大學(xué)物理力學(xué)復(fù)習(xí)

1、角動(dòng)量角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)定理力矩力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)比質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)比mmrId2FFrMamFIM PrLIL 運(yùn)動(dòng)定律機(jī)械能守恒重力勢(shì)能動(dòng)能定理動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能動(dòng)能力矩的功力的功角動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒角動(dòng)量定理動(dòng)量定理tmFd)(dvtIMd)(d恒矢量時(shí)，iiiiimFv0 恒量時(shí)IM,0BAABrFAdBAMAABd221vmEk221IEk222121ABmmAvv 222121ABIIAmghEpcpmghE恒量?jī)?nèi)非外 pkEEAA0重力勢(shì)能 題型題型一一.質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)與剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)與剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)

2、題maF IM Ra 1.對(duì)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用對(duì)剛體剛體應(yīng)用聯(lián)系式聯(lián)系式MgRamaTmgm - :對(duì)221 MRIITRM：對(duì)例：一個(gè)質(zhì)量為例：一個(gè)質(zhì)量為半徑為半徑為的定滑輪（當(dāng)?shù)亩ɑ啠ó?dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求滑輪以角速體而下垂。忽略軸處摩擦，求滑輪以角速度度 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng),經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間角速度為經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間角速度為0,此時(shí)物體此時(shí)物體上升高度上升高度是多少是多少?0解：取豎直向上為正解：取豎直向上為正.軸向軸向 為正。為正。.滑輪作勻加速圓周轉(zhuǎn)動(dòng)滑輪作勻加速圓周

3、轉(zhuǎn)動(dòng), ,t0mgRMmt00)2(0)(20202mgRMm2)2(2020200mgRMmRh2)2()(2020RMmmg)2(MgRamaTmgm - :對(duì)221 MRIITRM：對(duì).求出加速度，從物體作勻加速直線運(yùn)動(dòng)計(jì)算更簡(jiǎn)單。求出加速度，從物體作勻加速直線運(yùn)動(dòng)計(jì)算更簡(jiǎn)單。另解另解: :視為一系統(tǒng)視為一系統(tǒng), ,用角動(dòng)量定理求用角動(dòng)量定理求t t. .Mg00dLLtMt)2(0002vRmMRmgRt00Rv僅有重力作功僅有重力作功, 系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒mghRMm2022022121vmgRMmh2)2(202 mgRMmt0)2(00Rv2.看成一個(gè)系統(tǒng), 用質(zhì)點(diǎn)組的

4、動(dòng)能定理和角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理和角動(dòng)量定理求解。.取軸向取軸向 為正。為正。. 例：力學(xué)系統(tǒng)由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，它們之間只有引例：力學(xué)系統(tǒng)由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，它們之間只有引 力作用，若質(zhì)點(diǎn)所受合外力的矢量和為零，力作用，若質(zhì)點(diǎn)所受合外力的矢量和為零， 則系統(tǒng)：則系統(tǒng)：（A）動(dòng)量、機(jī)械能守恒及對(duì)一軸的角動(dòng)量守恒；）動(dòng)量、機(jī)械能守恒及對(duì)一軸的角動(dòng)量守恒；（B）動(dòng)量、機(jī)械能守恒但角動(dòng)量不能守恒；）動(dòng)量、機(jī)械能守恒但角動(dòng)量不能守恒；（C）動(dòng)量守恒、但角動(dòng)量、機(jī)械能是否守恒不能確定；）動(dòng)量守恒、但角動(dòng)量、機(jī)械能是否守恒不能確定； （D）角動(dòng)量、動(dòng)量守恒，但機(jī)械能是否守恒不能確定；）角動(dòng)量、動(dòng)量守恒，但機(jī)械

5、能是否守恒不能確定； C二二.有關(guān)三大守恒定律的問(wèn)題有關(guān)三大守恒定律的問(wèn)題1.守恒條件守恒條件各不相同，注意區(qū)分。例如：對(duì)質(zhì)點(diǎn)組有以下幾種說(shuō)法：例如：對(duì)質(zhì)點(diǎn)組有以下幾種說(shuō)法： （1）質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)量的改變與內(nèi)力無(wú)關(guān)。）質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)量的改變與內(nèi)力無(wú)關(guān)。 （2）質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)能的改變與內(nèi)力無(wú)關(guān)。）質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)能的改變與內(nèi)力無(wú)關(guān)。 （3）質(zhì)點(diǎn)組機(jī)械能的改變與保守內(nèi)力無(wú)關(guān)。）質(zhì)點(diǎn)組機(jī)械能的改變與保守內(nèi)力無(wú)關(guān)。 在上述說(shuō)法中在上述說(shuō)法中 （A）只有（）只有（1）是正確的。）是正確的。 （B）（）（1） （3）是正確的。）是正確的。 （C）（）（1） （2）是正確的。）是正確的。 （D）（）（2） （3）是正確的。）

6、是正確的。 所有所有外力作的功與所有內(nèi)力作的功外力作的功與所有內(nèi)力作的功的代數(shù)和等于系統(tǒng)的代數(shù)和等于系統(tǒng)總動(dòng)能的增量總動(dòng)能的增量. .由由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)系統(tǒng)所受個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)系統(tǒng)所受合外力合外力的沖量等于系的沖量等于系統(tǒng)總動(dòng)量的增量。統(tǒng)總動(dòng)量的增量。系統(tǒng)系統(tǒng)外力與非保守內(nèi)力作功外力與非保守內(nèi)力作功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。B二二.有關(guān)三大守恒定律的問(wèn)題有關(guān)三大守恒定律的問(wèn)題1.守恒條件守恒條件各不相同，注意區(qū)分。2.26證明行星在軌道上運(yùn)動(dòng)的總能量為證明行星在軌道上運(yùn)動(dòng)的總能量為 式中式中M和和m分別為太陽(yáng)和行星的質(zhì)量，分別為太陽(yáng)和行星的質(zhì)量，r1和和r2分別為

7、太陽(yáng)分別為太陽(yáng) 和行星軌道和行星軌道的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的距離的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的距離12GMmErr r1r2v1v2證明證明設(shè)行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度分別為設(shè)行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度分別為v1和和v2，由于只有保守力做功，所以機(jī)械能守，由于只有保守力做功，所以機(jī)械能守恒，總能量為恒，總能量為 21112GMmEmvr22212GMmEmvr行星相對(duì)于參考點(diǎn)行星相對(duì)于參考點(diǎn)( (太陽(yáng)太陽(yáng)) )不受外力矩作用，所以行星的角動(dòng)量守恒行星不受外力矩作用，所以行星的角動(dòng)量守恒行星在兩點(diǎn)的位矢方向與速度方向垂直，可得角動(dòng)量守恒方程在兩點(diǎn)的位矢方向與速度方向垂直，可得角動(dòng)量守恒方程 mv1r1 = mv2

8、r2 即 v1r1 = v2r2 （3）， （1）（2）二二.有關(guān)三大守恒定律的問(wèn)題有關(guān)三大守恒定律的問(wèn)題1.守恒條件守恒條件各不相同，注意區(qū)分。2.物體在引力場(chǎng)引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)總是遵循機(jī)械能守恒和角動(dòng)量守恒。將（將（1）式各項(xiàng)同乘以）式各項(xiàng)同乘以r12得得Er12 = m(v1r1)2/2 - GMmr1， (4)將（將（2）式各項(xiàng)同乘以）式各項(xiàng)同乘以r22得得Er22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2， (5)將（將（5）式減（）式減（4）式，利用（）式，利用（3）式，可得）式，可得E(r22 - r12) = -GMm(r2 - r1)， (6)由于由于r1不等于不等于r2，所以，

9、所以（r2 + r1)E = -GMm，12GMmErr 21112GMmEmvr22212GMmEmvrv1r1 = v2r2 （3）， （2）（1）r1r2v1v23.涉及到剛體的碰撞碰撞總是滿足系統(tǒng)角動(dòng)量守恒.ch l mmS例例. .如圖所示，勻質(zhì)直桿長(zhǎng)如圖所示，勻質(zhì)直桿長(zhǎng) l ，桿與物體的質(zhì)量，桿與物體的質(zhì)量m相等。桿從相等。桿從水平位置開始靜止下落，于鉛垂位置和水平位置開始靜止下落，于鉛垂位置和物體物體碰撞，碰撞， 碰撞后碰撞后物物體移動(dòng)距離體移動(dòng)距離s 后停止，后停止，求碰撞后直桿求碰撞后直桿中點(diǎn)中點(diǎn)達(dá)到的高度達(dá)到的高度h。設(shè)物設(shè)物體與地面的摩擦系數(shù)為體與地面的摩擦系數(shù)為 。解：

10、桿從水平位置開始靜止下落，機(jī)械解：桿從水平位置開始靜止下落，機(jī)械能守恒能守恒。lmIlmg2121g2令碰撞后桿的角速度為令碰撞后桿的角速度為 ，物體的，物體的速度為速度為v。，。，由角動(dòng)量守恒，有由角動(dòng)量守恒，有l(wèi)mvII0二二.有關(guān)三大守恒定律的問(wèn)題有關(guān)三大守恒定律的問(wèn)題1.守恒條件守恒條件各不相同，注意區(qū)分。2.物體在引力場(chǎng)引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)總是遵循機(jī)械能守恒和角動(dòng)量守恒。聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：fsmv20210碰撞后碰撞后桿桿的質(zhì)心的質(zhì)心達(dá)到的高達(dá)到的高度度滿足滿足 機(jī)械能守恒，機(jī)械能守恒，llhs6-s3hlmImgg21212mgfmlI,312式中碰撞后碰撞后物體移動(dòng)距離物體移動(dòng)距離S

11、 S 后后停止，按動(dòng)能定理停止，按動(dòng)能定理ch l mmSlmIlmg2121g2lmvII0下落下落碰撞碰撞4.系統(tǒng)繞一共同固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)繞一共同固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),若若合外力矩合外力矩M=0,則系統(tǒng)則系統(tǒng)對(duì)該軸的對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒. 例. 空心圓環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0，環(huán)的半徑為R，初始時(shí)環(huán)的角速度為0質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)內(nèi)最高處A點(diǎn)，由于某種微小干擾，小球沿環(huán)向下滑動(dòng)，問(wèn)小球滑到與環(huán)心O在同一高度的B點(diǎn)和環(huán)的最低處的C點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度及小球相對(duì)于環(huán)的速度各為多大?(設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，環(huán)截面半徑rR.)RA0BC22220200

12、212121BRmJmgRJv0222002JmRRJgRBv 解：選小球和環(huán)為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒對(duì)解：選小球和環(huán)為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒對(duì)地球、小球和環(huán)系統(tǒng)機(jī)械能守恒取過(guò)環(huán)心的水平面為勢(shì)能零點(diǎn)地球、小球和環(huán)系統(tǒng)機(jī)械能守恒取過(guò)環(huán)心的水平面為勢(shì)能零點(diǎn) J00(J0mR2) vB表示小球在B點(diǎn)時(shí)相對(duì)于地面的豎直分速度，也等于它相對(duì)于環(huán)的速度 J0 0 / (J0 + mR2) 小球到B點(diǎn)時(shí)： 由式得：代入式得：RmgmC2212vgRC4v 當(dāng)小球滑到C點(diǎn)時(shí)，由角動(dòng)量守恒定律，系統(tǒng)的角速度又回復(fù)至0，又由機(jī)械能守恒定律知，小球在C的動(dòng)能完全由重力勢(shì)能轉(zhuǎn)換

13、而來(lái)即： (1)(RMtgRM12111121解解:對(duì)對(duì)A,B輪分別用角動(dòng)量定理輪分別用角動(dòng)量定理)(221222221RMtgRM兩輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)兩輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí),有有:)(32211RR2211122111)(,:)3(),2(),1(RMMRMMMM 得得由由AfBfBAff ABO1R2R1M2M2R 例例:輪輪A(質(zhì)量質(zhì)量 ,半徑半徑 )以角速度以角速度 繞繞OA輕桿的輕桿的A端轉(zhuǎn)動(dòng)端轉(zhuǎn)動(dòng),將其將其放在靜止的輪放在靜止的輪B (質(zhì)量質(zhì)量 , 半徑半徑 )上上,設(shè)兩輪間摩擦系數(shù)為設(shè)兩輪間摩擦系數(shù)為 ,求兩輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的角速度求兩輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的角速度 .1R4.系統(tǒng)繞一共同固

14、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)繞一共同固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),若若合外力矩合外力矩M=0,則系統(tǒng)則系統(tǒng)對(duì)該軸的對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒. 如果問(wèn)題中涉及兩個(gè)或多個(gè)軸如果問(wèn)題中涉及兩個(gè)或多個(gè)軸,則不能用角動(dòng)量守恒則不能用角動(dòng)量守恒定律求解。定律求解。一對(duì)摩擦力對(duì)各自中心軸的力矩不能抵消一對(duì)摩擦力對(duì)各自中心軸的力矩不能抵消,因而系統(tǒng)角動(dòng)量不守恒因而系統(tǒng)角動(dòng)量不守恒.例：均質(zhì)矩形薄板繞豎直邊轉(zhuǎn)動(dòng)，初始角速度為例：均質(zhì)矩形薄板繞豎直邊轉(zhuǎn)動(dòng)，初始角速度為 0 0，轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到空氣的阻力阻力垂直于板面，時(shí)受到空氣的阻力阻力垂直于板面，每一小面積所受阻每一小面積所受阻力的大小與其面積及速度的平方的乘積成正比，比例常數(shù)力的大小

15、與其面積及速度的平方的乘積成正比，比例常數(shù)為為k試計(jì)算經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，薄板角速度減為原來(lái)的一試計(jì)算經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，薄板角速度減為原來(lái)的一半設(shè)薄板豎直邊長(zhǎng)為半設(shè)薄板豎直邊長(zhǎng)為b，寬為，寬為a，薄板質(zhì)量為，薄板質(zhì)量為m 解解 在板上取一長(zhǎng)度為在板上取一長(zhǎng)度為b，寬度為，寬度為dr的的面積面積元元 dS = bdr 當(dāng)板的角速度當(dāng)板的角速度 時(shí)，面積元時(shí)，面積元所受的阻力為所受的阻力為 df = kv2dS = k 2r2bdr，力矩為力矩為dM = -rdf = -k 2r3bdr，因此合力矩為因此合力矩為 abdSrr0負(fù)號(hào)表示負(fù)號(hào)表示力矩力矩的方向與角速度的方向相反的方向與角速度的方向相反. .

16、三三.有關(guān)力矩的問(wèn)題有關(guān)力矩的問(wèn)題2430241dkbarbrkMa由于由于 = d /dt，可得可得22d3d4kbatm 分離變量得分離變量得 223dd4kbatm 當(dāng)當(dāng)t = 0時(shí)時(shí)， = 0，203114kbatm當(dāng)當(dāng) = 0/2時(shí)時(shí)，積分解得時(shí)間為積分解得時(shí)間為 ：2043mtkbarbabmrmrIaadd020223am其角加速度為其角加速度為mbakIM4322)(4124tkbaMabdSrr01.軌道是光滑的，物體從軌道是光滑的，物體從A滑到滑到C的過(guò)程中，哪個(gè)說(shuō)法是正確的？的過(guò)程中，哪個(gè)說(shuō)法是正確的？（A）它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心。）它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心。（B）

17、它的速率均勻增加?？上蛴善囁俣燃霸撎幥拾霃角蟮茫┧乃俾示鶆蛟黾印？上蛴善囁俣燃霸撎幥拾霃角蟮?（C）它的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心。）它的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心。（D）它的合外力大小不變。）它的合外力大小不變。（E）軌道的支持力大小不斷增加。）軌道的支持力大小不斷增加。 E 一一.選擇題選擇題.dtd,2mFRmFtn根據(jù)牛頓定律法向與切向分量公式：.cos,sinmgFmgNFtn物體做變速圓周運(yùn)動(dòng)，從A至C的下滑過(guò)程中速度增大，法向加速度增大。由軌道支持力提供的向心力增大。2.一質(zhì)量為一質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的質(zhì)量均勻的圓形轉(zhuǎn)臺(tái)的質(zhì)量均勻的圓形轉(zhuǎn)臺(tái) ，可繞通過(guò)

18、臺(tái)心的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)（與軸的磨擦不，可繞通過(guò)臺(tái)心的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)（與軸的磨擦不 計(jì)）。臺(tái)上也有一質(zhì)量為計(jì)）。臺(tái)上也有一質(zhì)量為m的人，當(dāng)他在轉(zhuǎn)臺(tái)的人，當(dāng)他在轉(zhuǎn)臺(tái) 邊緣時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)與人一起以角速度邊緣時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)與人一起以角速度 旋轉(zhuǎn)，當(dāng)人走旋轉(zhuǎn)，當(dāng)人走 到臺(tái)心時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為：到臺(tái)心時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為：（A）、）、3 ； （B）、）、2 ；（C）、）、 ； （D）、）、3 / 2+ mm21)21(222mRmRmR A F/Nt/s510-102001. 質(zhì)量為質(zhì)量為2kg的物體作直線運(yùn)動(dòng)，其所受的作用力的物體作直線運(yùn)動(dòng)，其所受的作用力F 隨時(shí)隨時(shí)間的變化關(guān)系如圖所示。若物體從靜止開始出發(fā)，則間的變化關(guān)系如

19、圖所示。若物體從靜止開始出發(fā)，則10s末物體的速率末物體的速率v= 。010100mvmvtFd1052501100tFtFtFddd252550求面積求面積!)s(m15122510.mv二二. 填空題填空題0FiFF000F2. 圖中，沿著半徑為R圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，所受的幾個(gè)力中有一個(gè)是恒力，方向始終沿x軸正向，即.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蜃哌^(guò)3 /4圓周到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，力 所作的功為A_ROBxAF0RyFxFrFAyxdddRFxFR000d3.一個(gè)力F作用在質(zhì)量為1.0kg的質(zhì)點(diǎn)上,使之沿X軸運(yùn)動(dòng),已知在此力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=3t-4t2 + t3（SI）, 在0到4s的時(shí)間間隔內(nèi)

20、， （1）力F的沖量大小I= . （2）力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功A= .,3832tt v19, 340vvsN1604)(mIvvJ176)(212024vvmA4 一長(zhǎng)為l、質(zhì)量可以忽略的直桿，兩端分別固定有質(zhì)量為2m和m的小球，桿可繞通過(guò)其中心O且與桿垂直的水平光滑固定軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)開始桿與水平方向成某一角度q，處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示釋放后，桿繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)則當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)，該系統(tǒng)所受到的合外力矩的大小M_，此時(shí)該系統(tǒng)角加速度的大小 _m2mO mgl212g / (3l) 2222lmglmglmgMIM22223222)()()(lmlmlmI=2g / (3l) 5. 質(zhì)量為質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為l 的的直桿以直桿以 v0沿水平方向平沿水平方向平動(dòng)動(dòng), 與前方光滑固定軸與前方光滑固定軸 O 作作完完全非全非彈性碰撞。彈性碰撞。求碰撞后直桿求碰撞后直桿的角速度的角速度 = _lmV0Im)42(0v7120vOCl/4由角動(dòng)量守恒，有由角動(dòng)量守恒，有)4/2/(12/22mm1. 如圖所示一根長(zhǎng) l，質(zhì)量為m1的均勻直棒，靜止放在水平桌面()上，可繞o端轉(zhuǎn)動(dòng)。今有一質(zhì)量為m2的小球，以水平速度v1與A端相碰,沿反方向以速度v2彈回,。求碰后棒從開始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止所需的時(shí)間。解：碰撞時(shí)動(dòng)量矩守恒 lvm12）（ 1312221)()(lvmlm=1v2vAxO