高斯公式與斯托克斯公式30003

1、§3 高斯公式與斯托克斯公式教學(xué)目的學(xué)會(huì)用高斯公式計(jì)算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計(jì)算第二型曲線積分教學(xué)內(nèi)容高斯公式；斯托克斯公式；沿空間曲線的第二型積分與路徑無(wú)關(guān)的條件(1) 基本要求：學(xué)會(huì)用高斯公式計(jì)算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計(jì)算第二型曲線積分 懂得高斯公式與斯托克斯公式證明的思路，掌握沿空間曲線的第二型積分與路徑無(wú)關(guān)的條件(2) 較高要求：應(yīng)用高斯公式與斯托克斯公式的某些特殊技巧教學(xué)建議本節(jié)的重點(diǎn)是要求學(xué)生學(xué)會(huì)用高斯公式計(jì)算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計(jì)算第二型曲線積分要講清應(yīng)用兩公式的條件并強(qiáng)調(diào)曲面與曲面的邊界定向的關(guān)系教學(xué)程序一、 高斯公式定理223 設(shè)有空間區(qū)域

2、由分片光滑的雙側(cè)閉曲面圍成若函數(shù)在上連續(xù)，且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 =，其中取外側(cè)稱為高斯公式.證 只證=.類似可證=和=. 這些結(jié)果相加便得到了高斯公式先設(shè)是一個(gè)型區(qū)域，即其邊界曲面由曲面：，：，及垂直于的邊界的柱面組成其中于是按三重積分的計(jì)算方法有=其中都取上側(cè)又由于在平面上投影區(qū)域的面積為零，所以，因此=+=對(duì)于不是型區(qū)域的情形，則用有限個(gè)光滑曲面將它分割成若干個(gè)型區(qū)域來(lái)討論詳細(xì)的推導(dǎo)與格林相似空間區(qū)域的體積公式：=.例1 計(jì)算,其中是邊長(zhǎng)為的正立方體表面并取外側(cè)解 應(yīng)用高斯公式，所求曲面積分等于=.二、斯托克斯公式雙側(cè)曲面的側(cè)與其邊界曲線的方向的規(guī)定：右手法則定理22.4 設(shè)光滑曲面的

3、邊界是按塊光滑的連續(xù)曲線若函數(shù)在（連同）上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則=（2）其中的側(cè)與的方向按右手法則確定證明 先證=， （3）其中曲面由方程確定，它的正側(cè)法線方向數(shù)為，方向余弦為，所以，若在平面上投影區(qū)域?yàn)椋谄矫嫔系耐队扒€為現(xiàn)由第二型曲線積分的定義及格林公式有=.因?yàn)?，所以 =.由于，從而=.綜合上述結(jié)果，便得所要證明的（3）式同樣對(duì)于曲面表示為和時(shí)，可證得=， （4）=. （5）將（3），（4），（5）三式相加即得（2）式如果曲面不能以的形式給出，則可用一些光滑曲線把分割為若于小塊，使每一小塊能用這種形式來(lái)表示因而這時(shí)（2）式也能成立公式(2)稱為斯托克斯公式，也可寫成如下形式：=.例2 計(jì)算，其中為平面與各坐標(biāo)面的交線，取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎蚪?應(yīng)用斯托克斯公式=單連通區(qū)域：如果區(qū)域內(nèi)任一封閉曲線皆可以不經(jīng)過(guò)以外的點(diǎn)收縮于屬于的一點(diǎn)，則稱為單連通區(qū)域非單連通區(qū)域稱為復(fù)連通區(qū)域定理 22.5 設(shè)為空間單連通區(qū)域若函數(shù)在上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件是等價(jià)的：（）對(duì)于內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線，有=0（）對(duì)于內(nèi)任一按段光滑的曲線，曲線積分與路線無(wú)關(guān)只與的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān)。（）是內(nèi)某一函數(shù)的全微分，即.（），在內(nèi)處處成立證明 略例3 驗(yàn)證曲線積分與路線無(wú)關(guān),請(qǐng)求該表