, , n)(i=1, 2, , n)多元線性回歸模型為：多元線性回歸模型為：多元線性回歸模型為：多元線性回歸模型為：多元線性回歸模型為：多元線性回歸模型為：niExbxbxbbyiiirriii,.,2,10.22110其中，其中，其中，其中，其中，其中， i i i互不相關?；ゲ幌嚓P?；ゲ幌嚓P?；ゲ幌嚓P?；ゲ幌嚓P?；ゲ幌嚓P。Introduction to Stati

49、stics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling記記記記記記nrnrrnnnxxxxxxbbbyyy.1.1.1.1221111102121XbY多元線性回歸模型可寫成：多元線性回歸模型可寫成：多元線性回歸模型可寫成：多元線性回歸模型可寫成：多元線性回歸模型可寫成：多元線性回歸模型可寫成：0XbY)(EIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingI

50、ntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modeling記記記記記記 niirriiixbxbxbbyQ1222110.b：在多元線性回歸模型中，若存在：在多元線性回歸模型中，若存在：在多元線性回歸模型中，若存在：在多元線性回歸模型中，若存在：在多元線性回歸模型中，若存在：在多元線性回歸模型中，若存在b b b的估計值的估計值的估計值的估計值的估計值的估計值 ，則對于任意一，則對于任意一，則對于任意一，則對于任意一，則對于任意一，則對于任意一組實數(shù)組實數(shù)組實數(shù)組

51、實數(shù)組實數(shù)組實數(shù)b b b0 0 0, b, b, b1 1 1, , , , b, b, br r r構成的向量，都成立不等式構成的向量，都成立不等式構成的向量，都成立不等式構成的向量，都成立不等式構成的向量，都成立不等式構成的向量，都成立不等式b bbQQ)(稱稱稱稱稱稱 是是是是是是b b b的最小二乘估計。的最小二乘估計。的最小二乘估計。的最小二乘估計。的最小二乘估計。的最小二乘估計。b：在多元線性回歸模型中，設矩陣：在多元線性回歸模型中，設矩陣：在多元線性回歸模型中，設矩陣：在多元線性回歸模型中，設矩陣：在多元線性回歸模型中，設矩陣：在多元線性回歸模型中，設矩陣X X X列線性無關，

52、則唯一存在列線性無關，則唯一存在列線性無關，則唯一存在列線性無關，則唯一存在列線性無關，則唯一存在列線性無關，則唯一存在b b b的的的的的的最小二乘估計最小二乘估計最小二乘估計最小二乘估計最小二乘估計最小二乘估計YXXXb1)(bIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical Modelingb令令令令令令 ，得到方程組：，得到方程組：，得到方程組：，得到方程組：，得到方

53、程組：，得到方程組：rjbQj,.,2, 1 ,0,0rjyxxxbxxbxbyxbxbnbniiijniniirijriijniijniininiirri,.,2 , 1.1111110111110問題：求解上述方程組。問題：求解上述方程組。問題：求解上述方程組。問題：求解上述方程組。問題：求解上述方程組。問題：求解上述方程組。Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematica

54、l Modelingrjxnxynyniijjnii,.,2 , 11111ryyyrrrrrrrrjjjllllllllllllbbbbxyb.2112122221112112110其中：其中：其中：其中：其中：其中：nkkikiiynkjkjikiijyyxxlxxxxl11)()(Introduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingIntroduction to Statistics-Mathematical ModelingUSQyyUQUyySyyniiniiyy1212)(S S Syyyyyy：U U U：Q Q Q：yySUr )1/(/rnQrUFIntroduction to Statistics-Mathematical Mode