第3章 非平穩(wěn)時(shí)間序列確定性分析

1、第三章第三章 確定性時(shí)序分析確定性時(shí)序分析本章結(jié)構(gòu) 時(shí)間序列的分解 確定性時(shí)序分析的目的 趨勢分析 季節(jié)效應(yīng)分析3.1 時(shí)間序列的分解一個(gè)時(shí)間序列往往是以下幾類變化形式的疊加或耦合：長期趨勢變動（T）季節(jié)變動（S） 循環(huán)變動（C） 隨機(jī)變動（I） 常見的確定性時(shí)間序列模型：() 混合模型tttttxT SCI . .tttttxT S C I.ttttxT SI.tttttxST C I() 加法模型() 乘法模型3.2 確定性時(shí)序分析的目的 克服其它因素的影響，單純測度出某一個(gè)確定性因素對序列的影響 推斷出各種確定性因素彼此之間的相互作用關(guān)系及它們對序列的綜合影響3.3 趨勢分析 目的有些時(shí)

2、間序列具有非常顯著的趨勢，我們分析的目的就是要找到序列中的這種趨勢，并利用這種趨勢對序列的發(fā)展作出合理的預(yù)測 常用方法 趨勢擬合法 平滑法趨勢擬合法 趨勢擬合法就是把時(shí)間作為自變量，相應(yīng)的序列觀察值作為因變量，建立序列值隨時(shí)間變化的回歸模型的方法 分類 線性擬合 非線性擬合線性擬合 使用場合長期趨勢呈現(xiàn)出線形特征 模型結(jié)構(gòu))(, 0)(ttttIVarIEIbtax例:擬合澳大利亞政府19811990年每季度的消費(fèi)支出序列 線性擬合 模型 參數(shù)估計(jì)方法 最小二乘估計(jì) 參數(shù)估計(jì)值2)(, 0)(40,2 , 1,ttttIVarIEtIbtax12.89,69.8498ba擬合效果圖非線性擬合

3、使用場合長期趨勢呈現(xiàn)出非線形特征 參數(shù)估計(jì)指導(dǎo)思想能轉(zhuǎn)換成線性模型的都轉(zhuǎn)換成線性模型，用線性最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)實(shí)在不能轉(zhuǎn)換成線性的，就用迭代法進(jìn)行參數(shù)估計(jì) 常用非線性模型二次曲線： 指數(shù)曲線： 修正指數(shù)曲線： Gompertz（龔帕茲）曲線： Logistic（邏輯斯諦）曲線： 2tyabtcta bttyettykabexpexp() ( ,0,)tyt /1exp()( ,0,)tyt 例： 對上海證券交易所每月末上證指數(shù)序列進(jìn)行模型擬合 非線性擬合 模型 變換 參數(shù)估計(jì)方法 線性最小二乘估計(jì) 擬合模型口徑2ctbtaTt22tt 20952. 02517.502tTt擬合效果圖平滑法

4、 平滑法是進(jìn)行趨勢分析和預(yù)測時(shí)常用的一種方法。它是利用修勻技術(shù)，削弱短期隨機(jī)波動對序列的影響，使序列平滑化，從而顯示出長期趨勢變化的規(guī)律 常用平滑方法 移動平均法 指數(shù)平滑法移動平均法 基本思想假定在一個(gè)比較短的時(shí)間間隔里，序列值之間的差異主要是由隨機(jī)波動造成的。根據(jù)這種假定，我們可以用一定時(shí)間間隔內(nèi)的平均值作為某一期的估計(jì)值 分類 n期中心移動平均 n期移動平均n期中心移動平均為偶數(shù)，為奇數(shù)，nxxxxxnnxxxxxnxntnttntntntnttntntt)2121(1)(12121222112112121tx2tx1tx1tx2tx52112ttttttxxxxxx5期中心移動平均4期

5、中心移動平均21120.50.54ttttttxxxxxx周周發(fā)貨量發(fā)貨量三期中三期中心移動心移動平均平均中心化中心化1 117.217.2 2 2202018.23 18.23 3 317.517.517.97 17.97 18.04 18.04 4 416.416.417.73 17.73 17.91 17.91 5 519.319.317.53 17.53 18.03 18.03 6 616.916.919.23 19.23 18.91 18.91 7 721.521.519.30 19.30 19.54 19.54 8 819.519.520.73 20.73 19.84 19.84

6、9 921.221.219.37 19.37 19.81 19.81 101017.417.419.80 19.80 19.43 19.43 111120.820.818.43 18.43 121217.117.1 17.78 17.78 18.30 18.30 17.53 17.53 18.53 18.53 19.30 19.30 19.78 19.78 19.90 19.90 19.73 19.73 19.13 19.13 四期移四期移動平均動平均中中心心移移動動平平均均示示意意圖圖某海鮮批發(fā)市場發(fā)貨量 (噸）n期移動平均tx1tx2tx3tx4tx51234ttttttxxxxxx)(1

7、11nttttxxxnx4期移動平均3214tttttxxxxx5期移動平均移動平均預(yù)測)(121nlTlTlTlTxxxnxilxilxxilTilTilT,中心移動平均常用來求趨勢，移動平均常用來進(jìn)行預(yù)測移動平均期數(shù)確定的原則 事件的發(fā)展有無周期性以周期長度作為移動平均的間隔長度 ，以消除周期效應(yīng)的影響 對趨勢平滑的要求 移動平均的期數(shù)越多，擬合趨勢越平滑 對趨勢反映近期變化敏感程度的要求 移動平均的期數(shù)越少，擬合趨勢越敏感 最小均方誤原則均方誤差（均方誤差（MSEMSE）均方誤差（MSE）是常用的預(yù)測精度的測度值，它是預(yù)測誤差平方和的平均數(shù)，用公式表示如下： 預(yù)測誤差的平方和均方誤差(M

8、SE)=預(yù)測誤差的個(gè)數(shù)周周發(fā)貨量發(fā)貨量期移動平均期移動平均期移動平均期移動平均預(yù)測值預(yù)測值預(yù)測誤差預(yù)測誤差誤差平方誤差平方預(yù)測值預(yù)測值預(yù)測誤差預(yù)測誤差誤差平方誤差平方117.2220.0317.5416.418.23 -1.83 3.36519.317.97 1.33 1.78616.917.73 -0.83 0.6918.08 -1.18 1.39 721.517.53 3.97 15.7318.02 3.48 12.11 819.519.23 0.27 0.0718.32 1.18 1.39 921.219.30 1.90 3.6118.72 2.48 6.15 1017.420.73 -

9、3.33 11.1119.68 -2.28 5.20 1120.819.37 1.43 2.0519.30 1.50 2.25 1217.119.80 -2.707.2920.08 -2.988.8813 18.43 合計(jì)合計(jì)45.6919.20合計(jì)合計(jì)37.37某海鮮批發(fā)市場發(fā)貨量移動平均預(yù)測結(jié)果 單位：噸對于上例：35.0845.69期移動平均的均方誤差(MSE)=955.3437.37期移動平均的均方誤差(MSE)=7因此，三次移動平均預(yù)測要優(yōu)于五次移動平均預(yù)測。例 某一觀察值序列最后4期的觀察值為：5，5.5，5.8，6.2（1）使用4期移動平均法預(yù)測 。（2）求在二期預(yù)測值 中 前面

10、的系數(shù)等于多少？2Tx2TxTx例解（1）（2） 在二期預(yù)測值中 前面的系數(shù)等于 45. 548 . 54 . 556 . 5416 . 542 . 68 . 54 . 554121123211TTTTTTTTTTxxxxxxxxxx321212212112161165414141TTTTTTTTTTTTTTTTxxxxxxxxxxxxxxxxTx165指數(shù)平滑法 指數(shù)平滑方法的基本思想在實(shí)際生活中，我們會發(fā)現(xiàn)對大多數(shù)隨機(jī)事件而言，一般都是近期的結(jié)果對現(xiàn)在的影響會大些，遠(yuǎn)期的結(jié)果對現(xiàn)在的影響會小些。為了更好地反映這種影響作用，我們將考慮到時(shí)間間隔對事件發(fā)展的影響，各期權(quán)重隨時(shí)間間隔的增大而呈指

11、數(shù)衰減。這就是指數(shù)平滑法的基本思想 分類 簡單指數(shù)平滑 Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑簡單指數(shù)平滑 適用于序列值在一個(gè)常數(shù)均值上下隨機(jī)波動的情況，基本公式： 等價(jià)公式10 )1 ()1 (221，ttttxxxx10 ,)1 (1tttxxx經(jīng)驗(yàn)確定 初始值的確定 平滑系數(shù)的確定 表示表示“新信息新信息”的權(quán)重的權(quán)重一般對于變化緩慢的序列， 常取較小的值對于變化迅速的序列， 常取較大的值最小均方誤原則10 xx 簡單指數(shù)平滑預(yù)測 一期預(yù)測值 二期預(yù)測值 期預(yù)測值l2211)1 ()1 (TTTTTxxxxx1111212)1 ()1 ()1 (TTTTTTTxxxxxxx2,1lxxTlT周周發(fā)貨量發(fā)

12、貨量. .7.7預(yù)測值預(yù)測值預(yù)測誤差預(yù)測誤差誤差平方誤差平方預(yù)測值預(yù)測值預(yù)測誤差預(yù)測誤差誤差平方誤差平方1 117.217.22 220.020.017.2017.202.802.807.847.8417.2017.202.802.807.847.843 317.517.518.0418.04-0.54-0.540.290.2919.1619.16-1.66-1.662.762.764 416.416.417.8817.88-1.48-1.482.182.1818.0018.00-1.60-1.602.552.555 519.319.317.4317.431.871.873.483.4816.

13、8816.882.422.425.865.866 616.916.917.9917.99-1.09-1.091.201.2018.5718.57-1.67-1.672.802.807 721.521.517.6717.673.833.8314.7014.7017.4017.404.104.1016.7916.798 819.519.518.8218.820.680.680.470.4720.2720.27-0.77-0.770.590.599 921.221.219.0219.022.182.184.754.7519.7319.731.471.472.162.16101017.417.419.

14、6719.67-2.27-2.275.185.1820.7620.76-3.36-3.3611.2911.29111120.820.818.9918.991.811.813.273.2718.4118.412.392.395.725.72121217.117.119.5319.53-2.43-2.435.935.9320.0820.08-2.98-2.988.898.891313 18.8018.80合計(jì)合計(jì)49.2949.29 17.9917.99 合計(jì)合計(jì)67.2567.25 例例 某海鮮批發(fā)市場發(fā)貨量指數(shù)平滑預(yù)測結(jié)果某海鮮批發(fā)市場發(fā)貨量指數(shù)平滑預(yù)測結(jié)果 單位：噸單位：噸0.34.4849

15、.29指數(shù)平滑預(yù)測的均方誤差=110.76.1167.25指數(shù)平滑預(yù)測的均方誤差=11可見平滑系數(shù)為0.3的預(yù)測要優(yōu)于平滑系數(shù)0.7的預(yù)測。 例 對某一觀察值序列 使用指數(shù)平滑法。 已知 ， ，平滑系數(shù) (1) 求二期預(yù)測值 。 (2)求在二期預(yù)測值 中 前面的系數(shù)等于多少？ tx10Tx5 .101Tx25. 02Tx2TxTx解（1）（2） 所以使用簡單指數(shù)平滑法二期預(yù)測值中 前面的系數(shù)就等于平滑系數(shù)3 .103 .1075. 025. 01211TTTTTTxxxxxx112)1 (TTTTxxxxTx25. 011(1)(1)ttttttxxxxxx2()1T lTTTTxxxxx l

16、二次指數(shù)平滑適用于有線性趨勢的序列,公式:預(yù)測公式例：對北京市19782000年報(bào)紙發(fā)行量進(jìn)行二次指數(shù)平滑Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑 使用場合適用于對含有線性趨勢的序列進(jìn)行修勻 構(gòu)造思想假定序列有一個(gè)比較固定的線性趨勢 兩參數(shù)修勻rxxtt11111)1 ()()(1 (ttttttttrxxrrxxx初始值的確定 平滑序列的初始值 趨勢序列的初始值10 xx nxxrn110Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑預(yù)測 期預(yù)測值lTTlTrlxx例5 對北京市19782000年報(bào)紙發(fā)行量序列進(jìn)行Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑。指定5125910 xx4325231230 xxr15. 01 . 0例5平滑效果圖3.4 季

17、節(jié)變動測定 測定季節(jié)變動主要是計(jì)算季節(jié)指數(shù)，季節(jié)指數(shù)刻畫了現(xiàn)象在一個(gè)年度內(nèi)各季（月）的變化特征。某時(shí)期的季節(jié)指數(shù)高，說明該期為“旺季”，反之則為“淡季”。 案例：大華公司生產(chǎn)的一種新型乳制品（A產(chǎn)品）售量呈逐年增長的趨勢。同時(shí)，這也是一種時(shí)令性很強(qiáng)的飲品。歷年各季度的銷售數(shù)額如下圖：大華公司大華公司A產(chǎn)品銷量時(shí)間序列產(chǎn)品銷量時(shí)間序列 季節(jié)指數(shù)的理解 季節(jié)指數(shù)反映了該季度與總平均值之間的一種比較穩(wěn)定的關(guān)系 如果這個(gè)比值大于1，就說明該季度的值常常會高于總平均值 如果這個(gè)比值小于1，就說明該季度的值常常低于總平均值 如果序列的季節(jié)指數(shù)都近似等于1，那就說明該序列沒有明顯的季節(jié)效應(yīng) 移動平均比率法

18、第一步，對原始序列進(jìn)行移動平均，移動平均的期數(shù)應(yīng)為季節(jié)變動的周期。第二步，對移動平均列進(jìn)行中心化移動平均處理，將移動平均列的值與原始列相應(yīng)的值對齊。第三步，計(jì)算原始列數(shù)值與中心化移動平均列對應(yīng)值的比率。第四步，根據(jù)上面求出的所有比率值，計(jì)算季節(jié)指數(shù)。移動平均比率法的具體步驟：【例例】 計(jì)算大華公司A產(chǎn)品銷量時(shí)間序列的季節(jié)指數(shù)，數(shù)據(jù)見表。 大華公司大華公司A產(chǎn)品銷量時(shí)間序列季節(jié)指數(shù)計(jì)算表產(chǎn)品銷量時(shí)間序列季節(jié)指數(shù)計(jì)算表 上表中不同年份同一季度的季節(jié)比率很接近但并不相等，這是由于季節(jié)比率中還包含有不規(guī)則變動的影響。為了將不規(guī)則變動從季節(jié)比率中剔除，可以采用算術(shù)平均的方法，求出的每個(gè)季度季節(jié)比率的均值

19、，即季節(jié)指數(shù)。年份季度1234200120022003200420050.7170.7250.7260.8061.0381.0921.0570.9701.3711.4041.3501.2750.8990.8270.8250.942季節(jié)指數(shù)0.7441.0391.3500.873大華公司大華公司A產(chǎn)品銷量時(shí)間序列季節(jié)指數(shù)計(jì)算表產(chǎn)品銷量時(shí)間序列季節(jié)指數(shù)計(jì)算表 上面計(jì)算的季節(jié)指數(shù)的平均數(shù)不等于1，需要對其進(jìn)行調(diào)整。調(diào)整的方法是用每個(gè)季節(jié)指數(shù)除以所有季節(jié)指數(shù)的平均數(shù)。0.744=0.7420.744 1.039 1.350 0.8734第一季度季節(jié)指數(shù)1.039=1.0380.744 1.039 1.

20、350 0.8734第二季度季節(jié)指數(shù)1.350=1.3480.744 1.039 1.350 0.8734第三季度季節(jié)指數(shù)0.873=0.8720.744 1.039 1.350 0.8734第四季度季節(jié)指數(shù) 將季節(jié)指數(shù)繪制成圖形可以清楚反映出乳制品銷售量的季節(jié)變動情形，如圖第3季度為該產(chǎn)品的銷售旺季，第1、4季度為該產(chǎn)品的銷售淡季。 大華公司大華公司A產(chǎn)品銷售量時(shí)間序列季節(jié)指數(shù)變化圖產(chǎn)品銷售量時(shí)間序列季節(jié)指數(shù)變化圖 首先，利用長期趨勢預(yù)測預(yù)測現(xiàn)象未來“應(yīng)該”達(dá)到一個(gè)什么水平；然后，利用季節(jié)指數(shù)對不同季節(jié)的趨勢預(yù)測值進(jìn)行調(diào)整?！纠吭谏侠幕A(chǔ)上，對大華公司A產(chǎn)品2006年各季度的銷量進(jìn)行預(yù)測。解：解：第一步，在原始序列中剔除季節(jié)變動。將原序列中的各數(shù)值分別除以相應(yīng)的季節(jié)指數(shù)，即原序列中分離出了季節(jié)變動。含季節(jié)變動時(shí)間序列的預(yù)測綜合分析 下圖為剔除季節(jié)變動后的序列與原始序列的對比。 剔除季節(jié)變動的剔除季節(jié)變動的A產(chǎn)品銷售時(shí)間序列圖產(chǎn)品銷售時(shí)間序列圖 第二步，對剔除季節(jié)變動的序列擬合趨勢方程并進(jìn)行預(yù)測。對剔除季節(jié)變動的序列建立線性趨勢方程：3.290.19tTt對2006年四個(gè)季度的趨勢值進(jìn)行預(yù)測。 上述預(yù)測值是不含季節(jié)變動的預(yù)測值，最終的預(yù)測值還應(yīng)將上述預(yù)測值乘以相應(yīng)季度的季節(jié)指數(shù)。 A產(chǎn)品來年四個(gè)季度銷售量預(yù)測圖產(chǎn)品來年四個(gè)季度銷售量預(yù)測圖 3參數(shù)參數(shù)