數(shù)學(xué)必修ⅰ北師大版 導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 課件

1、1第十一節(jié)第十一節(jié) 導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 2三年三年1212考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景；了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景；2.2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c(cy=c(c為常數(shù)為常數(shù)) )，y=x,y=xy=x,y=x2 2,y=x,y=x3 3,y=,y=的導(dǎo)數(shù)；的導(dǎo)數(shù)；4.4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù). .1x31.1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是考查重點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義是考查重點(diǎn)；2.2.

2、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)的基本內(nèi)容，在高考中每年必考，一般導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)的基本內(nèi)容，在高考中每年必考，一般不單獨(dú)命題，常在考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的同時(shí)進(jìn)行考查不單獨(dú)命題，常在考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的同時(shí)進(jìn)行考查. .3.3.題型以選擇題和填空題為主，在解答題中會(huì)滲透導(dǎo)數(shù)的運(yùn)題型以選擇題和填空題為主，在解答題中會(huì)滲透導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算算. .41.1.導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義(1)(1)函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在在x=xx=x0 0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)定義：稱函數(shù)定義：稱函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x x0 0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率為函數(shù)點(diǎn)的瞬時(shí)變化率為函數(shù)y=f(x)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x x0 0處的導(dǎo)數(shù)，用處的導(dǎo)數(shù)

3、，用f(xf(x0 0) )表示表示, ,記作記作_=_._=_.00 xx0f(x)f(x )limxx00 x0f(xx)f(x )limx 5幾何意義幾何意義函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x x0 0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)f(xf(x0 0) )的幾何意義是在曲線的幾何意義是在曲線y=f(x)y=f(x)上上點(diǎn)點(diǎn)_處的處的_._.相應(yīng)地，切線方程為相應(yīng)地，切線方程為_._.(x(x0 0,f(x,f(x0 0)切線的斜率切線的斜率y-f(xy-f(x0 0)=f(x)=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0) )6(2)(2)函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)一般地，如果一個(gè)函數(shù)一般地

4、，如果一個(gè)函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)上的每一點(diǎn)上的每一點(diǎn)x x處都有導(dǎo)處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為f(x):f(x)=_,f(x):f(x)=_,則則f(x)f(x)是關(guān)于是關(guān)于x x的函數(shù)，稱的函數(shù)，稱f(x)f(x)為為f(x)f(x)的的_，通常也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)，通常也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)數(shù). .x0f(xx)f(x)limx 導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)7【即時(shí)應(yīng)用即時(shí)應(yīng)用】(1)(1)思考：思考：f(x)f(x)與與f(xf(x0 0) )有何區(qū)別？有何區(qū)別？提示提示: :f(x)f(x)是是x x的函數(shù)，的函數(shù)，f(xf(x0 0) )只是只是f(x)f(x)的一個(gè)函數(shù)值的一個(gè)函

5、數(shù)值. .8(2)(2)曲線曲線y=xy=x2 2在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)(1,1)處的切線斜率是處的切線斜率是_._.【解析解析】y=2xy=2x，曲線曲線y=xy=x2 2在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)(1,1)處的切線斜率是處的切線斜率是2.2.答案：答案：2 29(3)(3)函數(shù)函數(shù)f(x)=lnxf(x)=lnx的圖像在點(diǎn)的圖像在點(diǎn)(e,f(e)(e,f(e)處的切線方程是處的切線方程是_._.【解析解析】f(e)= f(e)= 所求的切線方程為所求的切線方程為y-f(e)=f(e)y-f(e)=f(e)(x-e)(x-e)，即，即y-lne= (x-e)y-lne= (x-e)，化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得x-e

6、y=0.x-ey=0.答案：答案：x-ey=0 x-ey=01e，1e102.2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)(c)=_(1)(c)=_；(c(c為常數(shù)為常數(shù)) )(2)(x(2)(x)=_)=_；(是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)) )(3)(sinx)=_(3)(sinx)=_；(4)(cosx)=_(4)(cosx)=_；(5)(e(5)(ex x)=_)=_；(6)(a(6)(ax x)= _(a0)= _(a0)；(7)(lnx)=_(7)(lnx)=_；0 0 xx-1-1cosxcosx-sinx-sinxe ex xa ax xlnalna1x11(8)(log(8)(log

7、a ax)=_ (a0 x)=_ (a0且且a1);a1);(9)(tanx)=_;(9)(tanx)=_;(10)(cotx)=_.(10)(cotx)=_.1xlna21cos x21sin x12【即時(shí)應(yīng)用即時(shí)應(yīng)用】(1)y=x(1)y=x-5-5，則，則y=_.y=_.(2)y=4(2)y=4x x，則，則y=_.y=_.(3)y=log(3)y=log3 3x x，則，則y=_.y=_.(4)y=sin (4)y=sin ，則，則y=_.y=_.答案：答案：36x1(1)5x (2)4 ln4 (3) (4)0 xln3133.3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若若y=f(x)y=f(

8、x)，y=g(x)y=g(x)的導(dǎo)數(shù)存在，則的導(dǎo)數(shù)存在，則(1)f(x)(1)f(x)g(x)=_g(x)=_；(2)f(x)g(x)=_(2)f(x)g(x)=_；(3) =_(3) =_f(x)f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)g(x)2f (x)g(x)f(x)g (x)g(x)(g(x)0).14【即時(shí)應(yīng)用即時(shí)應(yīng)用】(1)y=x(1)y=x3 3+sinx+sinx，則，則y=_.y=_.(2)y=x(2)y=x4 4-x-x2 2-x+3-x+3，則，則y=_.y=_.(3)y=(2x(3)y=(2x2 2+3)(3x

9、-2)+3)(3x-2)，則，則y=_.y=_.(4)f(x)= (4)f(x)= 則則f(x)=_.f(x)=_.xex，15【解析解析】(1)y=(x(1)y=(x3 3)+(sinx)=3x)+(sinx)=3x2 2+cosx.+cosx.(2)y=4x(2)y=4x3 3-2x-1.-2x-1.(3)y=(2x(3)y=(2x2 2+3)(3x-2)+(2x+3)(3x-2)+(2x2 2+3)(3x-2)+3)(3x-2)=4x(3x-2)+(2x=4x(3x-2)+(2x2 2+3)+3)3=18x3=18x2 2-8x+9.-8x+9.或：或：y=6xy=6x3 3-4x-4x

10、2 2+9x-6,y=18x+9x-6,y=18x2 2-8x+9.-8x+9.(4)(4)答案：答案：(1)3x(1)3x2 2+cosx (2)4x+cosx (2)4x3 3-2x-1-2x-1(3)18x(3)18x2 2-8x+9 (4) -8x+9 (4) xxx22e xee (x 1)f (x).xxx2e (x 1)x16 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法(1)(1)總原則：先化簡(jiǎn)解析式，再求導(dǎo)總原則：先化簡(jiǎn)解析式，再求導(dǎo). .(2)(2)具體方法具體方法連乘積的形式：先展開化為多項(xiàng)式形式，再求導(dǎo)連乘積的形式：先展開化為多項(xiàng)式形式，

11、再求導(dǎo). .根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo). .復(fù)雜分式：通過(guò)分子上湊分母，化為簡(jiǎn)單分式的和、差，復(fù)雜分式：通過(guò)分子上湊分母，化為簡(jiǎn)單分式的和、差，再求導(dǎo)再求導(dǎo). . 17【例例1 1】(1)(2011(1)(2011江西高考江西高考) )若若f(x)=xf(x)=x2 2-2x-4lnx-2x-4lnx，則，則f(x)f(x)0 0的解集為的解集為( )( )(A)(0,+)(A)(0,+)(B)(-1,0)(2,+)(B)(-1,0)(2,+)(C)(2,+)(C)(2,+)(D)(-1,0)(D)(-1,0)(2)(2)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)

12、數(shù). .y=xy=x2 2sinxsinx； xxe1y.e118【解題指南解題指南】(1)(1)首先求出首先求出f(x)f(x)的導(dǎo)數(shù)，再解分式不等式的導(dǎo)數(shù)，再解分式不等式. .(2)(2)利用積的導(dǎo)數(shù)法則；利用商的導(dǎo)數(shù)法則或先化簡(jiǎn)分利用積的導(dǎo)數(shù)法則；利用商的導(dǎo)數(shù)法則或先化簡(jiǎn)分式再求導(dǎo)式再求導(dǎo). .19【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)選選C.f(x)=2x-2- C.f(x)=2x-2- 0,0,即即x x0,(x-2)(x+1)0,(x-2)(x+1)0,x0,x2.2.4x2xx20,x20(2)(2)y=(xy=(x2 2)sinx+x)sinx+x2 2(sinx)=2xsinx+x

13、(sinx)=2xsinx+x2 2cosx.cosx.方法一：方法一：方法二：方法二：xxxxx2xxxxxx2x2(e1)(e1)(e1)(e1)y(e1)e (e1)(e1)e2e.(e1)(e1) xxxxxx2e1 22 y1,e1e122ey1(),y.e1(e1) 即21【互動(dòng)探究互動(dòng)探究】把本例把本例(2)(2)中函數(shù)改為中函數(shù)改為 如何求導(dǎo)？如何求導(dǎo)？【解析解析】22x1yx1，222222222222(x1)(x1)(x1)(x1) y(x1)2x(x1)(x1) 2x4x.(x1)(x1) 22【反思反思感悟感悟】準(zhǔn)確熟練地掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)準(zhǔn)確熟練地掌握基本初

14、等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，根據(jù)所給函數(shù)解析式的特點(diǎn)，確定求導(dǎo)方法的運(yùn)算法則，根據(jù)所給函數(shù)解析式的特點(diǎn)，確定求導(dǎo)方法. .23【變式備選變式備選】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(2)y=3(2)y=3x xe ex x-lnx+e-lnx+e【解析解析】1(1)y(1x)(1)x11223122xx1 (1)y(1x)(1)2xx ,x11yxx.221(2)y3 e ln(3e)x 24 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義【方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方

15、面：幾個(gè)方面：(1)(1)已知切點(diǎn)已知切點(diǎn)A(xA(x0 0，f(xf(x0 0)求斜率求斜率k k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：k=f(xk=f(x0 0) )；(2)(2)已知斜率已知斜率k k，求切點(diǎn)，求切點(diǎn)A(xA(x1 1，f(xf(x1 1)，即解方程，即解方程f(xf(x1 1)=k)=k；(3)(3)已知過(guò)某點(diǎn)已知過(guò)某點(diǎn)M(xM(x1 1,f(x,f(x1 1)()(不是切點(diǎn)不是切點(diǎn)) )的切線斜率的切線斜率k k時(shí)，常需設(shè)時(shí)，常需設(shè)出切點(diǎn)出切點(diǎn)A(xA(x0 0，f(xf(x0 0)，利用，利用 求解求解. .1010f(x )f(x )kxx25【提醒提醒】審

16、題時(shí)注意所給點(diǎn)是否是切點(diǎn)審題時(shí)注意所給點(diǎn)是否是切點(diǎn). .26【例例2 2】(1)(2011(1)(2011湖南高考湖南高考) )曲線曲線 在點(diǎn)在點(diǎn)M( 0)M( 0)處的切線的斜率為處的切線的斜率為( )( )sinx1ysinxcosx2,411(A) (B)2222(C) (D)2227(2)(2011(2)(2011山東高考山東高考) )曲線曲線y=xy=x3 3+11+11在點(diǎn)在點(diǎn)P(1P(1，12)12)處的切線與處的切線與y y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是( )( )(A)-9(A)-9(B)-3(B)-3(C)9(C)9(D)15(D)1528【解題指南解題指南】利用導(dǎo)數(shù)的幾

17、何意義，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，(1)(1)可以求出切線斜率；可以求出切線斜率；(2)(2)先求出切線方程，得到與先求出切線方程，得到與y y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo). .29【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.(2)(2)選選C.y=3xC.y=3x2 2，切線斜率為切線斜率為3,3,切線方程為切線方程為y=3x+9y=3x+9，與，與y y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是9.9.222cosx(sinxcosx)sinx(cosxsinx)y(sinxcosx)1,(sinxcosx)x411y.2(sincos )44所以當(dāng)時(shí)，30【互動(dòng)探究互動(dòng)探究】若把本例若把本例(2)(2)

18、中中“在點(diǎn)在點(diǎn)P(1P(1，12)12)處處”改為改為“過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)P(1P(1，12)”12)”，其他條件不變，求此時(shí)切線與，其他條件不變，求此時(shí)切線與y y軸交點(diǎn)的縱軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)坐標(biāo). .31【解析解析】當(dāng)當(dāng)P P為切點(diǎn)時(shí)，由例題為切點(diǎn)時(shí)，由例題(2)(2)知，切線與知，切線與y y軸交點(diǎn)的縱坐軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為標(biāo)為9.9.當(dāng)當(dāng)P P不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x(x0 0,y,y0 0) )，切點(diǎn)為切點(diǎn)為 切線方程為切線方程為 與與y y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為為3220000000y12x13x3xx1x11x2則，即，解得，1 87(,)2 8，345yx44

19、，45.432【反思反思感悟感悟】1.1.要體會(huì)切線定義中的運(yùn)動(dòng)變化思想，由割要體會(huì)切線定義中的運(yùn)動(dòng)變化思想，由割線線切線，由兩個(gè)不同的公共點(diǎn)無(wú)限接近切線，由兩個(gè)不同的公共點(diǎn)無(wú)限接近重合重合( (切點(diǎn)切點(diǎn)).).2.2.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的有關(guān)切線的問(wèn)題時(shí)，一定要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的有關(guān)切線的問(wèn)題時(shí)，一定要抓住切點(diǎn)的多面性：在曲線上、在切線上，該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是抓住切點(diǎn)的多面性：在曲線上、在切線上，該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線斜率切線斜率. .33【變式備選變式備選】函數(shù)函數(shù)y=xy=x2 2(x0)(x0)的圖像在點(diǎn)的圖像在點(diǎn)(a(ak k,a,ak k2 2) )處的切線與處的切線與x x軸

20、的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a ak+1k+1, ,其中其中kNkN+ +，若，若a a1 1=16=16，則，則a a1 1+a+a3 3+a+a5 5的的值是值是_._.34【解析解析】由由y=xy=x2 2(x0)(x0)，得，得y=2xy=2x，所以函數(shù)所以函數(shù)y=xy=x2 2(x0)(x0)在點(diǎn)在點(diǎn)(a(ak k,a,ak k2 2) )處的切線方程為：處的切線方程為：y-ay-ak k2 2=2a=2ak k(x-a(x-ak k),),當(dāng)當(dāng)y=0y=0時(shí)，解得時(shí)，解得所以所以a ak+1k+1= a= a1 1+a+a3 3+a+a5 5=16+4+1=21.=16+4+

21、1=21.答案：答案：21 21 kax,2ka,235【易錯(cuò)誤區(qū)易錯(cuò)誤區(qū)】導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的易錯(cuò)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的易錯(cuò)點(diǎn)【典例典例】(2012(2012南昌模擬南昌模擬) )若存在過(guò)點(diǎn)若存在過(guò)點(diǎn)(1(1，0)0)的直線與曲線的直線與曲線y=xy=x3 3和和 都相切，則都相切，則a a等于等于( )( )215yaxx942521(A) 1 (B) 16447257(C) (D)74644或或或或36【解題指南解題指南】因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)(1,0)(1,0)不在曲線不在曲線y=xy=x3 3上，所以應(yīng)從設(shè)切點(diǎn)上，所以應(yīng)從設(shè)切點(diǎn)入手來(lái)求切線方程，再利用切線與曲線入手來(lái)求切線方程，再利用切線與曲線

22、相切求相切求a a的值的值. .215yaxx9437【規(guī)范解答規(guī)范解答】選選A.A.設(shè)過(guò)設(shè)過(guò)(1,0)(1,0)的直線與的直線與y=xy=x3 3相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)(x(x0 0, ), )，所以切線方程為所以切線方程為 又又(1,0)(1,0)在切在切線上，則線上，則x x0 0=0=0或或x x0 0= =當(dāng)當(dāng)x x0 0=0=0時(shí)，由時(shí)，由y=0y=0與與 相切可得相切可得 當(dāng)當(dāng)時(shí)，由時(shí)，由 相切可得相切可得a=-1a=-1，所以選，所以選A.A.30 x322300000yx3x (xx ),y3x x2x即，32，215yaxx9425a64，03x22272715yxyaxx944

23、4與38【閱卷人點(diǎn)撥閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以通過(guò)閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議：下誤區(qū)警示和備考建議：誤誤區(qū)區(qū)警警示示 在解答本題時(shí)有兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：在解答本題時(shí)有兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)(1)審題不仔細(xì)，未對(duì)點(diǎn)審題不仔細(xì)，未對(duì)點(diǎn)(1(1，0)0)的位置進(jìn)行判斷，誤認(rèn)為的位置進(jìn)行判斷，誤認(rèn)為(1,0)(1,0)是切點(diǎn)；是切點(diǎn)；(2)(2)當(dāng)所給點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，無(wú)法與導(dǎo)數(shù)的幾何意義聯(lián)系當(dāng)所給點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，無(wú)法與導(dǎo)數(shù)的幾何意義聯(lián)系. . 39備備考考建建議議 解決與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，以下幾點(diǎn)在備考時(shí)解決與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，以下幾點(diǎn)在備考時(shí)要

24、高度關(guān)注：要高度關(guān)注：(1)(1)首先確定已知點(diǎn)是否為曲線的切點(diǎn)是求解關(guān)鍵；首先確定已知點(diǎn)是否為曲線的切點(diǎn)是求解關(guān)鍵；(2)(2)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則要熟練掌握；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則要熟練掌握；(3)(3)對(duì)于直線的方程與斜率公式的求解要熟練掌握對(duì)于直線的方程與斜率公式的求解要熟練掌握. .401.(20111.(2011江西高考江西高考) )曲線曲線y=ey=ex x在點(diǎn)在點(diǎn)A(0,1)A(0,1)處的切線斜率為處的切線斜率為( )( )(A)1 (B)2 (C)e (D)(A)1 (B)2 (C)e (D)【解析解析】選選A.y=eA.y=ex x,曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)A(0A(0，1)1)處的切線的斜率為處的