第十九章 聚類分析

1、371第十九章 聚類分析 （clustering analysis）372判別分析:在已知分為若干個(gè)類的前提下，獲得判別模型，并用來(lái)判定觀察對(duì)象的歸屬。 聚類分析:將隨機(jī)現(xiàn)象歸類的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，在不知道應(yīng)分多少類合適的情況下，試圖借助數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法用已收集到的資料找出研究對(duì)象的適當(dāng)歸類方法。已成為發(fā)掘海量基因信息的首選工具。 二者都是研究分類問題的多元統(tǒng)計(jì)分析方法。373聚類分析屬于探索性統(tǒng)計(jì)分析方法，按照分類目的可分為兩大類。 例如測(cè)量了n個(gè)病例（樣品）的m個(gè)變量（指標(biāo)），可進(jìn)行：（1）R型聚類: 又稱指標(biāo)聚類，是指將m個(gè)指標(biāo)歸類的方法，其目的是將指標(biāo)降維從而選擇有代表性的指標(biāo)。（2）Q型聚類

2、: 又稱樣品聚類，是指將n個(gè)樣品歸類的方法，其目的是找出樣品間的共性。374指標(biāo)聚類目的：目的：把多個(gè)指標(biāo)按相似程度聚成幾類，每類找一個(gè)典型指標(biāo)來(lái)代表原來(lái)的多個(gè)指標(biāo)。資料要求：資料要求：指標(biāo)是定量的，理論上也可以全部是定性的或等級(jí)的（要少用）效果不好。用途：用途：1.分類找典型指標(biāo) 2.可與回歸分析合用找典型自變量；可與判別分析合用找典型指標(biāo)。375樣品聚類目的：目的：把多個(gè)樣品按照相近樣品聚成幾類，作分類比較研究。需要時(shí)也可每類找一個(gè)典型樣品來(lái)代表各類樣品。資料要求：資料要求：描述樣品的指標(biāo)全部定量。用途：用途：分類376 無(wú)論是R型聚類或是Q型聚類的關(guān)鍵是如何定義相似性，即如何把相似性數(shù)量

3、化。聚類的第一步需要給出兩個(gè)指標(biāo)或兩個(gè)樣品間相似性的度量相似系數(shù)（similarity coefficient）的定義。377聚類統(tǒng)計(jì)量指標(biāo)聚類（指標(biāo)聚類（R型聚類）的聚類統(tǒng)計(jì)量型聚類）的聚類統(tǒng)計(jì)量：指標(biāo)間的相似系數(shù)。0C1; C越大越相似。大則同類，小則異類。（1）定量指標(biāo)：用簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)定義為相似系數(shù)。（定量指標(biāo)包含定性指標(biāo)轉(zhuǎn)化成0，1變量和等級(jí)指標(biāo)轉(zhuǎn)化成的1，2，變量）（2）定性指標(biāo)或等級(jí)指標(biāo)（包括含有定量指標(biāo)轉(zhuǎn)換成的等級(jí)指標(biāo)），可用列聯(lián)系數(shù)定義為 和 指標(biāo)的相似系數(shù)：ixjx22ijxcxn378R型（指標(biāo)）聚類的相似系數(shù) X1，X2，Xm表示m個(gè)變量，R型聚類常用簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值

4、定義變量與間的相似系數(shù)： 絕對(duì)值越大表明兩變量間相似程度越高。 同樣也可考慮用Spearman秩相關(guān)系數(shù)定義非正態(tài)變量之間的相似系數(shù)。當(dāng)變量均為定性變量時(shí)，最好用列聯(lián)系數(shù)定義類間的相似系數(shù)。 22()() (19-1)()()iijjijiijjXXXXrXXXX379樣品聚類（Q型聚類）的聚類統(tǒng)計(jì)量（相似系數(shù)）：2個(gè)樣品間距離，越短越接近，短則同類，長(zhǎng)則異類。樣品聚類的基本原則：把距離短的樣品歸在相同類，距離長(zhǎng)的樣品歸在不同類。3710Q型（樣品）聚類常用相似系數(shù) 將n例（樣品）看成是m維空間的n個(gè)點(diǎn)，用兩點(diǎn)間的距離定義相似系數(shù)，距離越小表明兩樣品間相似程度越高。（1）歐氏距離: 歐氏距離（

5、Euclidean distance） （2）絕對(duì)距離：絕對(duì)距離（Manhattan distance）（3）Minkowski距離：絕對(duì)距離是q=1時(shí)的Minkowski距離；歐氏距離是q=2時(shí)的Minkowski距離。Minkowski距離的優(yōu)點(diǎn)是定義直觀，計(jì)算簡(jiǎn)單；缺點(diǎn)是沒有考慮到變量間的相關(guān)關(guān)系?；诖艘M(jìn)馬氏距離。2() (19-3)ijijdXX| (19-4)ijijdXX| (19-5)qqijijdXX3711（4）馬氏距離：用S 表示m個(gè)變量間的樣本協(xié)方差矩陣，馬氏距離（Mahalanobis distance）的計(jì)算公式為 其中向量 。不難看出，當(dāng) （單位矩陣）時(shí)，馬氏距

6、離就是歐氏距離的平方。 以上定義的4種距離適用于定量變量，對(duì)于定性變量和有序變量必須在數(shù)量化后方能應(yīng)用。 (19-6)ijd1XS X 1122(,)ijijimjmXXXXXXXsI3712說(shuō)明：當(dāng)樣品各指標(biāo)的單位不同時(shí)，或各指標(biāo)單位雖相同（包括各指標(biāo)都無(wú)單位），但數(shù)量級(jí)相差大時(shí)，應(yīng)先將各指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化，在計(jì)算距離。標(biāo)準(zhǔn)化方法：iiiixxxs3713 第二節(jié)第二節(jié) 系統(tǒng)聚類系統(tǒng)聚類系統(tǒng)聚類（hierarchical clustering analysis）是將相似的樣品或變量歸類的最常用方法，聚類過(guò)程如下：1）開始將各個(gè)樣品（或變量）獨(dú)自視為一類，即各類 只含一個(gè)樣品（或變量），計(jì)算類間相似系

7、數(shù)矩陣，其中的元素是樣品（或變量）間的相似系數(shù)。相似系數(shù)矩陣是對(duì)稱矩陣； 2）將相似系數(shù)最大（距離最小或相關(guān)系數(shù)最大）的兩類合并成新類，計(jì)算新類與其余類間相似系數(shù)； 重復(fù)第二步，直至全部樣品（或變量）被并為一類。3714一、類間相似系數(shù)的計(jì)算 系統(tǒng)聚類的每一步都要計(jì)算類間相似系數(shù)（即：新形成的類別與其他類之間的類間相似系數(shù)的確定），當(dāng)兩類各自僅含一個(gè)樣品或變量時(shí)，兩類間的相似系數(shù)即是兩樣品或變量間的相似系數(shù) 或 ，按第一節(jié)的定義計(jì)算。ijdijr3715 當(dāng)類內(nèi)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上樣品或變量時(shí)，計(jì)算當(dāng)類內(nèi)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上樣品或變量時(shí)，計(jì)算類間類間相似系數(shù)相似系數(shù)有多種方法可供選擇，下面列出有多

8、種方法可供選擇，下面列出5 5種種計(jì)算方法。計(jì)算方法。用用 G G p p，G Gq q 分別表示兩類，各自含有分別表示兩類，各自含有n np p，n nq q個(gè)樣品或個(gè)樣品或變量。變量。37161最大相似系數(shù)法最大相似系數(shù)法 G p類中的類中的np個(gè)樣品或變量與個(gè)樣品或變量與Gq類中的類中的nq個(gè)樣品或變量個(gè)樣品或變量?jī)蓛砷g共有兩兩間共有npnq個(gè)相似系數(shù)，以其中最大者定義為個(gè)相似系數(shù)，以其中最大者定義為G p與與Gq的類間相似系數(shù)。的類間相似系數(shù)。注意距離最小即相似系數(shù)最大。注意距離最小即相似系數(shù)最大。2最小相似系數(shù)法最小相似系數(shù)法 類間相似系數(shù)計(jì)算公式為類間相似系數(shù)計(jì)算公式為3重心法重心

9、法（僅用于（僅用于樣品聚類樣品聚類） 用用 ， 分別表示分別表示 的均值向量（重的均值向量（重心），其分量是各個(gè)指標(biāo)類內(nèi)均數(shù)，類間相似系數(shù)計(jì)算公式為心），其分量是各個(gè)指標(biāo)類內(nèi)均數(shù)，類間相似系數(shù)計(jì)算公式為,Min () , 19-7Max ( ) , pqpqpqiji Gj Gpqiji Gj GDdrr樣品聚類（）指標(biāo)聚類,Max () , 19-8Min ( ) , pqpqpqiji Gj Gpqiji Gj GDdrr樣品聚類（）指標(biāo)聚類 (19-9)pqpqDdX Xpxqx,pqG G3717 4類平均法（僅用于樣品聚類） 對(duì)G p 類中的 np 個(gè)樣品與Gq類中的nq個(gè)樣品兩兩間

10、的 np nq 個(gè)平方距離求平均，得到兩類間的相似系數(shù)類平均法是系統(tǒng)聚類方法中較好的方法之一，它充分反映了類內(nèi)樣品的個(gè)體信息。221 (19-10)pqijp qDdn n37185離差平方和法 又稱Ward法，僅用于樣品聚類。 此法效仿方差分析的基本思想，即合理的分類使得類內(nèi)離差平方和較小，而類間離差平方和較大。3719例19-1 測(cè)量了3454名成年女子身高（X1）、下肢長(zhǎng)（X2）、腰圍（X3）和胸圍（X4），計(jì)算得相關(guān)矩陣：試用系統(tǒng)聚類法將這4個(gè)指標(biāo)聚類。本例是R型（指標(biāo)）聚類，相似系數(shù)選用簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)，類間相似系數(shù)采用最大相似系數(shù)法計(jì)算。 732. 0174. 0234. 0055.

11、0099. 0852. 0432321)0(XXXXXXR3720聚類過(guò)程如下：聚類過(guò)程如下：（1）各個(gè)指標(biāo)獨(dú)自成一類G1=X1，G2=X2，G3=X3，G4=X4，共4類。（2）將相似系數(shù)最大的兩類合并成新類，由于G1和G2類間相似系數(shù)最大，等于0.852，將兩類合并成G5=X1 , X2，形成3類。計(jì)算G5與G3、G4間的類間相似系數(shù) G3，G4，G5的類間相似矩陣351323Max(,)Max(0.099,0.055)0.099rrr451424M ax(,)M ax(0.234,0.174)0.234rrr234. 0099. 0732. 05443)1(GGGGR732. 0174.

12、 0234. 0055. 0099. 0852. 0432321)0(XXXXXXR3721（3）由于G3和G4類間相似系數(shù)最大，等于0.732，將兩類合并成G6=G3 , G4，形成兩類。計(jì)算G6與G5間的類間相似系數(shù)。（4）最終將G5 ,G6合并成G7=G5 , G6,所有指標(biāo)形成一大類。563545Max(,)Max(0.099,0.234)0.234rrr3722根據(jù)聚類過(guò)程，繪制出系統(tǒng)聚類圖（見圖19-1）。圖中顯示分成兩類較好：X1，X2，X3，X4，即長(zhǎng)度指標(biāo)歸為一類，圍度指標(biāo)歸為另一類。圖19-1 4 個(gè)指標(biāo)聚類系統(tǒng)聚類圖 身高 下肢長(zhǎng) 腰圍 胸圍 G1 G2 G3 G4圖19

13、-1 4個(gè)指標(biāo)聚類的系統(tǒng)聚類圖0.8520.7320.2343723如何判斷聚為幾類對(duì)于指標(biāo)聚類而言：M個(gè)指標(biāo)究竟聚幾類為好，即聚成幾類后停止并類，可分析聚類過(guò)程表和聚類過(guò)程圖，還可以結(jié)合專業(yè)知識(shí)和實(shí)際需要確定。例：指定1個(gè)相似系數(shù)值（比如0.6），規(guī)定類那個(gè)指標(biāo)間的相似系數(shù)值入小于該值，則停止并類。特別是當(dāng)某步驟類使相似系數(shù)值的變化發(fā)生大的跳躍時(shí)，更是停止并類的訊號(hào)。3724如何找典型指標(biāo)對(duì)指標(biāo)聚類而言：為選擇每類的典型指標(biāo)，計(jì)算每類的每個(gè)指標(biāo)與同類其他指標(biāo)的相關(guān)指數(shù)（相關(guān)系數(shù)的平方）的均數(shù)，即式中 為指標(biāo) 所在類的指標(biāo)個(gè)數(shù)，在各類挑選 值最大的 作為該類的典型指標(biāo)221irRmimix2i

14、R3725X1X2X20.89X30.670.84第一類22210.890.670.623 1R3726例19-2 今測(cè)得6名運(yùn)動(dòng)員4個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目（樣品）的能耗、糖耗的均數(shù)見表19-1，欲對(duì)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目歸類，以便提供相應(yīng)的膳食標(biāo)準(zhǔn)，提高運(yùn)動(dòng)成績(jī)。試用樣品系統(tǒng)聚類法將運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目歸類。表19-1 4個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的測(cè)定值運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目名稱能耗 X1（焦耳/分、m2）糖耗 X2（%）負(fù)重下蹲G127.89261.421.3150.688引體向上G223.47556.830.1740.088俯 臥 撐G318.92445.13-1.001-1.441仰臥起坐G420.91361.25-0.4880.665變量的標(biāo)準(zhǔn)化

15、X1 X2iiiiSXXX3727本例選用歐氏距離，類間距離選用最小相似系數(shù)法。為了克服變量量綱的影響，分析前先將變量標(biāo)準(zhǔn)化， 分別是Xi的樣本均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。變換后的數(shù)據(jù)列在表19-1的 ， 列。, iiiiiiXXXXSS 、1X2X3728聚類過(guò)程如下：（1）計(jì)算4個(gè)樣品間的相似系數(shù)矩陣，樣品聚類中又稱為距離矩陣。負(fù)重下蹲與引體向上之間的距離按公式（19-3）計(jì)算得同樣負(fù)重下蹲與俯臥撐之間的距離同理，計(jì)算出距離矩陣22221211211222()()(1.3150.174)(0.6880.088)1.289dXXXX22221311311232()()(1.3151.001)(0.6881

16、.441)3.145dXXXX168. 2878. 0803. 1928. 1145. 3289. 1432321)0(GGGGGGD3729（2）G2，G4間距離最小，將G2，G4并成一新類G5= G2，G4。應(yīng)用最小相似系數(shù)法，按公式（19-8）計(jì)算G5與其他各類之間的距離G1，G3，G5的距離矩陣（3）G1，G5間距離最小，將G1，G5并成一新類G6= G1，G5。計(jì)算G6 與G3之間的距離（4）最終將G1 ,G6合并成G7=G1 , G6,所有指標(biāo)形成一大類。168. 2803. 1145. 35331)1 (GGGGD361335Max(,)Max(3.145,2.168)3.145

17、ddd168. 2878. 0803. 1928. 1145. 3289. 1432321)0(GGGGGGDd15=Max（d12，d14）=Max（1.289，1.803）=1.803d35=Max（d23，d34）=Max（1.928，2.168）=2.1683730 根據(jù)聚類過(guò)程，繪制出系統(tǒng)聚類圖（見圖19-2）。結(jié)合系統(tǒng)聚類圖和專業(yè)知識(shí)認(rèn)為分成兩類較好： G1，G2，G4， G3。負(fù)重下蹲、引體向上、仰臥起坐三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目體能消耗較大，訓(xùn)練時(shí)應(yīng)提高膳食標(biāo)準(zhǔn)。 圖19-2 4個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目樣品聚類的系 統(tǒng)聚類圖G2 G4 G1 G3 G5G6G73731例19-3 調(diào)查了27名瀝青工和焦?fàn)t工

18、的年齡、工齡、吸煙情況，檢測(cè)了血清P21、P53、外周血淋巴細(xì)胞SCE、染色體畸變數(shù)和染色體畸變細(xì)胞數(shù)。數(shù)據(jù)列于表19-3，其中P21倍數(shù)=P21檢測(cè)值/對(duì)照組P21均數(shù)。試用系統(tǒng)聚類法將27名工人歸類。3732表19-3 瀝青工和焦?fàn)t工的生物標(biāo)志物檢測(cè)及聚類分析結(jié)果工人編號(hào)(樣品號(hào))年齡工齡吸煙支/d血清P21P21倍數(shù)P53SCE染色體畸變數(shù)染色體畸變細(xì)胞數(shù)聚類結(jié)680.358.11441235122035102.761.436.84331352252027842.190.544.1133143272024511.930.4711.4596153822032472

19、.560.8011.68551651313037102.920.3711.6022174091031942.510.4011.40551834172046583.670.4611.3533195029050193.950.4713.4510811042202074825.890.1213.110021157301538002.990.1910.762211236152024781.950.2510.00001133712038273.010.8210.50441145232029842.350.1611.153311552321037492.950.7211.45111011642273049

20、413.890.7313.807611744272039483.110.3313.6516141184021533602.640.3711.40001193821529362.310.6911.401112044272068515.390.9912.28762214327039263.090.4711.95001222610343813.450.5211.807512337182071425.620.8511.81552242892026122.060.3711.65111252593026382.080.7812.251112634142043223.400.4115.00551275032

21、2028622.250.698.802213733 本例選擇了歐氏距離下的最小相似系數(shù)法、類平均法和離差平方和法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析。分析結(jié)果分別見圖19-3、圖19-4、圖19-5。數(shù)據(jù)分析前，各變量已作標(biāo)準(zhǔn)化處理。3734 圖19-3 27名瀝青工和焦?fàn)t工的最小相似系數(shù)法系統(tǒng)聚類圖3735圖19-4 27名瀝青工和焦?fàn)t工的類平均法系統(tǒng)聚類圖3736圖19-5 27名瀝青工和焦?fàn)t工離差平方和法的系統(tǒng)聚類圖3737 三種聚類結(jié)果有較大的出入，可見這些方法分類效果是有差異的，特別是在分類變量較多時(shí)差異愈加明顯，這就要求在聚類分析前，盡可能地選擇要求在聚類分析前，盡可能地選擇有效變量有效變量，如本例

22、的變量P21和P53倍數(shù)。詳細(xì)解讀聚類圖，一般都能夠獲得許多有用的信息。3738（聚類實(shí)例分析結(jié)果） 相似系數(shù)的定義以及類間相似系數(shù)的定義的不同將導(dǎo)致系統(tǒng)聚類結(jié)果有所差異。聚類分析的結(jié)果解釋除了要了解聚類方法外，還必須結(jié)合專業(yè)知識(shí)專業(yè)知識(shí)。3739 結(jié)合專業(yè)知識(shí)，本例認(rèn)為類平均法聚類結(jié)果比較合理，分類結(jié)果列入表19-3最后一欄。它將10，20，23號(hào)工人分為一類，其余分為另一類。研究者最終發(fā)現(xiàn)10，20，23號(hào)工人為癌癥高危人群。根據(jù)離差平法和法聚類圖，不難發(fā)現(xiàn)10，20，23，8，16，26號(hào)聚在一類，提示8，16，26號(hào)工人也可能是癌癥高危人群之一。3740以下列出類平均法具體聚類過(guò)程，供

23、參考。類平均法系統(tǒng)聚類過(guò)程類平均法系統(tǒng)聚類過(guò)程聚類步驟兩類合并歐氏距離1步(樣品18,樣品21)合并成新1類1.18562步(樣品5,樣品13)合并成新2類1.49693步(樣品12,樣品24)合并成新3類1.52254步(樣品20,樣品23)合并成新4類1.60505步(新1類,樣品19)合并成新5類1.70796步(樣品6,樣品11)合并成新6類1.82437步(樣品8,樣品26)合并成新7類1.90988步(樣品4,樣品7)合并成新8類1.93179步(樣品1,樣品14)合并成新9類2.162010步(樣品9,樣品15)合并成新10類2.200711步(新6類,樣品27)合并成新11類2

24、.383312步(新7類,樣品22)合并成新12類2.559013步(新3類,樣品25)合并成新13類2.795614步(新5類,新2類)合并成新14類2.869615步(新4類,樣品16)合并成新15類2.960516步(新12類,新8類)合并成新16類3.112717步(新10類,樣品17)合并成新17類3.434618步(新11類,新9類)合并成新18類3.580819步(新16類,新13類)合并成新19類3.937920步(新18類,樣品3)合并成新20類4.082421步(新15類,樣品10)合并成新21類4.415522步(新20類,新14類)合并成新22類4.542023步(新1

25、9類,樣品2)合并成新23類5.247924步(新23類,新22類)合并成新24類6.108625步(新24類,新21類)合并成新25類6.910226步(新25類,新17類)合并成新26類7.16423741對(duì)于樣品聚類而言如何確定聚為幾類：1.可分析聚類過(guò)程表和聚類過(guò)程圖，還可以結(jié)合專業(yè)知識(shí)和實(shí)際需要確定。2.當(dāng)某步驟類使相似系數(shù)值（如最大距離發(fā)生大的跳躍時(shí)）的變化發(fā)生大的跳躍時(shí)，更是停止并類的訊號(hào)。如10個(gè)樣品若從聚成3類變到聚成2類，則最長(zhǎng)距離從4.64到12.46發(fā)生變長(zhǎng)的大跳躍，于是確定聚成3類而不是2類。3742 第三節(jié)第三節(jié) 動(dòng)態(tài)樣品聚類動(dòng)態(tài)樣品聚類 當(dāng)待分類的樣品較多時(shí)，如海量數(shù)據(jù)挖掘，系統(tǒng)聚類分析將耗費(fèi)較多的計(jì)算資源來(lái)儲(chǔ)存相似系數(shù)矩陣，計(jì)算速度緩慢。另外，用系統(tǒng)聚類方法聚類，樣品一旦歸類后