高數(shù)A(2)習(xí)題課(9)三重積分 (1)

1、課件制作：全志勇課件制作：全志勇 于紅香于紅香二、二、 作業(yè)選講作業(yè)選講三、三、 典型例題典型例題四、四、 課堂練習(xí)課堂練習(xí)一、一、 內(nèi)容總結(jié)內(nèi)容總結(jié)一、內(nèi)容總結(jié)一、內(nèi)容總結(jié)1、三重積分的概念、三重積分的概念 (1)定義定義: niiiiivfdvzyxf10 ) , ,(lim) , ,(2)物理意義物理意義: ) , ,(dvzyxM的空間物體的空間物體 的質(zhì)量的質(zhì)量.表示體密度為表示體密度為 ) , ,(zyx 2、三重積分的性質(zhì)、三重積分的性質(zhì) (1)線性性質(zhì)：線性性質(zhì)： dvzyxgzyxf) , ,() , ,( dvzyxgdvzyxf) , ,() , ,(2)可加性：可加性：

2、 21) , ,(dvzyxf 21) , ,() , ,(dvzyxfdvzyxf dvV(4)單調(diào)性：若單調(diào)性：若 在上，在上， ，則，則 ), ,(), ,(zyxgzyxf dvzyxgdvzyxf) , ,() , ,(5)估值性質(zhì)估值性質(zhì): 設(shè)設(shè) MVdvzyxfmV ) , ,(的體積，則在的體積，則在 上至少存在一點(diǎn)上至少存在一點(diǎn) ，使得，使得 ), ,( Vfdvzyxf ),() , ,(3) 的體積：的體積： (6)中值定理：設(shè)函數(shù)中值定理：設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上連續(xù)，上連續(xù)， 是是 ), ,(zyxf V, 則則 ),(,),(zyxMzyxfm3、三重積分的計(jì)算

3、方法、三重積分的計(jì)算方法 (1)利用直角坐標(biāo)計(jì)算利用直角坐標(biāo)計(jì)算 ) , ,() , ,(dxdydzzyxfdvzyxf a) “先一后二先一后二”法法 ) ,( ), ,() ,(| ) , ,(21Dyxyxzzyxzzyx 則則 ) ,( ) ,( 21) , ,() , ,(yxzyxzDdzzyxfdxdydxdydzzyxf b) “先二后一先二后一”法法 其中其中 是豎坐標(biāo)為是豎坐標(biāo)為 的平面截的平面截 閉區(qū)域所得到的一個(gè)閉區(qū)域所得到的一個(gè)zDz 平面閉區(qū)域，則平面閉區(qū)域，則 zDccdxdyzyxfdzdxdydzzyxf ) , ,() , ,(21若若 為為 在在 面上的

4、投影區(qū)域面上的投影區(qū)域 Dxoy) ,( ,| ) , ,(21zDyxczczyx 若若(2)利用柱面坐標(biāo)計(jì)算利用柱面坐標(biāo)計(jì)算若若 ),()( ), ,() ,(| ) , ,(2121 zzzz則則 ) ,sin ,cos() , ,(dzdrdzfdxdydzzyxf ),( ),( )( )( 2121) ,sin ,cos(zzdzzfdd(3)利用球面坐標(biāo)計(jì)算利用球面坐標(biāo)計(jì)算若若 ),()( ), ,() ,(| ) , ,(2121 rrrr ) , ,(dxdydzzyxf則則 2sin)cos ,sinsin ,cossin(ddrdrrrrf ),( ),( 2)( )(

5、2121sin)cos ,sinsin ,cossin(rrdrrrrrfdd4、三重積分的解題方法、三重積分的解題方法計(jì)算三重積分主要應(yīng)用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分主要應(yīng)用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo) 三種坐標(biāo)計(jì)算三種坐標(biāo)計(jì)算. 通常要判別被積函數(shù)通常要判別被積函數(shù) 和積分區(qū)域和積分區(qū)域 ) , ,(zyxf 所具有的特點(diǎn)所具有的特點(diǎn). 如果被積函數(shù)如果被積函數(shù) 222( , , )()f xyzg xyz 積分區(qū)域積分區(qū)域 的投影是圓域，則利用球面坐標(biāo)計(jì)算；如果的投影是圓域，則利用球面坐標(biāo)計(jì)算；如果 被積函數(shù)被積函數(shù) ，則可采用先二后一法計(jì)算；如果，則可采用先二后一法計(jì)算；如

6、果 ( , , )( )f x y zg z 被積函數(shù)被積函數(shù) ，積分區(qū)域，積分區(qū)域 為柱或?yàn)橹?的投影的投影 )() , ,(22yxgzyxf 是圓域，則利用柱面坐標(biāo)計(jì)算；若以上三種特征都不具備，是圓域，則利用柱面坐標(biāo)計(jì)算；若以上三種特征都不具備， 則采用直角坐標(biāo)計(jì)算則采用直角坐標(biāo)計(jì)算.二、作業(yè)選講二、作業(yè)選講zxyO計(jì)算三重積分,d)(22vzy 其中 是由 xOy 平面上曲線xy22所圍成的閉區(qū)域 .提示提示: 利用柱坐標(biāo)sincosrzryxx原式522drx繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面5221 xr100 r20rr d100320d3250:55x 三、典型例題三、典型例題1

7、RxyzO設(shè)1由0,2222zRzyx確定 ,2由0,0,0,2222zyxRzyx所確定 , 則 21d4d)(vxvxAC21d4d)(vyvyB21d4d)(vzvzC21d4d)(vzyxvzyxD:1上半球:2第一卦限部分2把積分zyxzyxfddd),(化為三次積分,其中 由曲面222,xyyxz0,1zy提示提示: 積分域?yàn)?原式220( , , )dxyf x y zz及平面220yxz12 yx11x21dxy11dx所圍成的閉區(qū)域 .xyzO1計(jì)算積分2222RzyxzRzyx2222及,ddd2zyxz其中 是兩個(gè)球 ( R 0 )的公共部分.xyzR2Ro解法解法 ：利

8、用球面坐標(biāo)計(jì)算.用圓錐面 將 分成兩部分312 ，其中1:02 cos ,0232rR2:0,0,023rR于是,得(由作業(yè)P71三1修改)2z dxdydz1222z dxdydzz dxdydz 2 2cos2222 0 0 3cossinRddrrdr 2 2223 0 0 0cossinRddrrdr559480R解法解法 ：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算.由于 在 平面的投影區(qū)域?yàn)閤oy2223:4xyRDxy故在柱面坐標(biāo)下，22223: , 0, 022RRRzRxyzR2RozD1zD2解法解法 : 由于被積函數(shù)缺 x , y ,原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022利用“先二后一

9、先二后一” 計(jì)算方便 .zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyx2RO 注意：注意：從上面三種解法的計(jì)算過程中不難發(fā)現(xiàn)從上面三種解法的計(jì)算過程中不難發(fā)現(xiàn), ,“先先二后一二后一”法最為簡(jiǎn)便法最為簡(jiǎn)便. . 1:222zyxdvez，計(jì)算 解解18dvedvezz 10)(8dzedxdyzzD102)1 (2dzezz.2 分析：分析：由于被積函數(shù)中含有絕對(duì)值，故應(yīng)首先考慮由三重積分的對(duì)稱性結(jié)論，可簡(jiǎn)化所求三重積分. 如何去掉絕對(duì)值，注意到積分區(qū)域 關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面 均對(duì)稱，同時(shí)被積函數(shù) 關(guān)于 都為偶函數(shù)，故zyx , ,|xe設(shè) 為 在第一卦限

10、內(nèi)的區(qū)域，則1 注意：注意：若本題用球面坐標(biāo)法計(jì)算,雖積分限很簡(jiǎn)單，但被積函數(shù)的積分卻不易求得. 利用“先二后一”計(jì)算.zyxVdddzDcyxzddd20abc34czczba022d)1 (2222221:czbyaxDz試計(jì)算橢球體1222222czbyax的體積 V.解法解法利用三重積分換元法. cos,sinsin,cossinrczrbyrax則),(),(rzyxJ,sin2rcba:zyxVdddrJdddabccba34rrabcdddsin2rr d1020dsin20d20010r令設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)且恒大于零, )(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzy

11、xftFtttDxxfyxftGd)(d)()(2)(22其中,),()(2222tzyxzyxt.),()(222tyxyxtD(1) 討論 F( t ) 在區(qū)間 ( 0, +) 內(nèi)的單調(diào)性; (2) 證明 t 0 時(shí), . )(2)(tGtF(2003考研考研)zyt)(tx)(tDO解解: (1) 因?yàn)?ttrrrfrrrftF0220022020d)(dd)(dsind)(ttrrrfrrrf02022d)(d)(2兩邊對(duì) t 求導(dǎo), 得202022d)(d)()()(2)(ttrrrfrrtrrftfttF, 0)(), 0(tF上在.), 0()(單調(diào)增加上在故tF f (x) 恒

12、大于零, (2) 問題轉(zhuǎn)化為證 0)(2)(,0tGtFt時(shí)ttrrfrrrftG020220d)(2d)(d)(ttrrfrrrf0202d)(d)(即證 0d)(d)(d)(20202022tttrrrfrrfrrrf)(tg0d)()()(0222trrtrftftg,), 0()(單調(diào)增在故tg,0)(連續(xù)在又因ttg故有)0()0()(tgtg0因此 t 0 時(shí), .0)(2)(tGtF因求 ，其中 D 為 y 4x2 與 y 9x2在第一象限所圍成的區(qū)域.dxdyxeDy2 解：解：積分區(qū)域圖形如圖所示. 易見其為廣義二重積分. 由被積函數(shù)可以看出，只能采用先對(duì) x 積分后對(duì) y

13、積分的積分次序. 此時(shí)區(qū)域 D 可表示為 .因此110,32yyxy dxdyxeDy2021312yyydxxedy02725dyyey.1445求一均勻的球頂錐體的重心，該球的球心與圓錐頂點(diǎn)重合, 球的半徑為 a , 圓錐的半頂角為 .4解：解：取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓錐的對(duì)稱軸為 z 軸，建立直角坐標(biāo)系，如右圖.則球面方程為：錐面方程為：球頂錐體就是這兩個(gè)曲面zxy所圍成的區(qū)域 .2222xyza222xyz故由于密度 常數(shù)且 關(guān)于z 軸對(duì)稱，0 xy.z dvzdvzdvdv采用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分：2cossinzdvrrdrd d 2sindvrdrd d 故該物體的重心坐標(biāo)為：32(

14、0,0,(1) ).82azxy2344000cos sin8addr dra 2234000sin(22)3addr dra 四、課堂練習(xí)四、課堂練習(xí)【2】計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 . 其中其中 是由錐面是由錐面 zdxdydz 22yxRhz 與平面與平面 所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。 hz )0 , 0( hR【4】設(shè)設(shè) 連續(xù)，連續(xù)， ，其中，其中 )(xf dxdydzyxfztF)()(222hz 0 :， 。求。求 ， 。 20)(limttFt dtdF222tyx 【1】設(shè)設(shè) ，計(jì)算，計(jì)算 . 10 , 1 :22 zyx dvyxez3)tan(32【3】計(jì)算三重積分計(jì)算

15、三重積分 , 其中其中 是由圓錐面是由圓錐面 zdxdydz 22yxz 與上半球面與上半球面 所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。 222yxRz 【6】 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 。其中。其中 是由曲面是由曲面 dxdydzzxy32 xyz 與平面與平面 ， 及及 所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。 xy 1 x0 z【5】求求 ，其中，其中 是由球面是由球面 dxdydzzyxI)(222 zzyx 222所限定的球域。所限定的球域。 yxxdzzyxfdydx),(110zyx【7】將三次積分將三次積分改換積分次序?yàn)楦膿Q積分次序?yàn)?. 課堂練習(xí)解答課堂練習(xí)解答分析：分析： 由于積分區(qū)域由于

16、積分區(qū)域 關(guān)于關(guān)于 面對(duì)稱，而函數(shù)面對(duì)稱，而函數(shù) xoz)tan(32yxez關(guān)于變量關(guān)于變量 為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以 , 又又 ，y0)tan(32 dvyxez dv故本題可利用對(duì)稱性及積分的性質(zhì)計(jì)算。故本題可利用對(duì)稱性及積分的性質(zhì)計(jì)算。 解：解： dvyxez3)tan(32 dvyxez)tan(32 dv3 dv30 3xyzo11【1】設(shè)設(shè) ，計(jì)算，計(jì)算 . 10 , 1 :22 zyx dvyxez3)tan(32【2】計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 . 其中其中 是由錐面是由錐面 zdxdydz 22yxRhz 與平面與平面 所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。 hz )0 , 0

17、( hR被豎坐標(biāo)為被豎坐標(biāo)為 的平面所截的平面閉區(qū)域?yàn)閳A域的平面所截的平面閉區(qū)域?yàn)閳A域 z22222 :hzRyxDz 故本題利用直角坐標(biāo)系中故本題利用直角坐標(biāo)系中“先二后一先二后一”的方法計(jì)算比較簡(jiǎn)便；的方法計(jì)算比較簡(jiǎn)便；222 :RyxDxy 所以本題也可采用柱面坐標(biāo)計(jì)算所以本題也可采用柱面坐標(biāo)計(jì)算解法解法1：利用利用“先二后一先二后一”方法計(jì)算。方法計(jì)算。由于由于 ， 0 ,) ,( | ) , ,(hzDyxzyxz 面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域考慮到積分區(qū)域考慮到積分區(qū)域 在在 坐標(biāo)坐標(biāo) xoy 分析分析 由于被積函數(shù)由于被積函數(shù) 只與變量只與變量 有關(guān)有關(guān), 且積分區(qū)域

18、且積分區(qū)域 z zzyxf ) , ,(xyzoRRhzD其中其中 ，故，故 22222 :hzRyxDz zdxdydz zDhdxdyzdz 0 hdzhzRz 0 222 hdzzhR 0 3222241hR 解法解法2：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算。利用柱面坐標(biāo)計(jì)算。在柱面坐標(biāo)下在柱面坐標(biāo)下 20 ,0 , :RhzRh故有故有 zdxdydz hRhRdzzdd 0 2 0 RdRhh 0 2222)(212RRhh042222)421( 2241hR 注意：注意：從上面兩種解法的過程來看從上面兩種解法的過程來看, 雖然本題可用兩種方法雖然本題可用兩種方法來計(jì)算，但來計(jì)算，但“先二后一先二后一”

19、法相對(duì)簡(jiǎn)便。法相對(duì)簡(jiǎn)便?！?】計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 , 其中其中 是由圓錐面是由圓錐面 zdxdydz 22yxz 與上半球面與上半球面 所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。 222yxRz 分析：分析：本題可考慮用直角坐標(biāo)系中的本題可考慮用直角坐標(biāo)系中的“先二先二后一后一”法和柱面法和柱面坐標(biāo)方法進(jìn)行計(jì)算。坐標(biāo)方法進(jìn)行計(jì)算。 解法解法1：利用利用“先二后一先二后一”方法計(jì)算。方法計(jì)算。因因 0 ,) ,( | ) , ,(RzDyxzyxz 由于當(dāng)由于當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ； Rz220 222 :zyxDz 而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 。 RzR 222222 :zRyxDz yzxo2RRD故需用平面故

20、需用平面 將積分區(qū)域?qū)⒎e分區(qū)域 劃分為兩部分：劃分為兩部分：Rz22 21 220 ,) ,( | ) , ,(1RzDyxzyxz 其中其中22 ,) ,( | ) , ,(2RzRDyxzyxz zdxdydz 21zdxdydzzdxdydz zzDRRDRdxdyzdzdxdyzdz 22 22 0 RRRdzzRzdzzz 22 2222 0 2)(RRRzzRz224222204)4121(41 481R 于是，得于是，得解法解法2：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算。利用柱面坐標(biāo)計(jì)算。在柱面坐標(biāo)下在柱面坐標(biāo)下 20 ,220 , :22RRz zdxdydz 22 22 0 2 0 RRdzzdd

21、 RdR22 0 22)2(212故有故有RR220422)2121( 481R 注意：注意：從上面兩種解法的過程來看，雖然本題可用兩種方法從上面兩種解法的過程來看，雖然本題可用兩種方法來計(jì)算，但利用柱面坐標(biāo)計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)便。來計(jì)算，但利用柱面坐標(biāo)計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)便?！?】設(shè)設(shè) 連續(xù)，連續(xù)， ，其中，其中 )(xf dxdydzyxfztF)()(222hz 0 :， 。求。求 ， 。 20)(limttFt dtdF222tyx 分析分析：本題是三重積分的計(jì)算、變上限積分求導(dǎo)和求極限：本題是三重積分的計(jì)算、變上限積分求導(dǎo)和求極限綜合題目。由于積分區(qū)域綜合題目。由于積分區(qū)域 為圓柱體為圓柱體, 故應(yīng)首先

22、利用柱面坐標(biāo)故應(yīng)首先利用柱面坐標(biāo) 將三重積分將三重積分 轉(zhuǎn)化成積分變上限的函數(shù)，然后求導(dǎo)，最后轉(zhuǎn)化成積分變上限的函數(shù)，然后求導(dǎo)，最后)(tF再利用洛必達(dá)法則求極限。再利用洛必達(dá)法則求極限。 解解: 由柱面坐標(biāo)得由柱面坐標(biāo)得 htdzrfzrdrdtF 0 22 0 2 0 )( )( trdrrhfh 0 23)(32從而有從而有 ；于是；于是 )(3223thfhtdtdF20)(limttFt tthfhtt2)(32lim230 )0(332fhh xyzoht【5】求求 ，其中，其中 是由球面是由球面 dxdydzzyxI)(222 zzyx 222所限定的球域。所限定的球域。分析：分析：由于積分區(qū)域由于積分區(qū)域 是由球面所圍成的球域是由球面所圍成的球域, 且被積函數(shù)且被積函數(shù) 在在球面坐標(biāo)系下，球面坐標(biāo)系下，中含有中含有 ，故本題利用球面坐標(biāo)計(jì)算比較簡(jiǎn)單。，故本題利用球面坐標(biāo)計(jì)算比較簡(jiǎn)單。 222zyx 解：解：積分區(qū)域積分區(qū)域 的圖形如圖。的圖形如圖。 20 ,20 ,cos0 :rxyzo211故有故有 dxdydzzyxI)(222 cos 0 222 0 2 0 sin drrrdd12)cos61(2206 【6】 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 。其中。其中 是由曲面是由曲面 dxdydzzxy32 xyz 與平面與平面