D1-4函數(shù)的連續(xù)性和間斷點

1、一、函數(shù)的連續(xù)性的概念一、函數(shù)的連續(xù)性的概念二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點四、小結四、小結 思考題思考題第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質一、函數(shù)的連續(xù)性(continuity)1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量(increment).1221的的增增量量稱稱為為變變量量則則變變到到終終值值從從它它的的初初值值設設變變量量uuuuuuu 注意：注意：可可正正可可負負；u )1(.)2(的乘積的乘積與與是一個整體，不能看作是一個整體，不能看作uu ，變變到到從從，函函數(shù)數(shù)；相相應應地地的的增增量量在在點點為為自自變變量量稱稱時時，變變到到內內由由在

2、在當當內內有有定定義義在在設設函函數(shù)數(shù))()(),(,),()(0000000 xxfxfyxxxxxxxUxxUxf .)()()(00的的增增量量相相應應于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義定義定義 1 1 設函數(shù)設函數(shù))(xf在在),(0 xU內有定義內有定義, ,如果當如果當自變量的增量自變量的增量x 趨向于零時趨向于零時, ,對應的函數(shù)的增量對應的函數(shù)的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就稱那末就稱函

3、函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連續(xù)點的連續(xù)點. . ,0 xxx 設設),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是定定義義 2 2 設設函函數(shù)數(shù))(xf在在),(0 xU內內有有定定義義, ,如如果果函函數(shù)數(shù))(xf當當0 xx 時時的的極極限限存存在在, ,且且等等于于它它在在點點0 x處處的的函函數(shù)數(shù)值值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那那末末就就稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x連連續(xù)續(xù). . :定定義義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有時時使當使當 從從這這個個定定義

4、義我我們們可可以以看看出出，函函數(shù)數(shù))(xf在在點點 0 x處處連連續(xù)續(xù)，必必須須滿滿足足以以下下三三個個條條件件： （1）函函數(shù)數(shù))(xf在在點點 0 x處處有有定定義義； （2）極極限限 )(lim0 xfxx存存在在，即即 )(lim)(lim00 xfxfxxxx （3）)()(lim00 xfxfxx . . 即：函數(shù)在某點連續(xù)等價于函數(shù)在該點的極限存在且等于該點的函數(shù)值.即：函數(shù)在某點連續(xù)00lim( )()xxf xf x例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義

5、2知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 例例2 2.),(sin內連續(xù)內連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù)證明證明 xy證證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時時當當對對任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當當.),(sin都都是是連連續(xù)續(xù)的的對對任任意意函函數(shù)數(shù)即即 xxy3.單側連續(xù)單側連續(xù);)(),()0(,()(0000處處左左連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱且且內內有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理.)(),()0

6、(,),)(0000處處右右連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱且且內內有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfbxxf 000000lim0 xfxfxfxfxfxx例例3 3.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點故故函函數(shù)數(shù) xxf4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),

7、或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).32),(1,)(處左連續(xù)）在右端點（處右連續(xù)；）在左端點（內連續(xù)；）函數(shù)在開區(qū)間（上連續(xù)：在閉區(qū)間函數(shù)bxaxbabaxf連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx例如例如,nnxaxaaxP10)(在在),(上連續(xù)上連續(xù) .( 有理整函數(shù)有理整函數(shù)(多項式多項式 )又如又如, 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù))()()(xQxPxR在其定義域內在其定義域內(分母不為分母不為0)連續(xù)連續(xù).只要只要,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx若

8、若)(xf在某區(qū)間上每一點都連續(xù)在某區(qū)間上每一點都連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上則稱它在該區(qū)間上連續(xù)連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) .注意注意: :1:如果區(qū)間包含端點如果區(qū)間包含端點,那么函數(shù)在右端點連續(xù)指其那么函數(shù)在右端點連續(xù)指其在該端點左連續(xù)在該端點左連續(xù),在左端點連續(xù)指在該端點右連續(xù)在左端點連續(xù)指在該端點右連續(xù).比如在比如在(a,b);a,b);(a,b;a,b上連續(xù)上連續(xù).2:存在在其定義區(qū)間上處處不連續(xù)的函數(shù)存在在其定義區(qū)間上處處不連續(xù)的函數(shù):狄利克狄利克函數(shù)函數(shù)也有在所有整數(shù)點都不連續(xù)的函數(shù)也有在所有整數(shù)點都不連續(xù)的函數(shù),比如取整函數(shù)比如取整函數(shù).xx

9、 cot,tan在其定義域內連續(xù)在其定義域內連續(xù)5 連續(xù)函數(shù)和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)和差積商的連續(xù)性定理定理1. 在某點連續(xù)的在某點連續(xù)的有限個有限個函數(shù)經(jīng)函數(shù)經(jīng)有限次有限次和和 , 差差 , 積積 ,( 利用極限的四則運算法則證明利用極限的四則運算法則證明)sin ,cosxx 連續(xù)商商(分母不為分母不為 0) 運算運算, 結果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù)結果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù) .例如例如,在其定義域內每一點都連續(xù)在其定義域內每一點都連續(xù)t an ,cot ,sec ,cscxxxx結論結論：三角函數(shù)在其定義域內每一點都連續(xù)：三角函數(shù)在其定義域內每一點都連續(xù)定理定理2. 連續(xù)連續(xù)嚴格單調嚴

10、格單調遞增遞增 函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)(嚴格遞減嚴格遞減).(證明略證明略)嚴格單調嚴格單調遞增遞增(嚴格遞減嚴格遞減) 也連續(xù)且也連續(xù)且注意注意:1:如果僅僅是單調可能反函數(shù)都不一定存在如果僅僅是單調可能反函數(shù)都不一定存在. 2:反函數(shù)是在原函數(shù)的值域上連續(xù)和嚴格單調的反函數(shù)是在原函數(shù)的值域上連續(xù)和嚴格單調的.反函數(shù)和復合函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)和復合函數(shù)的連續(xù)性例如例如,xysin在在,22上連續(xù)單調遞增，上連續(xù)單調遞增，其反函數(shù)其反函數(shù)xyarcsin在在 1 , 1 上也連續(xù)單調遞增上也連續(xù)單調遞增.反三角函數(shù)反三角函數(shù)在各自定義域內連續(xù)在各自定義域內連續(xù).xyarcsinarctanyx

11、arccosyxarccotyx定理定理3. 連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)的.(前提是可以復合前提是可以復合)xey 在在),(上連續(xù)上連續(xù) 嚴格單調嚴格單調 遞增遞增,其反函數(shù)其反函數(shù)xyln在在),0(上也連續(xù)嚴格單調遞增上也連續(xù)嚴格單調遞增.證證: 設函數(shù)設函數(shù))(xu,0連續(xù)在點 x.)(00ux,)(0連續(xù)在點函數(shù)uxfy . )()(lim00ufufuu于是于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復合函數(shù)故復合函數(shù))(xf.0連續(xù)在點 x又如又如, 且且即即機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 一般的一般的

12、:若復合函數(shù)若復合函數(shù)g(f(x)的的內函數(shù)內函數(shù)f在在時的極限是時的極限是a,但是不等于但是不等于 外函數(shù)外函數(shù)g在在u=a時連續(xù)時連續(xù),那么我們仍然可以用上述定理那么我們仍然可以用上述定理來求復合函數(shù)的極限即來求復合函數(shù)的極限即0 xx 0()f x00lim( ( )(lim( )xxxxg f xgf x例例1 1233lim sin9xxx求。極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;意義意義)(lim0 xfxx ).()()(lim000ufxfxfxx 例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈是由連續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此因此xy1sin在在*R

13、x上連續(xù)上連續(xù) .復合而成復合而成 ,xyoxy1sin機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 例例1 .設設)()(xgxf與均在均在,ba上連續(xù)上連續(xù), 證明函數(shù)證明函數(shù))(, )(max)(xgxfx 也在也在,ba上連續(xù)上連續(xù).證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據(jù)連續(xù)函數(shù)運算法則根據(jù)連續(xù)函數(shù)運算法則 ,可知可知)(, )(xx也在也在,ba上上連續(xù)連續(xù) .)(, )(min)(xgxfx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 常用常用初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在

14、它們的定義域內是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內內單單調調且且連連續(xù)續(xù)在在 )1, 0(log aaxya對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內內單單調調且且連連續(xù)續(xù)在在 ,), 0(內內連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內連續(xù)均在其定義域內連續(xù) ) xyxaalog ,uay .log xua 初等函數(shù)的定義域可以是區(qū)間或區(qū)間初等函數(shù)的定義域可以是區(qū)間或區(qū)間的并或者包含一些離散的點構成這時的并或者包含一些離散的點構成這時在離散的點處就沒辦法研究連續(xù)性例在離散的點處就沒辦法研究連續(xù)性例如如()基本初等函數(shù)的定義域都

15、是基本初等函數(shù)的定義域都是區(qū)間或區(qū)間的并構成區(qū)間或區(qū)間的并構成基本初等函數(shù)在基本初等函數(shù)在定義域內定義域內連續(xù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)一切初等函數(shù)在在定義定義區(qū)間區(qū)間內內連續(xù)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點為單側連續(xù)端點為單側連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域為的定義域為Znnx,2因此它無連續(xù)點因此它無連續(xù)點而而()定義區(qū)間是指定義區(qū)間是指包含在定義域包含在定義域內的區(qū)間內的區(qū)間. .1. 初等函數(shù)僅在其初等函數(shù)僅在其定義

16、區(qū)間內定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù), 在在其其定義域內定義域內不一定連續(xù)不一定連續(xù);例例,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0 0點的鄰域內沒有定義點的鄰域內沒有定義. .), 1上上連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 注注:000lim( )()()xxf xf xx定義區(qū)間2. 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法.例例. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原原式式. 1sin e解解例例2. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例3. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat則則, )1

17、 (logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 當當, ea 時時, 有有0 x)1ln(x1xexx1log(1)logxaauuxue看作與 =的復合，且在 處連續(xù)。例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解: 原式原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e說明說明: 若若,0)(lim0 xuxx則有則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 x2等階無窮小等階無窮小代換代換一般的一般的,對

18、于對于 的函數(shù)的函數(shù)(通常通常稱稱為冪指函數(shù)為冪指函數(shù))如果如果( )( )( ( )0, ( )1)v xu xu xu xlim ( )0,lim ( ),u xav xb那么那么( )lim ( )v xbu xa上述上述lim都指在都指在同一自變量變化過程同一自變量變化過程中的極限中的極限在在在在二、二、 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點(1) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但00lim( )()xxf xf x 不連續(xù)不連續(xù) :0 x設設0 x在點在點)(xf的某的某

19、去心鄰域內去心鄰域內有定義有定義 ,則下列情形則下列情形這樣的點這樣的點0 x之一之一函數(shù)函數(shù) f (x) 在點在點雖有定義雖有定義 , 但但雖有定義雖有定義 , 且且稱為稱為間斷點間斷點 . 在在無定義無定義 ;間斷點分類間斷點分類: :第一類間斷點第一類間斷點:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若稱稱0 x, )()(00 xfxf若若稱稱0 x第二類間斷點第二類間斷點:)(0 xf及及)(0 xf中至少一個不存在中至少一個不存在 ,稱稱0 x若其中有一個為振蕩若其中有一個為振蕩 ,稱稱0 x若其中有一個為若其中有一個為,為為可去間斷點可去間斷點 (無定

20、義或者不等于函數(shù)值無定義或者不等于函數(shù)值).為為跳躍間斷點跳躍間斷點 .為為無窮間斷點無窮間斷點 .為為振蕩間斷點振蕩間斷點 .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 補充定義或者改變函數(shù)值可使得函數(shù)在該點連續(xù)補充定義或者改變函數(shù)值可使得函數(shù)在該點連續(xù)1.可去間斷點可去間斷點(a removable discontinuity).)()(),()(lim)(的的可可去去間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱稱點點處處無無定定在在點點或或，但但處處的的極極限限存存在在在在點點如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx00000 例例.,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù)1

21、1111012 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1) 1 ( f, 2)01 ( f, 2)01 ( f2)(lim1 xfx),1 (f .0為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x注意注意 可去間斷點只要改變或者補充可去間斷可去間斷點只要改變或者補充可去間斷處函數(shù)的定義處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.如例如例4中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy112例例5 5.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00

22、()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點點 xoxy2.跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點點如如果果xfxxfxfxxf 跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點. .特點特點.都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在該該點點左左、右右極極限限左右極限相等，則為可去間斷點；左右極限相等，則為可去間斷點；左右極限不相等，則為跳躍間斷點左右極限不相等，則為跳躍間斷點例例5 5中的間斷點為跳躍間斷點中的間斷點為跳躍間斷點3.第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(0

23、0的的第第二二類類間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點在在右右極極限限至至少少有有一一個個不不存存處處的的左左、在在點點如如果果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f0.x 為函數(shù)的第二類間斷點.斷點斷點這時也稱其為無窮間這時也稱其為無窮間例例7 7.01sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x注意注意 函數(shù)的間斷點可能不只是個別的幾個點函數(shù)的間斷

24、點可能不只是個別的幾個點.這時也稱其為振蕩間斷點這時也稱其為振蕩間斷點 , 0, 1)(是是無無理理數(shù)數(shù)時時當當是是有有理理數(shù)數(shù)時時當當xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)(Dirichlets function)在定義域在定義域R內每一點處都間斷內每一點處都間斷,且都是第二類間且都是第二類間斷點斷點. ,)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxxxf僅在僅在x=0處連續(xù)處連續(xù), 其余各點處處間斷其余各點處處間斷.o1x2x3xyx xfy ,)(是是無無理理數(shù)數(shù)時時當當是是有有理理數(shù)數(shù)時時當當xxxf11在定義域在定義域 R內每一點處都間斷內每一點處都間斷, 但其絕對值處但其

25、絕對值處處連續(xù)處連續(xù).判斷下列間斷點類型判斷下列間斷點類型:例例8 8.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當當 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時時故當且僅當故當且僅當 a.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf, 1 a 最值最值定義定義: :0000( ),( )()( )()()( )().f xXxXxXf xf xf xf xf xf xX 設函數(shù)在集合上有定義如果有且對于都有或則稱是函數(shù)在 上的最大值 最小值

26、例如例如,sgn xy ,),(上上在在 , 2max y; 1min y,), 0(上上在在 maxmin1.()yy最大值等于最小值,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y( )( , )f xxa b而在上沒有最大值和最小值三 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 注意注意: 若函數(shù)在若函數(shù)在開區(qū)間開區(qū)間上連續(xù)上連續(xù),結論不一定成立結論不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1 1. .在在閉區(qū)間閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù)即即: 設設( ) , ,f xC a bxoyab)(xfy 12則則, ,21ba使使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffb

27、xa值和最小值值和最小值. .或在閉區(qū)間內或在閉區(qū)間內有間斷有間斷 在該區(qū)間上一定有最大在該區(qū)間上一定有最大(證明略證明略)點點 ,例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值無最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值也無最大值和最小值 又如又如, 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 tan,yx 在區(qū)間(-)內連續(xù)，2 2但是在(-)內無界且無最大值和最小值.2 2,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推論推論. 由定理由定理 1 可知有可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax,

28、,bax故證證: 設設, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界上有界 .在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 證：證：Axfx )(lim取取, 0, 10 X當當|x|X時時, | f (x)-A|1又又|f (x)|-|A| f (x)-A|1, 即即: | f (x)|0, x X, 都有都有| f (x)|M0取取M=max|A|+1, M0,.| )(|),(Mxfx 例例1 設設 f (x) 在在(-, +)上連續(xù)，且上連續(xù)，且 存在存在,)(limxfx 證明證明 f (x) 在在(-, +)上有界。上有界。二、零點定理和介值定理二、零點定理和

29、介值定理定理定理2. ( 零點定理零點定理 ), ,)(baCxf至少至少有一點有一點, ),(ba且且使使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf( 證明略證明略 )定義定義: :000()0,( ).xf xxf x如果使則稱為數(shù)的零點函( )0( , ).f xa b即方程在內少存在一個實根至ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸軸至至少少有有一一個個交交點點線線弧弧與與則則曲曲軸軸的的不不同同側側端端點點位位于于的的兩兩個個連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧xxxfy xyo)(xfy 定理定理3. ( 介值定理介值定理 )設設 , ,)(baCxf且且,)(Aaf,)(BABbf則

30、對則對 A 與與 B 之間的任一數(shù)之間的任一數(shù) C ,一點一點, ),(ba證證: 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)( )( )xf xC則則,)(baCx 且且)()(ba)(CBCA0故由零點定理知故由零點定理知, 至少有一點至少有一點, ),(ba使使,0)(即即.)(CfAbxoya)(xfy BC使使.)(Cf至少至少有有幾何解釋幾何解釋:.)(至至少少有有一一個個交交點點直直線線與與水水平平連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧Cyxfy 推論推論: 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最必取得介于最小值與最大值之間的任何值大值之間的任何值 .例例1. 證明方程證明方程01423 xx一個

31、根一個根 .證證: 顯然顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點定理故據(jù)零點定理, 至少存在一點至少存在一點, ) 1 ,0(使使,0)(f即即01423說明說明:12,x ,0)(8121f內必有方程的根內必有方程的根 ;12( ,1)取取 1 ,21的中點的中點34,x ,0)(43f內必有方程的根內必有方程的根 ;3124( , )可用此法求近似根可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在區(qū)間在區(qū)間)1 ,0(的中點取1 ,0內至少有內至少有則則則則例例.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在

32、區(qū)間在區(qū)間設函數(shù)設函數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即0)()()(212xfxff上連續(xù)上連續(xù) , 且恒為正且恒為正 ,例例2. 設設)(xf在在,ba對任意的對任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點必存在一點證證:, ,21xx使使. )()()(21xfxff令令)()()()(212xfxfxfxF, 則則,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf12( ) ()f xf x 212 ()()f xf x0使使,)()(21時當xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點定理知故由零點定理知 ,