工程流體力學(xué)第七章理想不可壓縮流體有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)

1、本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：在許多工程實(shí)際問題中，流動(dòng)參數(shù)在許多工程實(shí)際問題中，流動(dòng)參數(shù)不僅在流動(dòng)方向上發(fā)生變化，而且在垂直于流不僅在流動(dòng)方向上發(fā)生變化，而且在垂直于流動(dòng)方向的橫截面上也要發(fā)生變化。要研究此類動(dòng)方向的橫截面上也要發(fā)生變化。要研究此類問題，就要用問題，就要用多維流的分析方法多維流的分析方法。本章主要討。本章主要討論理想流體多維流動(dòng)的基本規(guī)律，為解決工程論理想流體多維流動(dòng)的基本規(guī)律，為解決工程實(shí)際中類似的問題提供理論依據(jù)，也為進(jìn)一步實(shí)際中類似的問題提供理論依據(jù)，也為進(jìn)一步研究粘性流體多維流動(dòng)奠定必要的基礎(chǔ)。研究粘性流體多維流動(dòng)奠定必要的基礎(chǔ)。首先推導(dǎo)在笛卡兒坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程首先

2、推導(dǎo)在笛卡兒坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程 0dAvdVtCVCSn(3-22)zv在在 方向上，單位時(shí)間通過方向上，單位時(shí)間通過EFGHEFGH面流入的流體質(zhì)量為面流入的流體質(zhì)量為 xdydzdxvxvxx2單位時(shí)間通過單位時(shí)間通過ABCDABCD面流出的流體質(zhì)量面流出的流體質(zhì)量 dydzdxvxvxx2 則在則在 方向單位時(shí)間內(nèi)通過微元體表面的凈通量為（方向單位時(shí)間內(nèi)通過微元體表面的凈通量為（b b）- -（a a），），即即 dxdydzvxx（c1c1）x（a a）（b b）同理可得同理可得 和和 方向單位時(shí)間通過微元體表面的凈通量分別為方向單位時(shí)間通過微元體表面的凈通量分別為yzdxd

3、ydzvyydxdydzvzz（c2c2） （c3c3） 因此，單位時(shí)間流過微元體控制面的總凈通量為因此，單位時(shí)間流過微元體控制面的總凈通量為dxdydzvzvyvxdAvzyxnCS（c c） 微元六面體內(nèi)由于密度隨時(shí)間的變化而引起的質(zhì)量的變化率為：微元六面體內(nèi)由于密度隨時(shí)間的變化而引起的質(zhì)量的變化率為： dxdydztdxdydztdVtCVCV 將式（將式（c c），（），（d d）代入式（代入式（3-223-22），同除以），同除以 ，則可得到微分形，則可得到微分形式的連續(xù)性方程式的連續(xù)性方程dxdydz0tvzvyvxzyx0)(tv或或 連續(xù)性方程表示了單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的

4、增量等于流體在控連續(xù)性方程表示了單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量等于流體在控制體表面上的凈通量。它適用于理想流體和粘性流體、定常流動(dòng)和非定常制體表面上的凈通量。它適用于理想流體和粘性流體、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)。流動(dòng)。 在定常流動(dòng)中，由于在定常流動(dòng)中，由于0t0zyxvzvyvx對(duì)于不可壓縮流體（對(duì)于不可壓縮流體（ = =常數(shù)）常數(shù)）0zvyvxvzyx0 v或或在其它正交坐標(biāo)系中流場(chǎng)中任一點(diǎn)的連續(xù)性方程和柱坐標(biāo)系中的表示式為在其它正交坐標(biāo)系中流場(chǎng)中任一點(diǎn)的連續(xù)性方程和柱坐標(biāo)系中的表示式為 ： 0)()(1)(1zrvzvrvrrrt對(duì)于不可壓縮流體對(duì)于不可壓縮流體 01rvzvvrrvrzr式

5、中式中 為極徑；為極徑； 為極角為極角r球坐標(biāo)系中的表示式為球坐標(biāo)系中的表示式為: :0sin1)sin(sin1)(122vrvrrrvrtr0cot2sin11rvrvvrvrrvrr式中式中 為徑矩；為徑矩； 為緯度；為緯度； 為徑度。為徑度。r【例【例7-17-1】0zvyvxvzyx044zvyxzyxzvz44 ),()(4yxfzyxvz0),(yxfzyxvz)(4vxyyxvx22zyvy220z0zvzzvxy0z0zv 流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。因此，流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中不但象剛體那樣可以有移動(dòng)和轉(zhuǎn)因此

6、，流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中不但象剛體那樣可以有移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)。以分解為移動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)。 dxDAdyyBCx（1 1）平移運(yùn)動(dòng)：如圖所示，）平移運(yùn)動(dòng)：如圖所示，矩形矩形ABCDABCD各角點(diǎn)具有相同的速度各角點(diǎn)具有相同的速度 。導(dǎo)致矩形導(dǎo)致矩形ABCDABCD平移平移x x = = dtdt, , y y = = dtdt, , 其其ABCDABCD的形狀不變。的形狀不變。（2 2）線變形運(yùn)動(dòng)：如圖所示，線變形運(yùn)動(dòng)取決于速度分量在它所在方向）線變形運(yùn)動(dòng)：如圖所示，

7、線變形運(yùn)動(dòng)取決于速度分量在它所在方向上的變化率（即線變形速率上的變化率（即線變形速率 和和 ），），導(dǎo)致矩形導(dǎo)致矩形ABCDABCD的變形量：的變形量：yxvv ,xvyvxvxyvydtdxxvxx22dtdyyvyy22（3 3）角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：如圖）角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：如圖7-47-4（c c）、（）、（d d）所示，當(dāng)所示，當(dāng) dtxvdxdtdxxvyy)2(2tandtyvdydtdyyvxx)2(2tanxvyvyx當(dāng)當(dāng)矩形矩形ABCDABCD只發(fā)生角變形運(yùn)動(dòng)，如圖所示。只發(fā)生角變形運(yùn)動(dòng)，如圖所示。 xvyvyx當(dāng)當(dāng)矩形矩形ABCDABCD只發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，形狀不變只發(fā)生旋

8、轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，形狀不變?cè)谝话闱闆r下在一般情況下 xvyvyx的同時(shí)，還會(huì)發(fā)生角變形運(yùn)動(dòng)。如圖的同時(shí)，還會(huì)發(fā)生角變形運(yùn)動(dòng)。如圖(e)(e)所示。所示。亦就是亦就是矩形矩形ABCDABCD在發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)同時(shí)發(fā)生的情況下，將會(huì)有以下關(guān)系式：在角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)同時(shí)發(fā)生的情況下，將會(huì)有以下關(guān)系式： 2121于是沿于是沿z z軸流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量：軸流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量： yvxvdtdtdtxyz2121同理，沿同理，沿x x，y y軸流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量分別為軸流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量分別為: : zvyvyzx21xvzvzxy21流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度

9、定義為流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度定義為: : Vkjizyx21其中，流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量及模量為：其中，流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量及模量為： yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121222zyx 流體微團(tuán)沿流體微團(tuán)沿z z軸的角變形速度分量：軸的角變形速度分量： yvxvdtdtdtxyz2121同理，可有流體微團(tuán)角變形速度之半分量及其模量為：同理，可有流體微團(tuán)角變形速度之半分量及其模量為： yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121222zyx 前面在流體微團(tuán)的分析中，已給出前面在流體微團(tuán)的分析中，已給出E E點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度為為 : :dzzvdyyvdxxvvvd

10、zzvdyyvdxxvvvdzzvdyyvdxxvvvzzzzzEyyyyyExxxxxE如果在上式的第一式右端加入兩組等于零的項(xiàng)：如果在上式的第一式右端加入兩組等于零的項(xiàng)： dyxvdyxvyy2121dzxvdzxvzz2121其值不變。經(jīng)過簡(jiǎn)單組合，可將該式寫成其值不變。經(jīng)過簡(jiǎn)單組合，可將該式寫成 ：dzxvzvdyyvxvdzxvzvdyyvxvdxxvvvzxxyzxxyxxxE)(21)(21)(21)(21同理，有：同理，有： dyzvyvdxxvzvdyzvyvdxxvzvzzvvvdxyvxvdzzvyvdxyvxvdzzvyvyyvvvyzzxyzzxzzzExyyzxyy

11、zyyyE)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21dzzvdyyvdxxvvvxxxxxE將旋轉(zhuǎn)角速度分量，角變形速度之半代入以上三式，便可將式寫將旋轉(zhuǎn)角速度分量，角變形速度之半代入以上三式，便可將式寫成成 ：)22()22(2)22()22(2)22()22(dxdydydxdzzvvvdzdxdxdzdyyvvvdydzdzdyxdxxvvvyxxyzzzExzzxyyyEzyyzxxxE 上式表明：各速度分量的第一項(xiàng)是平移速度分量，第二、上式表明：各速度分量的第一項(xiàng)是平移速度分量，第二、三、四項(xiàng)分別是由線變形運(yùn)動(dòng)、角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所引起三、四項(xiàng)分別是由線變形運(yùn)

12、動(dòng)、角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所引起的線速度分量。此關(guān)系也稱為海姆霍茲的線速度分量。此關(guān)系也稱為海姆霍茲( (Helmholtz)Helmholtz)速度分解速度分解定理，該定理可簡(jiǎn)述為：定理，該定理可簡(jiǎn)述為： 在某流場(chǎng)在某流場(chǎng)O O點(diǎn)鄰近的任意點(diǎn)點(diǎn)鄰近的任意點(diǎn)A A上的速度可以分成三個(gè)部分：上的速度可以分成三個(gè)部分：分別為分別為與與O O點(diǎn)相同的平移速度點(diǎn)相同的平移速度（平移運(yùn)動(dòng)）；（平移運(yùn)動(dòng)）；繞繞O O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)在點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)在A A點(diǎn)點(diǎn)引起的速度引起的速度（旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）；（旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）；由于變形（包括線變形和角變形）由于變形（包括線變形和角變形）在在A A點(diǎn)引起的速度點(diǎn)引起的速度（變形運(yùn)動(dòng)）。（變形運(yùn)動(dòng)）

13、。 根據(jù)流體微團(tuán)在流動(dòng)中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動(dòng)分為兩根據(jù)流體微團(tuán)在流動(dòng)中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動(dòng)分為兩類：有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)。類：有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)。 數(shù)學(xué)條件：數(shù)學(xué)條件： 當(dāng)當(dāng) 021V021V當(dāng)當(dāng) 無(wú)旋流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng) 有旋流動(dòng)有旋流動(dòng) 通常以通常以 是否等于零作為判別流動(dòng)是否有旋或無(wú)旋是否等于零作為判別流動(dòng)是否有旋或無(wú)旋的判別條件。的判別條件。 V 在笛卡兒坐標(biāo)系中：在笛卡兒坐標(biāo)系中： kyvxvjxvzvizvyvVxyzxyz即當(dāng)流場(chǎng)速度同時(shí)滿足：即當(dāng)流場(chǎng)速度同時(shí)滿足： zvyvyzxvzvzxyvxvxy時(shí)流動(dòng)無(wú)旋。時(shí)流動(dòng)無(wú)旋。 需要指出的是，需要指出的是，有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)僅由流體

14、微團(tuán)本身是否有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)僅由流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來(lái)決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)。發(fā)生旋轉(zhuǎn)來(lái)決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)。 如圖（如圖（a a），），流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)為旋轉(zhuǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)，其微團(tuán)自流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)為旋轉(zhuǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)，其微團(tuán)自身不旋轉(zhuǎn)，流場(chǎng)為無(wú)旋流動(dòng)；圖（身不旋轉(zhuǎn)，流場(chǎng)為無(wú)旋流動(dòng)；圖（b b）流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)盡管為流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)盡管為直線運(yùn)動(dòng)，但流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以，該流直線運(yùn)動(dòng)，但流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以，該流動(dòng)為有旋流動(dòng)。動(dòng)為有旋流動(dòng)。（a） （b） 【例例7-27-2】 某一流動(dòng)速度場(chǎng)為某一流動(dòng)速度場(chǎng)為 ， ，其中，其中 是是不為零的

15、常數(shù)，流線是平行于不為零的常數(shù)，流線是平行于 軸的直線。試判別該流動(dòng)是有軸的直線。試判別該流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)。旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)。 【解】【解】 由于由于 021zvyvyzx02121ayvxvxyz所以該流動(dòng)是有旋運(yùn)動(dòng)。所以該流動(dòng)是有旋運(yùn)動(dòng)。 ayvx0zyvvaxx021xvzvzxy 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式是研究流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要理論基理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式是研究流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要理論基礎(chǔ)?？梢杂玫A(chǔ)?？梢杂门ｎD第二定律牛頓第二定律加以加以推導(dǎo)推導(dǎo)。 fzyxfff,zyxA(x,y,z)2dxxpp2dxxppf 微元體在質(zhì)量力和表面力的作用下產(chǎn)生的加速度微元體在質(zhì)量力和表面力的作

16、用下產(chǎn)生的加速度 ，根，根據(jù)牛頓第二定律據(jù)牛頓第二定律 ：adtdvmFxxdtdvdxdydzdydzdxxppdydzdxxppdxdydzfxx)2()2(兩端同除以微元體的質(zhì)量?jī)啥送晕⒃w的質(zhì)量 , ,并整理有：并整理有： dxdydzdtdvzpfdtdvypfdtdvxpfzzyyxx111寫成矢量式：寫成矢量式： dtvdpfgrad1將加速度的表達(dá)式代入有：將加速度的表達(dá)式代入有： zvvyvvxvvtvzpfzvvyvvyvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx111其矢量式為其矢量式為 ：vvtvpf)(1grad 上式

17、為理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式上式為理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式，物理上表示了作用在物理上表示了作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、表面力和慣性力相平衡。該式推單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、表面力和慣性力相平衡。該式推導(dǎo)過程中對(duì)流體的壓縮性沒加限制，導(dǎo)過程中對(duì)流體的壓縮性沒加限制，故可適用于理想的可壓故可適用于理想的可壓流體和不可壓縮流體，適用于有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)。流體和不可壓縮流體，適用于有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)。 將上式作恒等變形，便可以直接由運(yùn)動(dòng)微分方程判定流動(dòng)是將上式作恒等變形，便可以直接由運(yùn)動(dòng)微分方程判定流動(dòng)是有旋還是無(wú)旋流動(dòng)，在上式的第一式右端同時(shí)有旋還是無(wú)旋流動(dòng)，在上式的第一式右端同時(shí) xvvyy 1xpfx

18、vzvvxvyvvxvvxvvxvvtvxzxzyxyzzyyxxx據(jù)旋轉(zhuǎn)角速據(jù)旋轉(zhuǎn)角速度分量公式度分量公式 122 122 122222zpfvvvztvypfvvvytvxpfvvvxtvzxyyxzyzxxzyxyzzyxzvvyvvxvvtvxpfxzxyxxxx1xvvzz如果流體是在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，流場(chǎng)是正壓性的，則：如果流體是在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，流場(chǎng)是正壓性的，則： xfxyfyzfz此時(shí)存在一壓強(qiáng)函數(shù)此時(shí)存在一壓強(qiáng)函數(shù): : pPFd將壓強(qiáng)函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)有將壓強(qiáng)函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)有: : xpxPF 1ypyPF1zpzPF1將上述關(guān)系代入蘭姆運(yùn)動(dòng)微分方程，得將上述關(guān)

19、系代入蘭姆運(yùn)動(dòng)微分方程，得: : 22 22 22222xyyxzFzxxzyFyzzyxFvvtvPvzvvtvPvyvvtvPvx寫成矢量形關(guān)系式寫成矢量形關(guān)系式 vv222tPvF二、歐拉積分二、歐拉積分 當(dāng)理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常無(wú)旋流當(dāng)理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常無(wú)旋流動(dòng)時(shí)，上式右端為零。若在流場(chǎng)中任取一有向微元線段動(dòng)時(shí)，上式右端為零。若在流場(chǎng)中任取一有向微元線段dldl，其在三個(gè)坐標(biāo)軸的投影分別為其在三個(gè)坐標(biāo)軸的投影分別為dxdx、dydy、dzdz，將它們分別依次將它們分別依次乘上式并相加，得乘上式并相加，得: : 0d2d2d2222zPvzyPvy

20、xPvxFFF02d2FPv 上式為歐拉積分的結(jié)果，表明理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)上式為歐拉積分的結(jié)果，表明理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常無(wú)旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能在流量力作用下作定常無(wú)旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能在流場(chǎng)中保持不變。場(chǎng)中保持不變。 積分積分 CPvF22三、伯努利積分三、伯努利積分 當(dāng)理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常有旋流當(dāng)理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)時(shí)，式右端第一項(xiàng)等于零。由流線的特性知，此時(shí)流線與動(dòng)時(shí)，式右端第一項(xiàng)等于零。由流線的特性知，此時(shí)流線與跡線重合，在流場(chǎng)中沿流線取一有向微元線段跡線重合，在流場(chǎng)中沿流線取一有向微元線段

21、dldl，其在三個(gè)，其在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為坐標(biāo)軸上的投影分別為dx=vdx=vx xdtdt，dy=vdy=vy ydtdt，d dz=vz=vz zdtdt，將它們將它們的左、右端分別依次乘式的左、右端，相加有的左、右端分別依次乘式的左、右端，相加有 02d2FPv積分有積分有 CPvF22 該積分為伯努里積分該積分為伯努里積分。表明理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)表明理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能沿量力作用下作定常有旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能沿流線保持不變。通常沿不同流線積分常數(shù)值有所不同。流線保持不變。通常沿不同流線積分常數(shù)值有所不同。 本

22、節(jié)本節(jié)主要講述主要講述理想流體有旋運(yùn)動(dòng)的理論基礎(chǔ)，重點(diǎn)是速理想流體有旋運(yùn)動(dòng)的理論基礎(chǔ)，重點(diǎn)是速度環(huán)量及其表征環(huán)量和旋渦強(qiáng)度間關(guān)系的度環(huán)量及其表征環(huán)量和旋渦強(qiáng)度間關(guān)系的斯托克斯定理斯托克斯定理。 渦量用來(lái)描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。渦量的定義為：渦量用來(lái)描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。渦量的定義為： V2渦量是點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。它在直角坐標(biāo)系中的投影為渦量是點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。它在直角坐標(biāo)系中的投影為 ：zvyvyzxxvzvzxyyvxvxyz 在流場(chǎng)的全部或部分存在角速度的場(chǎng)，稱為在流場(chǎng)的全部或部分存在角速度的場(chǎng)，稱為渦量場(chǎng)渦量場(chǎng)。如同在如同在速度場(chǎng)中引入了流線、流管、流束和流量一樣。在渦量場(chǎng)中同

23、樣速度場(chǎng)中引入了流線、流管、流束和流量一樣。在渦量場(chǎng)中同樣也引入渦線、渦管、渦束和旋渦強(qiáng)度的概念。也引入渦線、渦管、渦束和旋渦強(qiáng)度的概念。 1 1渦線渦線: :渦線是在給定瞬時(shí)和渦量矢量相切的曲線。如圖所示。渦線是在給定瞬時(shí)和渦量矢量相切的曲線。如圖所示。 根據(jù)渦通量矢量與渦線相切的條件，渦線的微分方程為根據(jù)渦通量矢量與渦線相切的條件，渦線的微分方程為: : ),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx2 2渦管、渦束：渦管、渦束：在渦量場(chǎng)中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一在渦量場(chǎng)中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一時(shí)刻過該曲線每一點(diǎn)的渦線形成的管狀曲面稱作渦管。如圖時(shí)刻過該曲線

24、每一點(diǎn)的渦線形成的管狀曲面稱作渦管。如圖7-87-8所所示。示。截面無(wú)限小的渦管稱為微元渦管。渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運(yùn)截面無(wú)限小的渦管稱為微元渦管。渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體稱為渦束，微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲。動(dòng)的流體稱為渦束，微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲。3 3旋旋渦強(qiáng)度（渦通量）渦強(qiáng)度（渦通量） 在渦量場(chǎng)中取一微元面積在渦量場(chǎng)中取一微元面積dAdA，見圖見圖，其上流體微團(tuán)的渦其上流體微團(tuán)的渦通量為通量為 ， 為為dAdA的外法線方向，定義的外法線方向，定義 2ndAdAnAddJn2)cos(2為任意微元面積為任意微元面積dAdA上的旋上的旋渦強(qiáng)度，也稱渦通量。渦強(qiáng)度，也

25、稱渦通量。 任意面積任意面積A A上的旋上的旋渦強(qiáng)度為：渦強(qiáng)度為： dAdAJnAA2 如果面積如果面積A A是渦束的某一橫截面積，就稱為渦束旋渦強(qiáng)度，是渦束的某一橫截面積，就稱為渦束旋渦強(qiáng)度，它也是旋轉(zhuǎn)角速度矢量的通量。旋渦強(qiáng)度不僅取決于，而且取它也是旋轉(zhuǎn)角速度矢量的通量。旋渦強(qiáng)度不僅取決于，而且取決于面積決于面積A A。 1 1速度環(huán)量速度環(huán)量: :在流場(chǎng)的某封閉周線上，如圖在流場(chǎng)的某封閉周線上，如圖7-97-9（b b），），流體速度流體速度矢量沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號(hào)矢量沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號(hào) 表示，即表示，即: : )(dzvdyvdxvldvzyx 速

26、度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正負(fù)與速度的方向和線積分的繞速度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正負(fù)與速度的方向和線積分的繞行方向有關(guān)。行方向有關(guān)。對(duì)非定常流動(dòng)，速度環(huán)量是一個(gè)瞬時(shí)的概念，應(yīng)根對(duì)非定常流動(dòng)，速度環(huán)量是一個(gè)瞬時(shí)的概念，應(yīng)根據(jù)同一瞬時(shí)曲線上各點(diǎn)的速度計(jì)算，積分時(shí)為參變量。據(jù)同一瞬時(shí)曲線上各點(diǎn)的速度計(jì)算，積分時(shí)為參變量。 2 2斯托克斯（斯托克斯（StokesStokes）定理定理: :在渦量場(chǎng)中，沿任意封閉周線的在渦量場(chǎng)中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍曲面面積的旋渦強(qiáng)度，即速度環(huán)量等于通過該周線所包圍曲面面積的旋渦強(qiáng)度，即:JdAAdldvnAA2 這一定理將旋渦強(qiáng)度與速度環(huán)量聯(lián)系起來(lái)，

27、給出了通過速這一定理將旋渦強(qiáng)度與速度環(huán)量聯(lián)系起來(lái)，給出了通過速度環(huán)量計(jì)算旋渦強(qiáng)度的方法。度環(huán)量計(jì)算旋渦強(qiáng)度的方法。 【例例7-37-3】已知二維流場(chǎng)的速度分布為】已知二維流場(chǎng)的速度分布為 ， ，試試求繞圓求繞圓 的速度環(huán)量。的速度環(huán)量。 yvx3xvy4222Ryx【解】【解】 此題用極坐標(biāo)求解比較方便，坐標(biāo)變換為此題用極坐標(biāo)求解比較方便，坐標(biāo)變換為: : cosrx sinry 速度變換為速度變換為 sincosyxrvvv,sincosxyvvv22sin3cos4rrv2022)sin3cos4(rdrr dr)sin3cos4(20222 2202227cos6rdrr【例【例7-47

28、-4】 一二維渦量場(chǎng)，在一圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑一二維渦量場(chǎng)，在一圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑 的圓區(qū)域內(nèi)，流體的渦通量的圓區(qū)域內(nèi)，流體的渦通量 。若流體微團(tuán)在。若流體微團(tuán)在半徑半徑 處的速度分量處的速度分量 為常數(shù)，它的值是多少？為常數(shù)，它的值是多少？ mr1 . 0smJ/4 . 02rv【解】由斯托克斯定理得【解】由斯托克斯定理得 ：Jrvrdv202smrJv/21 . 024 . 021 1湯姆孫（湯姆孫（ThomsonThomson）定理定理 理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，沿任何封閉流體周線理想正壓性流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，沿任何封閉流體周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化，即：的速度環(huán)量不隨

29、時(shí)間變化，即：0dtdJ 假設(shè)在理想不可壓縮的重力流體中，有一象剛體一樣以等角假設(shè)在理想不可壓縮的重力流體中，有一象剛體一樣以等角速度速度 繞自身軸旋轉(zhuǎn)的無(wú)限長(zhǎng)鉛垂直渦束，其渦通量為繞自身軸旋轉(zhuǎn)的無(wú)限長(zhǎng)鉛垂直渦束，其渦通量為J J。渦束渦束周圍的流體在渦束的誘導(dǎo)下繞渦束軸等速圓周運(yùn)動(dòng)，由斯托克斯周圍的流體在渦束的誘導(dǎo)下繞渦束軸等速圓周運(yùn)動(dòng)，由斯托克斯定理知，定理知， 。由于直線渦束無(wú)限長(zhǎng)，該問題可作一個(gè)平面問題。由于直線渦束無(wú)限長(zhǎng)，該問題可作一個(gè)平面問題研究。可以證明渦束內(nèi)的流動(dòng)為有旋流動(dòng)，稱為渦核區(qū)，其半徑研究?？梢宰C明渦束內(nèi)的流動(dòng)為有旋流動(dòng)，稱為渦核區(qū)，其半徑為為 ；渦束外的流動(dòng)區(qū)域?yàn)闊o(wú)旋

30、流動(dòng)，稱為環(huán)流區(qū)。；渦束外的流動(dòng)區(qū)域?yàn)闊o(wú)旋流動(dòng)，稱為環(huán)流區(qū)。 br在環(huán)流區(qū)內(nèi)，速度分布為在環(huán)流區(qū)內(nèi)，速度分布為: : 0rvrvv2brr 在環(huán)流區(qū)內(nèi)，壓強(qiáng)分布由伯努里方程式導(dǎo)出。環(huán)流區(qū)內(nèi)半徑為在環(huán)流區(qū)內(nèi)，壓強(qiáng)分布由伯努里方程式導(dǎo)出。環(huán)流區(qū)內(nèi)半徑為 的點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)處的伯努里方程的點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)處的伯努里方程: : rpvp22式中的式中的 即為即為 ， 為無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)。將為無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)。將 代入上式得代入上式得: : vvpv222282rpvpp 由上式可知，在渦束外部的勢(shì)流區(qū)內(nèi)，隨著環(huán)流半徑的減小，由上式可知，在渦束外部的勢(shì)流區(qū)內(nèi)，隨著環(huán)流半徑的減小，流速上升而壓強(qiáng)降低；在渦束邊緣上，流速達(dá)

31、該區(qū)的最高值，而流速上升而壓強(qiáng)降低；在渦束邊緣上，流速達(dá)該區(qū)的最高值，而壓強(qiáng)則是該區(qū)的最低值，即壓強(qiáng)則是該區(qū)的最低值，即 bbrv2222282bbbrpvpp渦束內(nèi)部的速度分布為渦束內(nèi)部的速度分布為: : 0rvrvv)(brr 由于渦束內(nèi)部為有旋流動(dòng)，伯努利積分常數(shù)隨流線變化，故由于渦束內(nèi)部為有旋流動(dòng)，伯努利積分常數(shù)隨流線變化，故其壓強(qiáng)分布可由歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程導(dǎo)出。對(duì)于平面定常流動(dòng)，歐其壓強(qiáng)分布可由歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程導(dǎo)出。對(duì)于平面定常流動(dòng)，歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程為拉運(yùn)動(dòng)微分方程為: : ypyvvxvvxpyvvxvvyyyxxyxx11將渦核內(nèi)任意點(diǎn)的速度投影到直角坐標(biāo)上，則有，代入上式得將渦核

32、內(nèi)任意點(diǎn)的速度投影到直角坐標(biāo)上，則有，代入上式得: : xpx12ypy12將將 和和 分別乘以以上二式，相加后得分別乘以以上二式，相加后得: : dxdy)(1)(2dyypdxxpydyxdx或或 )2(222yxddp積分得積分得: : CvCrCyxp2222222121)(21在與環(huán)流區(qū)交界處，在與環(huán)流區(qū)交界處， ，代入上式，得積分，代入上式，得積分常數(shù)：常數(shù)： bbbbrvvpprr,222bbbvpvpC得渦核區(qū)的壓強(qiáng)分布為得渦核區(qū)的壓強(qiáng)分布為 ：2222222121bbrrpvvpp 由上式可知渦管中心的壓強(qiáng)最低，其大小為由上式可知渦管中心的壓強(qiáng)最低，其大小為 ，渦核區(qū)邊緣至渦

33、核中心的壓強(qiáng)差為渦核區(qū)邊緣至渦核中心的壓強(qiáng)差為2bcvppbbcbppvpp221 由以上討論可知，渦核區(qū)和環(huán)流區(qū)的壓強(qiáng)差相等，其數(shù)值由以上討論可知，渦核區(qū)和環(huán)流區(qū)的壓強(qiáng)差相等，其數(shù)值均為均為 。渦核區(qū)的壓強(qiáng)比環(huán)流區(qū)的的低。在渦束內(nèi)部。渦核區(qū)的壓強(qiáng)比環(huán)流區(qū)的的低。在渦束內(nèi)部, ,半徑愈半徑愈小小, ,壓強(qiáng)愈低，沿徑向存在較大的壓強(qiáng)梯度，所以產(chǎn)生向渦核中壓強(qiáng)愈低，沿徑向存在較大的壓強(qiáng)梯度，所以產(chǎn)生向渦核中心的抽吸作用，渦旋越強(qiáng)，抽吸作用越大。自然界中的龍卷風(fēng)心的抽吸作用，渦旋越強(qiáng)，抽吸作用越大。自然界中的龍卷風(fēng)和深水旋渦就具有這種流動(dòng)特征，具有很大的破壞力。在工程和深水旋渦就具有這種流動(dòng)特征，具

34、有很大的破壞力。在工程實(shí)際中有許多利用渦流流動(dòng)特性裝置，如鍋爐中的旋風(fēng)燃燒室、實(shí)際中有許多利用渦流流動(dòng)特性裝置，如鍋爐中的旋風(fēng)燃燒室、離心式除塵器、離心式超聲波發(fā)生器、離心式泵和風(fēng)機(jī)、離心離心式除塵器、離心式超聲波發(fā)生器、離心式泵和風(fēng)機(jī)、離心式分選機(jī)等。式分選機(jī)等。 2bv21 無(wú)旋條件是速度有勢(shì)的充要條件。無(wú)旋必然有勢(shì)，有勢(shì)無(wú)旋條件是速度有勢(shì)的充要條件。無(wú)旋必然有勢(shì)，有勢(shì)必須無(wú)旋。所以無(wú)旋流場(chǎng)又稱為必須無(wú)旋。所以無(wú)旋流場(chǎng)又稱為有勢(shì)流場(chǎng)有勢(shì)流場(chǎng)。速度勢(shì)的存在與。速度勢(shì)的存在與流體是否可壓縮、流動(dòng)是否定常無(wú)關(guān)。流體是否可壓縮、流動(dòng)是否定常無(wú)關(guān)。 在柱坐標(biāo)系中在柱坐標(biāo)系中rvrrv1zvztzr,

35、勢(shì)函數(shù)的特性勢(shì)函數(shù)的特性（1 1）有勢(shì)流動(dòng)中沿）有勢(shì)流動(dòng)中沿ABAB曲線的速度線積分等于終點(diǎn)曲線的速度線積分等于終點(diǎn)B B和起點(diǎn)和起點(diǎn)A A的速度勢(shì)之差的速度勢(shì)之差 ABBAzyBAxABdzzdyydxxdzvdyvdxv)()(上式表明，由于速度勢(shì)是單值的，則該線積分與積分路徑無(wú)關(guān)。上式表明，由于速度勢(shì)是單值的，則該線積分與積分路徑無(wú)關(guān)。 （2 2）速度沿封閉周線積分時(shí)，周線上的速度環(huán)量等于零速度沿封閉周線積分時(shí)，周線上的速度環(huán)量等于零 。0)ddzvdyvdxvzyx 式中式中 為拉普拉斯算子。滿足拉普拉斯方程的函數(shù)為為拉普拉斯算子。滿足拉普拉斯方程的函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，故速度勢(shì)是調(diào)和函數(shù)，

36、故速度勢(shì)是調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)。 2（2 2）勢(shì)函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。）勢(shì)函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。02222222zyx在柱坐標(biāo)系中在柱坐標(biāo)系中 在笛卡兒坐標(biāo)系中在笛卡兒坐標(biāo)系中 01122222222zrrrx平面不可壓縮流體平面不可壓縮流體 1、等流函數(shù)線為流線等流函數(shù)線為流線當(dāng)當(dāng) 常數(shù)時(shí)，常數(shù)時(shí)，0dyvdxvdyydxxdxyxyvvyxdxdy 即：即：在笛卡兒坐標(biāo)系中，平面、不可壓縮流體的連續(xù)性方程可寫成在笛卡兒坐標(biāo)系中，平面、不可壓縮流體的連續(xù)性方程可寫成0yvxvVyx若定義某一個(gè)函數(shù)若定義某一個(gè)函數(shù)),(yx，令，令yvxxvy2、流體通過兩流線間單位高度的體積流量等于兩條流線的流體通過兩流線間單位高度的體積流量等于兩條流線的流函數(shù)之差流函數(shù)之差。 不論是理想流體還是粘性流體，不論是有旋的還是無(wú)旋的不論是理想流體還是粘性流體，不論是有旋的還是無(wú)旋的流動(dòng)，只要是不可壓縮（或定?？蓧嚎s）流體的平面（或軸對(duì)流動(dòng)，只要是不可壓